Notare Bra-ket

În mecanica cuantică , notația bra-ket , cunoscută și sub denumirea de Dirac sau formalismul Dirac , este o notație introdusă de fizicianul și matematicianul britanic Paul Dirac pentru a descrie o stare cuantică ^[1] . Este folosit mai general în matematică pentru a desemna vectori abstracte într-un spațiu funcțional liniar , spațiul Hilbert .

Numele derivă din faptul că produsul punct al două stări $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ Și $\psi$ ${\ displaystyle \ psi}$ $\ psi$ este notat cu o paranteză $\langle \phi |\psi \rangle$ ${\ displaystyle \ langle \ phi | \ psi \ rangle}$ $\ langle \ phi | \ psi \ rangle$ format din două părți: stânga $\langle \phi |$ ${\ displaystyle \ langle \ phi |}$ $\ langle \ phi |$ numit sutien și partea dreaptă $|\psi \rangle$ ${\ displaystyle | \ psi \ rangle}$ $| \ psi \ rangle$ , numit ket . O stare ket descrie complet o stare cuantică.

Spațiul Hilbert

Același subiect în detaliu: spațiul Hilbert .

În mecanica cuantică și în reprezentarea Dirac, fiecare stare este asociată cu un vector de stare notat cu $|\cdot \rangle$ ${\ displaystyle | \ cdot \ rangle}$ $| \ cdot \ rangle$ în spațiul abstract Hilbert ${\mathcal {H}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$ ${\ mathcal H}$ . Acest spațiu este în primul rând un spațiu vector , adică dacă $|\alpha \rangle ,|\beta \rangle \in {\mathcal {H}}$ ${\ displaystyle | \ alpha \ rangle, | \ beta \ rangle \ in {\ mathcal {H}}}$ $| \ alpha \ rangle, | \ beta \ rangle \ în {\ mathcal {H}}$ :

a|\alpha \rangle +b|\beta \rangle \in {\mathcal {H}}

{\ displaystyle a | \ alpha \ rangle + b | \ beta \ rangle \ in {\ mathcal {H}}}

a | \ alpha \ rangle + b | \ beta \ rangle \ in {\ mathcal H}

unde este $a,b\in \mathbb {C}$ ${\ displaystyle a, b \ in \ mathbb {C}}$ $a, b \ in {\ mathbb {C}}$ , această proprietate trebuie să fie valabilă pentru principiul suprapunerii . Proprietăți care derivă direct din faptul că ${\mathcal {H}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$ ${\ mathcal H}$ este un spațiu vectorial complex sunt:

$|\alpha \rangle +|\beta \rangle =|\beta \rangle +|\alpha \rangle$ ${\ displaystyle | \ alpha \ rangle + | \ beta \ rangle = | \ beta \ rangle + | \ alpha \ rangle}$ $| \ alpha \ rangle + | \ beta \ rangle = | \ beta \ rangle + | \ alpha \ rangle$
$(|\alpha \rangle +|\beta \rangle )+|\gamma \rangle =|\beta \rangle +|\alpha \rangle +|\gamma \rangle$ ${\ displaystyle (| \ alpha \ rangle + | \ beta \ rangle) + | \ gamma \ rangle = | \ beta \ rangle + | \ alpha \ rangle + | \ gamma \ rangle}$ $(| \ alpha \ rangle + | \ beta \ rangle) + | \ gamma \ rangle = | \ beta \ rangle + | \ alpha \ rangle + | \ gamma \ rangle$
$\exists !\;|0\rangle \,,\;|\alpha \rangle +|0\rangle =|\alpha \rangle$ ${\ displaystyle \ există! \; | 0 \ rangle \ ,, \; | \ alpha \ rangle + | 0 \ rangle = | \ alpha \ rangle}$ $\ există! \; | 0 \ rangle \ ,, \; | \ alpha \ rangle + | 0 \ rangle = | \ alpha \ rangle$
$\exists !\;|\!-\!\!\alpha \rangle \,,\;|\alpha \rangle +|\!-\!\!\alpha \rangle =|0\rangle$ ${\ displaystyle \ există! \; | \! - \! \! \ alpha \ rangle \ ,, \; | \ alpha \ rangle + | \! - \! \! \ alpha \ rangle = | 0 \ rangle}$ ${\ displaystyle \ există! \; | \! - \! \! \ alpha \ rangle \ ,, \; | \ alpha \ rangle + | \! - \! \! \ alpha \ rangle = | 0 \ rangle}$
$a(|\alpha \rangle +|\beta \rangle )=a|\alpha \rangle +a|\beta \rangle$ ${\ displaystyle a (| \ alpha \ rangle + | \ beta \ rangle) = a | \ alpha \ rangle + a | \ beta \ rangle}$ $a (| \ alpha \ rangle + | \ beta \ rangle) = a | \ alpha \ rangle + a | \ beta \ rangle$
$(a+b)|\alpha \rangle =a|\alpha \rangle +b|\alpha \rangle$ ${\ displaystyle (a + b) | \ alpha \ rangle = a | \ alpha \ rangle + b | \ alpha \ rangle}$ $(a + b) | \ alpha \ rangle = a | \ alpha \ rangle + b | \ alpha \ rangle$
$a(b|\alpha \rangle )=ab|\alpha \rangle$ ${\ displaystyle a (b | \ alpha \ rangle) = ab | \ alpha \ rangle}$ $a (b | \ alpha \ rangle) = ab | \ alpha \ rangle$
$0|\alpha \rangle =|0\rangle \,;\;1|\alpha \rangle =|\alpha \rangle \,;\;-1|\alpha \rangle =|\!-\!\!\alpha \rangle$ ${\ displaystyle 0 | \ alpha \ rangle = | 0 \ rangle \ ,; \; 1 | \ alpha \ rangle = | \ alpha \ rangle \ ,; \; - 1 | \ alpha \ rangle = | \! - \! \! \ alpha \ rangle}$ $0 | \ alpha \ rangle = | 0 \ rangle \ ,; \; 1 | \ alpha \ rangle = | \ alpha \ rangle \ ,; \; - 1 | \ alpha \ rangle = | \! - \! \! \ alfa \ rangle$

În special, dacă există $|\alpha _{1}\rangle ,|\alpha _{2}\rangle ,...,|\alpha _{n}\rangle$ ${\ displaystyle | \ alpha _ {1} \ rangle, | \ alpha _ {2} \ rangle, ..., | \ alpha _ {n} \ rangle}$ $| \ alpha _ {1} \ rangle, | \ alpha _ {2} \ rangle, ..., | \ alpha _ {n} \ rangle$ vectori, sunt liniar independenți dacă și numai dacă:

c_{1}|\alpha _{1}\rangle +c_{2}|\alpha _{2}\rangle +\cdots +c_{n}|\alpha _{n}\rangle =|0\rangle \Rightarrow c_{1}=c_{2}=\cdots =c_{n}=0

