Reprezentarea lui Schrödinger

În mecanica cuantică , o stare este dată de o combinație liniară (sau suprapunere) de stări proprii . În reprezentarea lui Schrödinger (în limba engleză Schrödinger picture ) stările sistemului evoluează în timp . Evoluția pentru un sistem cuantic închis este dată de un operator unitar numit operator de evoluție a timpului .

Reprezentările alternative sunt reprezentarea Heisenberg și reprezentarea interacțiunii .

Operatorul de evoluție a timpului

Același subiect în detaliu: Operator de evoluție a timpului .

Definiție

Operatorul $U(t,t_{0})$ ${\ displaystyle U (t, t_ {0})}$ $U (t, t_ {0})$ este definit ca:

|\psi (t)\rangle =U(t,t_{0})|\psi (t_{0})\rangle

{\ displaystyle | \ psi (t) \ rangle = U (t, t_ {0}) | \ psi (t_ {0}) \ rangle}

{\ displaystyle | \ psi (t) \ rangle = U (t, t_ {0}) | \ psi (t_ {0}) \ rangle}

Adică, atunci când operatorul acționează asupra stării ket în acel moment $t_{0}$ ${\ displaystyle t_ {0}}$ $t_ {0}$ returnează ket-ul evoluat la următoarea dată $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ . Cu toate acestea, pentru sutien se aplică următoarele:

\langle \psi (t)|=\langle \psi (t_{0})|U^{\dagger }(t,t_{0})

{\ displaystyle \ langle \ psi (t) | = \ langle \ psi (t_ {0}) | U ^ {\ dagger} (t, t_ {0})}

{\ displaystyle \ langle \ psi (t) | = \ langle \ psi (t_ {0}) | U ^ {\ dagger} (t, t_ {0})}

Proprietate

Unitate

Operatorul de evoluție a timpului trebuie să fie unitar . Acest lucru se datorează faptului că regula statului nu trebuie să se schimbe în timp, deoarece este legată de probabilitate , care trebuie păstrată. Prin urmare:

\langle \psi (t)|\psi (t)\rangle =\langle \psi (t_{0})|U^{\dagger }(t,t_{0})U(t,t_{0})|\psi (t_{0})\rangle =\langle \psi (t_{0})|\psi (t_{0})\rangle

{\ displaystyle \ langle \ psi (t) | \ psi (t) \ rangle = \ langle \ psi (t_ {0}) | U ^ {\ dagger} (t, t_ {0}) U (t, t_ { 0}) | \ psi (t_ {0}) \ rangle = \ langle \ psi (t_ {0}) | \ psi (t_ {0}) \ rangle}

{\ displaystyle \ langle \ psi (t) | \ psi (t) \ rangle = \ langle \ psi (t_ {0}) | U ^ {\ dagger} (t, t_ {0}) U (t, t_ { 0}) | \ psi (t_ {0}) \ rangle = \ langle \ psi (t_ {0}) | \ psi (t_ {0}) \ rangle}

asa de:

U^{\dagger }(t,t_{0})U(t,t_{0})=I(U(t,t_{0})).

{\ displaystyle U ^ {\ dagger} (t, t_ {0}) U (t, t_ {0}) = I (U (t, t_ {0})).}

{\ displaystyle U ^ {\ dagger} (t, t_ {0}) U (t, t_ {0}) = I (U (t, t_ {0})).}

Reducerea la identitate

$U(t_{0},t_{0})=I$ ${\ displaystyle U (t_ {0}, t_ {0}) = I}$ ${\ displaystyle U (t_ {0}, t_ {0}) = I}$ unde este $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ este operatorul de identitate . Prin urmare:

|\psi (t_{0})\rangle =U(t_{0},t_{0})|\psi (t_{0})\rangle

{\ displaystyle | \ psi (t_ {0}) \ rangle = U (t_ {0}, t_ {0}) | \ psi (t_ {0}) \ rangle}

{\ displaystyle | \ psi (t_ {0}) \ rangle = U (t_ {0}, t_ {0}) | \ psi (t_ {0}) \ rangle}

Compoziţie

Evoluția temporală din $t_{0}$ ${\ displaystyle t_ {0}}$ $t_ {0}$ la $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ poate fi văzută ca evoluția din $t_{0}$ ${\ displaystyle t_ {0}}$ $t_ {0}$ la $t_{1}$ ${\ displaystyle t_ {1}}$ $t_1$ și apoi din $t_{1}$ ${\ displaystyle t_ {1}}$ $t_1$ la $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ . Prin urmare:

U(t,t_{0})=U(t,t_{1})U(t_{1},t_{0})

{\ displaystyle U (t, t_ {0}) = U (t, t_ {1}) U (t_ {1}, t_ {0})}

{\ displaystyle U (t, t_ {0}) = U (t, t_ {1}) U (t_ {1}, t_ {0})}

Ecuație diferențială pentru operatorul de evoluție a timpului

În cele ce urmează se va presupune că $t_{0}=0$ ${\ displaystyle t_ {0} = 0}$ $t_ {0} = 0$ Și $U(0t)=U(t)$ ${\ displaystyle U (0t) = U (t)}$ ${\ displaystyle U (0t) = U (t)}$ . Ecuația Schrödinger poate fi scrisă ca:

i\hbar {\partial  \over \partial t}U(t)|\psi _{e}(0)\rangle =HU(t)|\psi _{e}(0)\rangle