{\ displaystyle c_ {1} | \ alpha _ {1} \ rangle + c_ {2} | \ alpha _ {2} \ rangle + \ cdots + c_ {n} | \ alpha _ {n} \ rangle = | 0 \ rangle \ Rightarrow c_ {1} = c_ {2} = \ cdots = c_ {n} = 0}

{\ displaystyle c_ {1} | \ alpha _ {1} \ rangle + c_ {2} | \ alpha _ {2} \ rangle + \ cdots + c_ {n} | \ alpha _ {n} \ rangle = | 0 \ rangle \ Rightarrow c_ {1} = c_ {2} = \ cdots = c_ {n} = 0}

dacă, pe de altă parte, există coeficienți care nu sunt toți zero și dau o combinație liniară nulă, atunci vectorii sunt dependenți. Importanța independenței liniare constă în faptul că un set de vectori care generează spațiul vectorial care este fiecare $|\alpha \rangle \in {\mathcal {H}}$ ${\ displaystyle | \ alpha \ rangle \ in {\ mathcal {H}}}$ $| \ alpha \ rangle \ in {\ mathcal H}$ se poate scrie ca:

|\alpha \rangle =a_{1}|e_{1}\rangle +a_{2}|e_{2}\rangle +\cdots +a_{n}|e_{n}\rangle

{\ displaystyle | \ alpha \ rangle = a_ {1} | e_ {1} \ rangle + a_ {2} | e_ {2} \ rangle + \ cdots + a_ {n} | e_ {n} \ rangle}

{\ displaystyle | \ alpha \ rangle = a_ {1} | e_ {1} \ rangle + a_ {2} | e_ {2} \ rangle + \ cdots + a_ {n} | e_ {n} \ rangle}

unde este $|e_{1}\rangle ,\dots ,|e_{n}\rangle$ ${\ displaystyle | e_ {1} \ rangle, \ dots, | e_ {n} \ rangle}$ $| e_ {1} \ rangle, \ dots, | e_ {n} \ rangle$ sunt vectorii care generează spațiul ${\mathcal {H}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$ ${\ mathcal H}$ . Dacă acești vectori sunt, de asemenea, liniari independenți, atunci formează o bază în spațiu ${\mathcal {H}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$ ${\ mathcal H}$ . Alegerea unei baze există o corespondență între:

|\alpha \rangle \rightarrow (a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})

{\ displaystyle | \ alpha \ rangle \ rightarrow (a_ {1}, a_ {2}, \ dots, a_ {n})}

| \ alpha \ rangle \ rightarrow (a_ {1}, a_ {2}, \ dots, a_ {n})

între vector și coeficienții săi din acea bază.

Spațiul Hilbert este, de asemenea, un spațiu euclidian pentru care în notația Dirac proprietățile tipice ale produsului interior dețin:

$\langle \beta |c_{1}\alpha _{1}+c_{2}\alpha _{2}\rangle =c_{1}\langle \beta |\alpha _{1}\rangle +c_{2}\langle \beta |\alpha _{2}\rangle$ ${\ displaystyle \ langle \ beta | c_ {1} \ alpha _ {1} + c_ {2} \ alpha _ {2} \ rangle = c_ {1} \ langle \ beta | \ alpha _ {1} \ rangle + c_ {2} \ langle \ beta | \ alpha _ {2} \ rangle}$ $\ langle \ beta | c_ {1} \ alpha _ {1} + c_ {2} \ alpha _ {2} \ rangle = c_ {1} \ langle \ beta | \ alpha _ {1} \ rangle + c_ {2 } \ langle \ beta | \ alpha _ {2} \ rangle$
$\langle \beta |\alpha \rangle ^{*}=\langle \alpha |\beta \rangle$ ${\ displaystyle \ langle \ beta | \ alpha \ rangle ^ {*} = \ langle \ alpha | \ beta \ rangle}$ $\ langle \ beta | \ alpha \ rangle ^ {*} = \ langle \ alpha | \ beta \ rangle$
$\langle \alpha |\alpha \rangle \geq 0$ ${\ displaystyle \ langle \ alpha | \ alpha \ rangle \ geq 0}$ $\ langle \ alpha | \ alpha \ rangle \ geq 0$ Și $\langle \alpha |\alpha \rangle =0\Leftrightarrow |\alpha \rangle =|0\rangle$ ${\ displaystyle \ langle \ alpha | \ alpha \ rangle = 0 \ Leftrightarrow | \ alpha \ rangle = | 0 \ rangle}$ ${\ displaystyle \ langle \ alpha | \ alpha \ rangle = 0 \ Leftrightarrow | \ alpha \ rangle = | 0 \ rangle}$

unde ultima proprietate este definiția normei . Norma unui vector este reală și este indicată:

\|\alpha \|={\sqrt {\langle \alpha |\alpha \rangle }}

{\ displaystyle \ | \ alpha \ | = {\ sqrt {\ langle \ alpha | \ alpha \ rangle}}}

\ | \ alpha \ | = {\ sqrt {\ langle \ alpha | \ alpha \ rangle}}

Aceste proprietăți indică pentru un spațiu complex că:

\langle c\beta |\alpha \rangle =c^{*}\langle \beta |\alpha \rangle

{\ displaystyle \ langle c \ beta | \ alpha \ rangle = c ^ {*} \ langle \ beta | \ alpha \ rangle}

\ langle c \ beta | \ alpha \ rangle = c ^ {*} \ langle \ beta | \ alpha \ rangle

unde este $*$ ${\ displaystyle *}$ $*$ este operația de conjugare complexă.

Mai mult, spațiul Hilbert este un spațiu complet și separabil : aceste două proprietăți indică faptul că, în practică, există un set complet de vectori care formează o bază topologică numărabilă.

În mod similar cu cazul euclidian, putem alege o bază în spațiul Hilbert complex, să spunem o bază discretă:

\{|e_{i}\rangle \}=\left(|e_{1}\rangle ,|e_{2}\rangle ,\cdots \right)

{\ displaystyle \ {| e_ {i} \ rangle \} = \ left (| e_ {1} \ rangle, | e_ {2} \ rangle, \ cdots \ right)}

\ {| e_ {i} \ rangle \} = \ left (| e_ {1} \ rangle, | e_ {2} \ rangle, \ cdots \ right)

cu:

\langle e_{i}|e_{j}\rangle =\delta _{ij}

{\ displaystyle \ langle e_ {i} | e_ {j} \ rangle = \ delta _ {ij}}

\ langle e_ {i} | e_ {j} \ rangle = \ delta _ {{ij}}

starea ortonormalității ( $\delta _{ij}$ ${\ displaystyle \ delta _ {ij}}$ $\ delta_ {ij}$ este delta Kronecker ). Putem reprezenta oricând orice vector de stare ca o combinație liniară a unor astfel de vectori ortonormali de bază cu coeficienți complexi adecvați:

|\alpha \rangle =\sum _{i}|e_{i}\rangle \langle e_{i}|\alpha \rangle =\sum _{i}c_{i}|e_{i}\rangle

{\ displaystyle | \ alpha \ rangle = \ sum _ {i} | e_ {i} \ rangle \ langle e_ {i} | \ alpha \ rangle = \ sum _ {i} c_ {i} | e_ {i} \ rangle}

| \ alpha \ rangle = \ sum _ {{i}} | e_ {i} \ rangle \ langle e_ {i} | \ alpha \ rangle = \ sum _ {i} c_ {i} | e_ {i} \ rangle

în mod similar pentru orice sutien:

\langle \alpha |=\sum _{i}\langle \alpha |e_{i}\rangle \langle e_{i}|=\sum _{i}c_{i}^{*}\langle e_{i}|

{\ displaystyle \ langle \ alpha | = \ sum _ {i} \ langle \ alpha | e_ {i} \ rangle \ langle e_ {i} | = \ sum _ {i} c_ {i} ^ {*} \ langle e_ {i} |}

\ langle \ alpha | = \ sum _ {{i}} \ langle \ alpha | e_ {i} \ rangle \ langle e_ {i} | = \ sum _ {i} c _ {{i}} ^ {{* }} \ langle e_ {i} |

unde (*) reprezintă conjugarea complexă și din care se pot obține coeficienții $c_{i}=\langle e_{i}|\alpha \rangle$ ${\ displaystyle c_ {i} = \ langle e_ {i} | \ alpha \ rangle}$ $c_ {i} = \ langle e_ {i} | \ alpha \ rangle$ . Norma unui vector:

\langle \alpha |\alpha \rangle =|c_{1}|^{2}+|c_{2}|^{2}+\dots +|c_{n}|^{2}

{\ displaystyle \ langle \ alpha | \ alpha \ rangle = | c_ {1} | ^ {2} + | c_ {2} | ^ {2} + \ dots + | c_ {n} | ^ {2}}

\ langle \ alpha | \ alpha \ rangle = | c_ {1} | ^ {2} + | c_ {2} | ^ {2} + \ dots + | c_ {n} | ^ {2}

Observăm că orice set de bază poate fi plasat în formă ortonormală cu procedura Gram-Schmidt.

În mod formal, ket și sutien pot fi reprezentate prin matrici unicolonare de tipul:

|\psi \rangle ={\begin{pmatrix}\langle e_{1}|\psi \rangle \\\langle e_{2}|\psi \rangle \\\vdots \end{pmatrix}}

{\ displaystyle | \ psi \ rangle = {\ begin {pmatrix} \ langle e_ {1} | \ psi \ rangle \\\ langle e_ {2} | \ psi \ rangle \\\ vdots \ end {pmatrix}}}

| \ psi \ rangle = {\ begin {pmatrix} \ langle e_ {1} | \ psi \ rangle \\\ langle e_ {2} | \ psi \ rangle \\\ vdots \ end {pmatrix}}

\langle \psi |={\begin{pmatrix}\langle e_{1}|\psi \rangle ^{*}&\langle e_{2}|\psi \rangle ^{*}&\cdots \end{pmatrix}}

{\ displaystyle \ langle \ psi | = {\ begin {pmatrix} \ langle e_ {1} | \ psi \ rangle ^ {*} & \ langle e_ {2} | \ psi \ rangle ^ {*} & \ cdots \ sfârșit {pmatrix}}}

\ langle \ psi | = {\ begin {pmatrix} \ langle e_ {1} | \ psi \ rangle ^ {*} & \ langle e_ {2} | \ psi \ rangle ^ {*} & \ cdots \ end {pmatrix }}

Vedem că există o dublă corespondență între sutien și ket:

c_{\alpha }|\alpha \rangle +c_{\beta }|\beta \rangle \,\,\leftrightarrow \,\,c_{\alpha }^{*}\langle \alpha |+c_{\beta }^{*}\langle \beta |

{\ displaystyle c _ {\ alpha} | \ alpha \ rangle + c _ {\ beta} | \ beta \ rangle \, \, \ leftrightarrow \, \, c _ {\ alpha} ^ {*} \ langle \ alpha | + c_ {\ beta} ^ {*} \ langle \ beta |}

c _ {{\ alpha}} | \ alpha \ rangle + c _ {{\ beta}} | \ beta \ rangle \, \, \ leftrightarrow \, \, c _ {{\ alpha}} ^ {{*} } \ langle \ alpha | + c _ {{\ beta}} ^ {{*}} \ langle \ beta |

Aceste relații exprimă principiul suprapunerii stărilor cuantice: acest concept este pur cuantic și teoretic și dificil de interpretat: coeficienții $c_{i}=\langle e_{i}|\alpha \rangle$ ${\ displaystyle c_ {i} = \ langle e_ {i} | \ alpha \ rangle}$ $c_ {i} = \ langle e_ {i} | \ alpha \ rangle$ reprezintă amplitudinea probabilității astfel încât modulul său pătrat să reprezinte probabilitatea stării $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ . În ceea ce privește magnitudinea probabilității, factorul $\langle e_{i}|\alpha \rangle$ ${\ displaystyle \ langle e_ {i} | \ alpha \ rangle}$ $\ langle e_ {i} | \ alpha \ rangle$ are un sens special, dar în acest caz baza aleasă trebuie să fie ortonormală, deoarece axioma probabilității trebuie să susțină că trebuie normalizată la unitate. În mod similar cu cazul geometric, putem defini produsul scalar al unui sutien $\langle \psi |$ ${\ displaystyle \ langle \ psi |}$ $\ langle \ psi |$ și un ket $|\varphi \rangle$ ${\ displaystyle | \ varphi \ rangle}$ $| \ varphi \ rangle$ definit cu privire la o bază ortonormală atribuită:

\left\langle \psi |\varphi \right\rangle =\sum _{i}\left\langle \psi |e_{i}\right\rangle \left\langle e_{i}|\varphi \right\rangle

{\ displaystyle \ left \ langle \ psi | \ varphi \ right \ rangle = \ sum _ {i} \ left \ langle \ psi | e_ {i} \ right \ rangle \ left \ langle e_ {i} | \ varphi \ dreapta \ rangle}

\ left \ langle \ psi | \ varphi \ right \ rangle = \ sum _ {i} \ left \ langle \ psi | e_ {i} \ right \ rangle \ left \ langle e_ {i} | \ varphi \ right \ rangle

În mod formal, acesta poate fi exprimat și ca produs al vectorului de rând și al vectorului de coloană:

\langle \psi |\varphi \rangle ={\begin{pmatrix}\langle e_{1}|\psi \rangle ^{*}&\langle e_{2}|\psi \rangle ^{*}&\cdots \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\langle e_{1}|\varphi \rangle \\\langle e_{2}|\varphi \rangle \\\vdots \end{pmatrix}}