{\ displaystyle i \ hbar {\ partial \ over \ partial t} U (t) | \ psi _ {e} (0) \ rangle = HU (t) | \ psi _ {e} (0) \ rangle}

{\ displaystyle i \ hbar {\ partial \ over \ partial t} U (t) | \ psi _ {e} (0) \ rangle = HU (t) | \ psi _ {e} (0) \ rangle}

Cu $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ Sistem hamiltonian . Este $|\psi (0)\rangle$ ${\ displaystyle | \ psi (0) \ rangle}$ ${\ displaystyle | \ psi (0) \ rangle}$ statul de atunci $t=0$ ${\ displaystyle t = 0}$ $t = 0$ avem că merită:

i\hbar {\partial  \over \partial t}U(t)=HU(t)

{\ displaystyle i \ hbar {\ partial \ over \ partial t} U (t) = HU (t)}

{\ displaystyle i \ hbar {\ partial \ over \ partial t} U (t) = HU (t)}

adică am scris că operatorul de evoluție a timpului respectă ecuația Schrödinger, o soluție a acestei ecuații este:

U(t)=e^{-iHt/\hbar }.

{\ displaystyle U (t) = e ^ {- iHt / \ hbar}.}

{\ displaystyle U (t) = e ^ {- iHt / \ hbar}.}

Unde am folosit și faptul că a $t=0$ ${\ displaystyle t = 0}$ $t = 0$ , $U(t)=I$ ${\ displaystyle U (t) = I}$ ${\ displaystyle U (t) = I}$ se reduce la identitate. Așa că primim:

|\psi (t)\rangle =e^{-iHt/\hbar }|\psi (0)\rangle \,.

{\ displaystyle | \ psi (t) \ rangle = e ^ {- iHt / \ hbar} | \ psi (0) \ rangle \,.}

{\ displaystyle | \ psi (t) \ rangle = e ^ {- iHt / \ hbar} | \ psi (0) \ rangle \,.}

Rețineți că $|\psi (0)\rangle$ ${\ displaystyle | \ psi (0) \ rangle}$ ${\ displaystyle | \ psi (0) \ rangle}$ este un ket arbitrar. Cu toate acestea, dacă începem cu un ket care este un stat propriu al hamiltonienului, cu autovolar $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ , avem:

|\psi (t)\rangle =e^{-iEt/\hbar }|\psi (0)\rangle \,.

{\ displaystyle | \ psi (t) \ rangle = e ^ {- iEt / \ hbar} | \ psi (0) \ rangle \,.}

{\ displaystyle | \ psi (t) \ rangle = e ^ {- iEt / \ hbar} | \ psi (0) \ rangle \,.}

Deci, vedem că stările proprii hamiltoniene au fost staționare , primesc un factor de fază doar atunci când evoluează în timp, deci un sistem care este la timp $t=0$ ${\ displaystyle t = 0}$ $t = 0$ într-un stat propriu, acesta rămâne în statul propriu.

Dacă hamiltonienul depinde de timp, dar hamiltonienii se deplasează în momente diferite, atunci se poate scrie operatorul de evoluție a timpului:

U(t)=T\exp \left({-{\frac {i}{\hbar }}\int _{0}^{t}H(t^{'})\,dt^{'}}\right)\,.

{\ displaystyle U (t) = T \ exp \ left ({- {\ frac {i} {\ hbar}} \ int _ {0} ^ {t} H (t ^ {'}) \, dt ^ { '}} \ dreapta) \ ,.}

{\ displaystyle U (t) = T \ exp \ left ({- {\ frac {i} {\ hbar}} \ int _ {0} ^ {t} H (t ^ {'}) \, dt ^ { '}} \ dreapta) \ ,.}

cu $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ operator de sortare temporală .

Bibliografie

Principiile mecanicii cuantice de R. Shankar, Plenum Press.
Jun John Sakurai, 2.2 , în Mecanica cuantică modernă , Zanichelli, februarie 1990, ISBN 88-08-12706-0 .

Elemente conexe

V · D · M Mecanica cuantică
Formalismul matematic	Notare Bra-ket · Hilbert Space · postulate ale mecanicii cuantice · utilizator comun · Interferență (fizică)
Fundamente și principii	Principiul incertitudinii Heisenberg · Principiul complementarității · Funcția de undă · prăbușirea funcției de undă · Interpretarea de la Copenhaga · Spin · Vechea teorie cuantică · Interpretarea lui Bohm
Operatori	Pulsul Operator · Poziția operatorului · Operatorul Hamiltoniene · Operator momentului cinetic · densitatea operatorului
Formulări	Mecanica undelor · Mecanica matricilor · Integrală pe căi
Ecuații	Ecuația Dirac · ecuația Klein-Gordon · ecuația Pauli · ecuația Schrödinger
Paradoxuri	Pisica lui Schrödinger · Paradoxul EPR · Cuanticul sinuciderii