{\ displaystyle \ langle \ psi | \ varphi \ rangle = {\ begin {pmatrix} \ langle e_ {1} | \ psi \ rangle ^ {*} & \ langle e_ {2} | \ psi \ rangle ^ {*} & \ cdots \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} \ langle e_ {1} | \ varphi \ rangle \\\ langle e_ {2} | \ varphi \ rangle \\\ vdots \ end {pmatrix}}}

\ langle \ psi | \ varphi \ rangle = {\ begin {pmatrix} \ langle e_ {1} | \ psi \ rangle ^ {*} & \ langle e_ {2} | \ psi \ rangle ^ {*} & \ cdots \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} \ langle e_ {1} | \ varphi \ rangle \\\ langle e_ {2} | \ varphi \ rangle \\\ vdots \ end {pmatrix}}

sau alternativ, folosind coeficienții:

\left\langle \psi |\varphi \right\rangle =\sum _{i}\psi _{i}^{*}\varphi _{i}

{\ displaystyle \ left \ langle \ psi | \ varphi \ right \ rangle = \ sum _ {i} \ psi _ {i} ^ {*} \ varphi _ {i}}

\ left \ langle \ psi | \ varphi \ right \ rangle = \ sum _ {i} \ psi _ {i} ^ {*} \ varphi _ {i}

Dirac a propus să împartă termenul din stânga expresiei în două părți, prima $\left\langle \psi \right|$ ${\ displaystyle \ left \ langle \ psi \ right |}$ $\ left \ langle \ psi \ right |$ numit sutien și al doilea $\left|\varphi \right\rangle$ ${\ displaystyle \ left | \ varphi \ right \ rangle}$ $\ left | \ varphi \ right \ rangle$ numit ket . Prin urmare, produsul scalar reprezintă într-un fel amplitudinea probabilității dacă baza reprezentativă este ortonormală: altfel modulul pătrat al amplitudinii probabilității nu are o semnificație imediată a probabilității, dar este în orice caz proporțională cu probabilitatea.

Operatori

Același subiect în detaliu: Observabil .

Definim operatorul A o aplicație liniară care reprezintă matematic orice obiect fizic care interacționează cu stările pe care le luăm în considerare, inclusiv echipamente experimentale, prin modificarea stării $|\psi \rangle$ ${\ displaystyle | \ psi \ rangle}$ $| \ psi \ rangle$ și transformându-l în stat $A|\psi \rangle$ ${\ displaystyle A | \ psi \ rangle}$ $A | \ psi \ rangle$ . Operatorul A este complet definit dacă elementele sale sunt date în raport cu orice bază pe care o alegem $\{|e_{i}\rangle \}$ ${\ displaystyle \ {| e_ {i} \ rangle \}}$ $\ {| e_ {i} \ rangle \}$ :

{\begin{aligned}A|e_{1}\rangle =A_{11}|e_{1}\rangle +A_{21}|e_{2}\rangle +\cdots \\A|e_{2}\rangle =A_{12}|e_{1}\rangle +A_{22}|e_{2}\rangle +\cdots \end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} A | e_ {1} \ rangle = A_ {11} | e_ {1} \ rangle + A_ {21} | e_ {2} \ rangle + \ cdots \\ A | e_ { 2} \ rangle = A_ {12} | e_ {1} \ rangle + A_ {22} | e_ {2} \ rangle + \ cdots \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} A | e_ {1} \ rangle = A_ {11} | e_ {1} \ rangle + A_ {21} | e_ {2} \ rangle + \ cdots \\ A | e_ { 2} \ rangle = A_ {12} | e_ {1} \ rangle + A_ {22} | e_ {2} \ rangle + \ cdots \ end {align}}}

și așa mai departe, unde $A_{11}=\langle e_{1}|A|e_{1}\rangle$ ${\ displaystyle A_ {11} = \ langle e_ {1} | A | e_ {1} \ rangle}$ $A _ {{11}} = \ langle e_ {1} | A | e_ {1} \ rangle$ . De fapt, operatorul este atribuit atunci când numerele sale sunt cunoscute:

\langle e_{i}|A|e_{j}\rangle =A_{ij}

{\ displaystyle \ langle e_ {i} | A | e_ {j} \ rangle = A_ {ij}}

{\ displaystyle \ langle e_ {i} | A | e_ {j} \ rangle = A_ {ij}}

de fapt un operator care acționează asupra statului $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ și îl transformă într-o altă stare $\psi$ ${\ displaystyle \ psi}$ $\ psi$ poate fi descris de:

\langle \psi |A|\varphi \rangle =\sum _{i,j}\langle \psi |e_{i}\rangle \langle e_{i}|A|e_{j}\rangle \langle e_{j}|\varphi \rangle

{\ displaystyle \ langle \ psi | A | \ varphi \ rangle = \ sum _ {i, j} \ langle \ psi | e_ {i} \ rangle \ langle e_ {i} | A | e_ {j} \ rangle \ langle e_ {j} | \ varphi \ rangle}

\ langle \ psi | A | \ varphi \ rangle = \ sum _ {{i, j}} \ langle \ psi | e_ {i} \ rangle \ langle e_ {i} | A | e_ {j} \ rangle \ langle e_ {j} | \ varphi \ rangle

Să vedem mai întâi cum acționează un operator pe un ket de stat care este, de asemenea, reprezentat în aceeași bază:

A|\varphi \rangle =\sum _{i,j}|e_{i}\rangle \langle e_{i}|A|e_{j}\rangle \langle e_{j}|\varphi \rangle

{\ displaystyle A | \ varphi \ rangle = \ sum _ {i, j} | e_ {i} \ rangle \ langle e_ {i} | A | e_ {j} \ rangle \ langle e_ {j} | \ varphi \ rangle}

A | \ varphi \ rangle = \ sum _ {{i, j}} | e_ {i} \ rangle \ langle e_ {i} | A | e_ {j} \ rangle \ langle e_ {j} | \ varphi \ rangle

în același mod în care operatorul acționează asupra unui sutien:

\langle \psi |A=\sum _{i,j}\langle \psi |e_{i}\rangle \langle e_{i}|A|e_{j}\rangle \langle e_{j}|

{\ displaystyle \ langle \ psi | A = \ sum _ {i, j} \ langle \ psi | e_ {i} \ rangle \ langle e_ {i} | A | e_ {j} \ rangle \ langle e_ {j} |}

\ langle \ psi | A = \ sum _ {{i, j}} \ langle \ psi | e_ {i} \ rangle \ langle e_ {i} | A | e_ {j} \ rangle \ langle e_ {j} |

Deci formal un operator este bine reprezentat de o matrice $n\times n$ ${\ displaystyle n \ times n}$ $n \ ori n$ :

A={\begin{pmatrix}\langle e_{1}|A|e_{1}\rangle &\langle e_{1}|A|e_{2}\rangle &\cdots \\\langle e_{2}|A|e_{1}\rangle &\langle e_{2}|A|e_{2}\rangle &\cdots \\\vdots &\vdots &\ddots \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots \\A_{21}&A_{22}&\cdots \\\vdots &\vdots &\ddots \end{pmatrix}}=(A_{ij})

{\ displaystyle A = {\ begin {pmatrix} \ langle e_ {1} | A | e_ {1} \ rangle & \ langle e_ {1} | A | e_ {2} \ rangle & \ cdots \\\ langle e_ {2} | A | e_ {1} \ rangle & \ langle e_ {2} | A | e_ {2} \ rangle & \ cdots \\\ vdots & \ vdots & \ ddots \ end {pmatrix}} = {\ începe {pmatrix} A_ {11} & A_ {12} & \ cdots \\ A_ {21} & A_ {22} & \ cdots \\\ vdots & \ vdots & \ ddots \ end {pmatrix}} = (A_ { ij})}

A = {\ begin {pmatrix} \ langle e_ {1} | A | e_ {1} \ rangle & \ langle e_ {1} | A | e_ {2} \ rangle & \ cdots \\\ langle e_ {2} | A | e_ {1} \ rangle & \ langle e_ {2} | A | e_ {2} \ rangle & \ cdots \\\ vdots & \ vdots & \ ddots \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix } A _ {{11}} & A _ {{12}} & \ cdots \\ A _ {{21}} & A _ {{22}} & \ cdots \\\ vdots & \ vdots & \ ddots \ end {pmatrix}} = (A _ {{ij}})

Putem calcula apoi amplitudinea probabilității de trecere din stare $A|\psi \rangle$ ${\ displaystyle A | \ psi \ rangle}$ $A | \ psi \ rangle$ La stat $|\varphi \rangle$ ${\ displaystyle | \ varphi \ rangle}$ $| \ varphi \ rangle$ vom scrie $\left\langle \psi |A|\varphi \right\rangle$ ${\ displaystyle \ left \ langle \ psi | A | \ varphi \ right \ rangle}$ $\ left \ langle \ psi | A | \ varphi \ right \ rangle$ , numit și element matricial al lui A între ψ și φ . Prin descompunerea ψ și φ în stări de bază, putem calcula elementele matricei $\left\langle e_{i}|A|e_{j}\right\rangle$ ${\ displaystyle \ left \ langle e_ {i} | A | e_ {j} \ right \ rangle}$ $\ left \ langle e_ {i} | A | e_ {j} \ right \ rangle$ putem calcula amplitudinile rezultate pe $e_{i}$ ${\ displaystyle e_ {i}}$ $e_ {i}$ din pasajul în A al oricărei stări exprimate în $e_{j}$ ${\ displaystyle e_ {j}}$ $și_j$ .

Un caz particular de operator este operatorul de identitate , a cărui acțiune este de a lăsa vectorul de stare neschimbat:

\langle \psi |I|\varphi \rangle =\langle \psi |\varphi \rangle

{\ displaystyle \ langle \ psi | I | \ varphi \ rangle = \ langle \ psi | \ varphi \ rangle}

\ langle \ psi | I | \ varphi \ rangle = \ langle \ psi | \ varphi \ rangle

folosind operatorul de identitate vedem că putem exprima vectorii de bază:

\sum _{i}|e_{i}\rangle \langle e_{i}|=I

{\ displaystyle \ sum _ {i} | e_ {i} \ rangle \ langle e_ {i} | = I}

\ sum _ {i} | e_ {i} \ rangle \ langle e_ {i} | = I.

relația de completitudine menționată: exprimă faptul că baza vectorială trebuie să fie completă, adică fiecare vector trebuie să fie reprezentabil prin intermediul unui număr finit sau infinit de vectori de bază.

Produsul operatorilor

Operatorii care ne interesează sunt cei liniari, adică cei pentru care sunt valabili:

A(|\alpha \rangle +|\beta \rangle )=A|\alpha \rangle +A|\beta \rangle

{\ displaystyle A (| \ alpha \ rangle + | \ beta \ rangle) = A | \ alpha \ rangle + A | \ beta \ rangle}

{\ displaystyle A (| \ alpha \ rangle + | \ beta \ rangle) = A | \ alpha \ rangle + A | \ beta \ rangle}

A(a|\alpha \rangle )=aA|\alpha \rangle

{\ displaystyle A (a | \ alpha \ rangle) = aA | \ alpha \ rangle}

A (a | \ alpha \ rangle) = aA | \ alpha \ rangle

Acum, să presupunem că vom aplica ulterior doi operatori pe o stare inițială $|\varphi \rangle$ ${\ displaystyle | \ varphi \ rangle}$ $| \ varphi \ rangle$ și final $\langle \psi |$ ${\ displaystyle \ langle \ psi |}$ $\ langle \ psi |$ definite de obicei într-o bază comună ortonormală:

C=B\cdot A

{\ displaystyle C = B \ cdot A}

C = B \ cdot A

apoi aplicarea ulterioară a celor doi operatori:

\langle \psi |C|\varphi \rangle =\sum _{i}\langle \psi |B|e_{i}\rangle \langle e_{i}|A|\varphi \rangle

{\ displaystyle \ langle \ psi | C | \ varphi \ rangle = \ sum _ {i} \ langle \ psi | B | e_ {i} \ rangle \ langle e_ {i} | A | \ varphi \ rangle}

\ langle \ psi | C | \ varphi \ rangle = \ sum _ {i} \ langle \ psi | B | e_ {i} \ rangle \ langle e_ {i} | A | \ varphi \ rangle

sau:

\langle e_{j}|C|e_{k}\rangle =\sum _{i}\langle e_{j}|B|e_{i}\rangle \langle e_{i}|A|e_{k}\rangle =C_{jk}

{\ displaystyle \ langle e_ {j} | C | e_ {k} \ rangle = \ sum _ {i} \ langle e_ {j} | B | e_ {i} \ rangle \ langle e_ {i} | A | e_ {k} \ rangle = C_ {jk}}

{\ displaystyle \ langle e_ {j} | C | e_ {k} \ rangle = \ sum _ {i} \ langle e_ {j} | B | e_ {i} \ rangle \ langle e_ {i} | A | e_ {k} \ rangle = C_ {jk}}

Elementele lui C pot fi scrise compact:

C_{jk}=\sum _{i=1}^{n}A_{ij}\cdot B_{ki}

{\ displaystyle C_ {jk} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} A_ {ij} \ cdot B_ {ki}}

{\ displaystyle C_ {jk} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} A_ {ij} \ cdot B_ {ki}}

Rețineți că, în general, produsul a doi operatori nu este comutativ :

A\cdot B\neq B\cdot A

{\ displaystyle A \ cdot B \ neq B \ cdot A}

A \ cdot B \ neq B \ cdot A

iar acest fapt impune o serie de consecințe notabile în mecanica cuantică.

Operatori și matrici

Un operator liniar poate fi reprezentat cu o matrice. Să luăm cazul unei matrice pătrate $n\times n$ ${\ displaystyle n \ times n}$ $n \ ori n$ asa de:

A={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&\dots &A_{1n}\\A_{21}&A_{22}&\dots &A_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{n1}&A_{n2}&\dots &A_{nn}\end{pmatrix}}

{\ displaystyle A = {\ begin {pmatrix} A_ {11} & A_ {12} & \ dots & A_ {1n} \\ A_ {21} & A_ {22} & \ dots & A_ {2n} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ A_ {n1} & A_ {n2} & \ dots & A_ {nn} \ end {pmatrix}}}

A = {\ begin {pmatrix} A _ {{11}} & A _ {{12}} & \ dots & A _ {{1n}} \\ A _ {{21}} & A _ {{22} } & \ dots & A _ {{2n}} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ A _ {{n1}} & A _ {{n2}} & \ dots & A _ {{ nn}} \ end {pmatrix}}

În acest caz, este întotdeauna posibil să se producă produsul a două matrice, deoarece numărul de rânduri al unuia este întotdeauna egal cu numărul de coloane ale celuilalt, așa cum am văzut deja. Suntem capabili să definim câteva proprietăți indispensabile în mecanica cuantică pornind de la această matrice. Matricea obținută din A prin schimbul de rânduri cu coloane se numește operator transpus sau matrice transpusă :

A^{T}={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{21}&\dots &A_{n1}\\A_{12}&A_{22}&\dots &A_{n2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{1n}&A_{2n}&\dots &A_{nn}\end{pmatrix}}

{\ displaystyle A ^ {T} = {\ begin {pmatrix} A_ {11} & A_ {21} & \ dots & A_ {n1} \\ A_ {12} & A_ {22} & \ dots & A_ {n2 } \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ A_ {1n} & A_ {2n} & \ dots & A_ {nn} \ end {pmatrix}}}

A ^ {T} = {\ begin {pmatrix} A _ {{11}} & A _ {{21}} & \ dots & A _ {{n1}} \\ A _ {{12}} & A _ {{22}} & \ dots & A _ {{n2}} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ A _ {{1n}} & A _ {{2n}} & \ dots & A _ {{nn}} \ end {pmatrix}}

Dacă o matrice este egală cu transpunerea sa, se spune că este simetrică :

A=A^{T}

{\ displaystyle A = A ^ {T}}

A = A ^ {T}

,

dacă în schimb este egală cu matricea schimbată în semn se spune că este antisimetrică :

A=-A^{T}

{\ displaystyle A = -A ^ {T}}

A = -A ^ {T}

.

Se aplică produsului:

(A\cdot B)^{T}=B^{T}\cdot A^{T}

{\ displaystyle (A \ cdot B) ^ {T} = B ^ {T} \ cdot A ^ {T}}

(A \ cdot B) ^ {T} = B ^ {T} \ cdot A ^ {T}

.

O matrice complexă conjugată este definită ca matricea obținută din A cu elemente complexe conjugate:

A^{*}={\begin{pmatrix}A_{11}^{*}&A_{12}^{*}&\dots &A_{1n}^{*}\\A_{21}^{*}&A_{22}^{*}&\dots &A_{2n}^{*}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{n1}^{*}&A_{n2}^{*}&\dots &A_{nn}^{*}\end{pmatrix}}

{\ displaystyle A ^ {*} = {\ begin {pmatrix} A_ {11} ^ {*} & A_ {12} ^ {*} & \ dots & A_ {1n} ^ {*} \\ A_ {21} ^ {*} & A_ {22} ^ {*} & \ dots & A_ {2n} ^ {*} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ A_ {n1} ^ {*} & A_ {n2} ^ {*} & \ dots & A_ {nn} ^ {*} \ end {pmatrix}}}

A ^ {*} = {\ begin {pmatrix} A _ {{11}} ^ {{*}} & A _ {{12}} ^ {{*}} & \ dots & A _ {{1n}} ^ {{*}} \\ A _ {{21}} ^ {{*}} & A _ {{22}} ^ {{*}} & \ dots & A _ {{2n}} ^ {{* }} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ A _ {{n1}} ^ {{*}} & A _ {{n2}} ^ {{*}} & \ dots & A _ {{nn}} ^ {{*}} \ end {pmatrix}}

Putem spune că o matrice este reală dacă este egală cu conjugatul său complex:

A=A^{*}

{\ displaystyle A = A ^ {*}}

A = A ^ {*}

,

spunem că este imaginar dacă are toate elementele imaginare, adică dacă:

A=-A^{*}

{\ displaystyle A = -A ^ {*}}

A = -A ^ {*}

.

O matrice conjugată transpusă sau o matrice conjugată hermitiană este definită ca matricea obținută din A luând elementele transpuse ale lui A și luând complexele sale conjugate:

A^{\dagger }=(A^{T})^{*}=(A^{*})^{T}={\begin{pmatrix}A_{11}^{*}&A_{21}^{*}&\dots &A_{n1}^{*}\\A_{12}^{*}&A_{22}^{*}&\dots &A_{n2}^{*}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{1n}^{*}&A_{2n}^{*}&\dots &A_{nn}^{*}\end{pmatrix}}

{\ displaystyle A ^ {\ dagger} = (A ^ {T}) ^ {*} = (A ^ {*}) ^ {T} = {\ begin {pmatrix} A_ {11} ^ {*} & A_ {21} ^ {*} & \ dots & A_ {n1} ^ {*} \\ A_ {12} ^ {*} & A_ {22} ^ {*} & \ dots & A_ {n2} ^ {*} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ A_ {1n} ^ {*} & A_ {2n} ^ {*} & \ dots & A_ {nn} ^ {*} \ end {pmatrix}} }

A ^ {{\ dagger}} = (A ^ {T}) ^ {*} = (A ^ {*}) ^ {T} = {\ begin {pmatrix} A _ {{11}} ^ {{* }} & A _ {{21}} ^ {{*}} & \ dots & A _ {{n1}} ^ {{*}} \\ A _ {{12}} ^ {{*}} & A _ {{22}} ^ {{*}} & \ dots & A _ {{n2}} ^ {{*}} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ A _ {{1n} } ^ {{*}} & A _ {{2n}} ^ {{*}} & \ dots & A _ {{nn}} ^ {{*}} \ end {pmatrix}}

Matricea Hermitiană (sau auto-adăugată ) este definită ca matricea care are:

A=A^{\dagger }

{\ displaystyle A = A ^ {\ dagger}}

A = A ^ {{\ dagger}}

și anti-hermitiană pentru care:

A=-A^{\dagger }

{\ displaystyle A = -A ^ {\ dagger}}

A = -A ^ {{\ dagger}}

Pentru produsul a două matrice:

(A\cdot B)^{\dagger }=B^{\dagger }\cdot A^{\dagger }

{\ displaystyle (A \ cdot B) ^ {\ dagger} = B ^ {\ dagger} \ cdot A ^ {\ dagger}}

(A \ cdot B) ^ {{\ dagger}} = B ^ {{\ dagger}} \ cdot A ^ {{\ dagger}}

.

Definim matricea inversă a lui A, matricea $A^{-1}$ ${\ displaystyle A ^ {- 1}}$ $A ^ {- 1}$ astfel încât:

A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=I

{\ displaystyle A \ cdot A ^ {- 1} = A ^ {- 1} \ cdot A = I}

A \ cdot A ^ {{- 1}} = A ^ {{- 1}} \ cdot A = I

Matricea inversă există numai dacă A este inversabilă : o condiție necesară și suficientă pentru ca A să fie inversabilă este ca determinantul matricei să fie diferit de zero. Atunci matricea inversă este:

A^{-1}={\frac {|C|}{\det A}}

{\ displaystyle A ^ {- 1} = {\ frac {| C |} {\ det A}}}

{\ displaystyle A ^ {- 1} = {\ frac {| C |} {\ det A}}}

unde este $|C|$ ${\ displaystyle | C |}$ $| C |$ este matricea cofactorilor, obținută prin schimbul fiecărui element $A_{ij}$ ${\ displaystyle A_ {ij}}$ $A _ {{ij}}$ cu determinantul submatricii obținut prin ștergerea rândului i și a coloanei j. Se aplică produsului:

(A\cdot B)^{-1}=B^{-1}\cdot A^{-1}

{\ displaystyle (A \ cdot B) ^ {- 1} = B ^ {- 1} \ cdot A ^ {- 1}}

(A \ cdot B) ^ {{- 1}} = B ^ {{- 1}} \ cdot A ^ {{- 1}}

O matrice unitară este definită ca matrice astfel încât:

A^{-1}=A^{\dagger }

{\ displaystyle A ^ {- 1} = A ^ {\ dagger}}

A ^ {{- 1}} = A ^ {{\ dagger}}

Schimbarea bazelor ortonormale

Același subiect în detaliu: matrice de schimbare de bază .

Schimbările bazelor ortonormale sunt cele de interes în mecanica cuantică. Să presupunem că vrem să trecem de la vechea bază ortonormală $\{|e_{i}\rangle \}$ ${\ displaystyle \ {| e_ {i} \ rangle \}}$ $\ {| e_ {i} \ rangle \}$ la noua bază ortonormală $\{|f_{i}\rangle \}$ ${\ displaystyle \ {| f_ {i} \ rangle \}}$ $\ {| f_ {i} \ rangle \}$ . Atunci trebuie să exprimăm elementele bazei vechi ca combinații liniare ale noii baze:

{\begin{aligned}|e_{1}\rangle &=S_{11}|f_{1}\rangle +S_{21}|f_{2}\rangle +\dots +S_{n1}|f_{n}\rangle \\|e_{2}\rangle &=S_{12}|f_{1}\rangle +S_{22}|f_{2}\rangle +\dots +S_{n2}|f_{n}\rangle \\\vdots \\|e_{n}\rangle &=S_{1n}|f_{1}\rangle +S_{2n}|f_{2}\rangle +\dots +S_{nn}|f_{n}\rangle \end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} | e_ {1} \ rangle & = S_ {11} | f_ {1} \ rangle + S_ {21} | f_ {2} \ rangle + \ dots + S_ {n1} | f_ {n} \ rangle \\ | e_ {2} \ rangle & = S_ {12} | f_ {1} \ rangle + S_ {22} | f_ {2} \ rangle + \ dots + S_ {n2} | f_ {n} \ rangle \\\ vdots \\ | e_ {n} \ rangle & = S_ {1n} | f_ {1} \ rangle + S_ {2n} | f_ {2} \ rangle + \ dots + S_ {nn } | f_ {n} \ rangle \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} | e_ {1} \ rangle & = S_ {11} | f_ {1} \ rangle + S_ {21} | f_ {2} \ rangle + \ dots + S_ {n1} | f_ {n} \ rangle \\ | e_ {2} \ rangle & = S_ {12} | f_ {1} \ rangle + S_ {22} | f_ {2} \ rangle + \ dots + S_ {n2} | f_ {n} \ rangle \\\ vdots \\ | e_ {n} \ rangle & = S_ {1n} | f_ {1} \ rangle + S_ {2n} | f_ {2} \ rangle + \ dots + S_ {nn } | f_ {n} \ rangle \ end {align}}}

pentru orice set de numere $S_{ji}$ ${\ displaystyle S_ {ji}}$ $S _ {{ji}}$ . Rețineți că sunt transpuse. Compact:

|e_{j}\rangle =\sum _{i=1}^{n}S_{ij}|f_{i}\rangle

{\ displaystyle | e_ {j} \ rangle = \ sum _ {i = 1} ^ {n} S_ {ij} | f_ {i} \ rangle}

| e_ {j} \ rangle = \ sum _ {{i = 1}} ^ {{n}} S _ {{ij}} | f_ {i} \ rangle

Produs extern

Vedem că, în general, este posibil un alt tip de produs, cel reprezentat de:

|\alpha \rangle \langle \beta |

{\ displaystyle | \ alpha \ rangle \ langle \ beta |}

| \ alpha \ rangle \ langle \ beta |

se numește produs extern pentru a-l distinge de produsul scalar care este mai corect denumit produs intern. Produsul extern este un operator ale cărui elemente matrice sunt reprezentate de:

|\alpha \rangle \langle \beta |={\begin{pmatrix}\langle e_{1}|\alpha \rangle \langle e_{1}|\beta \rangle ^{*}&\langle e_{1}|\alpha \rangle \langle e_{2}|\beta \rangle ^{*}&\cdots \\\langle e_{2}|\alpha \rangle \langle e_{1}|\beta \rangle ^{*}&\langle e_{2}|\alpha \rangle \langle e_{2}|\beta \rangle ^{*}&\cdots \\\vdots &\vdots &\ddots \end{pmatrix}}

{\ displaystyle | \ alpha \ rangle \ langle \ beta | = {\ begin {pmatrix} \ langle e_ {1} | \ alpha \ rangle \ langle e_ {1} | \ beta \ rangle ^ {*} & \ langle e_ {1} | \ alpha \ rangle \ langle e_ {2} | \ beta \ rangle ^ {*} & \ cdots \\\ langle e_ {2} | \ alpha \ rangle \ langle e_ {1} | \ beta \ rangle ^ {*} & \ langle e_ {2} | \ alpha \ rangle \ langle e_ {2} | \ beta \ rangle ^ {*} & \ cdots \\\ vdots & \ vdots & \ ddots \ end {pmatrix}} }

| \ alpha \ rangle \ langle \ beta | = {\ begin {pmatrix} \ langle e_ {1} | \ alpha \ rangle \ langle e_ {1} | \ beta \ rangle ^ {*} & \ langle e_ {1} | \ alpha \ rangle \ langle e_ {2} | \ beta \ rangle ^ {*} & \ cdots \\\ langle e_ {2} | \ alpha \ rangle \ langle e_ {1} | \ beta \ rangle ^ {* } & \ langle e_ {2} | \ alpha \ rangle \ langle e_ {2} | \ beta \ rangle ^ {*} & \ cdots \\\ vdots & \ vdots & \ ddots \ end {pmatrix}}

Exemple

Luați de exemplu o particulă cu spin 1/2, electronul . Avem doar 2 stări de bază posibile: rotiți pe ( $|+\rangle$ ${\ displaystyle | + \ rangle}$ $| + \ rangle$ ) și rotiți în jos ( $|-\rangle$ ${\ displaystyle | - \ rangle}$ $| - \ rangle$ ). Prin urmare, operatorul A ar fi

\left\langle i|A|j\right\rangle =\left({\begin{matrix}{\langle +|A|+\rangle },{\langle +|A|-\rangle }\\{\langle -|A|+\rangle },{\langle -|A|-\rangle }\\\end{matrix}}\right)

{\ displaystyle \ left \ langle i | A | j \ right \ rangle = \ left ({\ begin {matrix} {\ langle + | A | + \ rangle}, {\ langle + | A | - \ rangle} \ \ {\ langle - | A | + \ rangle}, {\ langle - | A | - \ rangle} \\\ end {matrix}} \ right)}

\ left \ langle i | A | j \ right \ rangle = \ left ({\ begin {matrix} {\ langle + | A | + \ rangle}, {\ langle + | A | - \ rangle} \\ {\ langle - | A | + \ rangle}, {\ langle - | A | - \ rangle} \\\ end {matrix}} \ right)

Un operator particular este cel al evoluției temporale . Dacă luăm în considerare electronul la momentul t ₁ într-o anumită stare ( + sau - ), va avea o anumită probabilitate de a fi, la un moment t ₂ ulterior primului, într-o anumită stare ( + sau - ). Fiecare dintre cele patru posibilități va fi reprezentată de următoarea notație matricială:

\left\langle i|U(t_{1},t_{2})|j\right\rangle =\left({\begin{matrix}{\langle +|U(t_{1},t_{2})|+\rangle },{\langle +|U(t_{1},t_{2})|-\rangle }\\{\langle -|U(t_{1},t_{2})|+\rangle },{\langle -|U(t_{1},t_{2})|-\rangle }\\\end{matrix}}\right)

{\ displaystyle \ left \ langle i | U (t_ {1}, t_ {2}) | j \ right \ rangle = \ left ({\ begin {matrix} {\ langle + | U (t_ {1}, t_ {2}) | + \ rangle}, {\ langle + | U (t_ {1}, t_ {2}) | - \ rangle} \\ {\ langle - | U (t_ {1}, t_ {2} ) | + \ rangle}, {\ langle - | U (t_ {1}, t_ {2}) | - \ rangle} \\\ end {matrix}} \ right)}

\ left \ langle i | U (t_ {1}, t_ {2}) | j \ right \ rangle = \ left ({\ begin {matrix} {\ langle + | U (t_ {1}, t_ {2} ) | + \ rangle}, {\ langle + | U (t_ {1}, t_ {2}) | - \ rangle} \\ {\ langle - | U (t_ {1}, t_ {2}) | + \ rangle}, {\ langle - | U (t_ {1}, t_ {2}) | - \ rangle} \\\ end {matrix}} \ right)

Limita pentru t ₁ → -∞ și t ₂ → + ∞ este un caz special: în acest caz operatorul de evoluție a timpului se numește matrice S (din împrăștiere ) și introduce teoria propagatorilor .

Notarea în matematică

În fizică, mediul luat în considerare atunci când se utilizează notația bra-ket este un spațiu Hilbert .

Este ${\mathcal {H}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$ ${\ mathcal H}$ un spațiu Hilbert e $(\cdot ,\cdot )$ ${\ displaystyle (\ cdot, \ cdot)}$ ${\ displaystyle (\ cdot, \ cdot)}$ produsul său intern. Un vector $h\in {\mathcal {H}}$ ${\ displaystyle h \ in {\ mathcal {H}}}$ ${\ displaystyle h \ in {\ mathcal {H}}}$ este notat ca ket $|h\rangle \in {\mathcal {H}}$ ${\ displaystyle | h \ rangle \ in {\ mathcal {H}}}$ ${\ displaystyle | h \ rangle \ in {\ mathcal {H}}}$ în fizică. Este ${\mathcal {H}}^{*}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {H}} ^ {*}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {H}} ^ {*}}$ spațiul dual al ${\mathcal {H}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$ ${\ mathcal H}$ . De sine ${\mathcal {H}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$ ${\ mathcal H}$ este spațiu finit-dimensional sau dual ${\mathcal {H}}^{*}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {H}} ^ {*}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {H}} ^ {*}}$ este și topologic, pentru teorema reprezentării Riesz există un izomorfism $J:{\mathcal {H}}\rightarrow {\mathcal {H}}^{*}$ ${\ displaystyle J: {\ mathcal {H}} \ rightarrow {\ mathcal {H}} ^ {*}}$ ${\ displaystyle J: {\ mathcal {H}} \ rightarrow {\ mathcal {H}} ^ {*}}$ , adică orice funcțional liniar $\phi \in {\mathcal {H}}^{*}$ $\phi \in {\mathcal {H}}^{*}$ $\phi \in {\mathcal {H}}^{*}$ si può scrivere nella forma

\phi (h)=(h,g)\quad \forall h\in {\mathcal {H}}

\phi (h)=(h,g)\quad \forall h\in {\mathcal {H}}

\phi (h)=(h,g)\quad \forall h\in {\mathcal {H}}

mediante un unico $g\in {\mathcal {H}}$ $g\in {\mathcal {H}}$ $g\in {\mathcal {H}}$ , e per tale motivo si può scrivere $\phi =\phi _{g}$ $\phi =\phi _{g}$ $\phi =\phi _{g}$ . L'elemento duale $\phi _{h}\in {\mathcal {H}}^{*}$ $\phi _{h}\in {\mathcal {H}}^{*}$ $\phi _{h}\in {\mathcal {H}}^{*}$ è denotato con bra $\langle h|\in {\mathcal {H}}^{*}$ $\langle h|\in {\mathcal {H}}^{*}$ $\langle h|\in {\mathcal {H}}^{*}$ in fisica. Quindi la scrittura $\langle h|g\rangle$ $\langle h|g\rangle$ $\langle h|g\rangle$ corrisponde alle notazioni matematiche $(\phi _{h},g)=\phi _{h}(g)=(h,g)$ $(\phi _{h},g)=\phi _{h}(g)=(h,g)$ $(\phi _{h},g)=\phi _{h}(g)=(h,g)$ .

Note

^ PAM Dirac, A new notation for quantum mechanics , in Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , vol. 35, 1º gennaio 1939, p. 416, DOI : 10.1017/S0305004100021162 . URL consultato il 26 novembre 2016 .

Voci correlate

Simboli HTML

Nel linguaggio HTML , i simboli per il bra e il ket sono codificati da ⟨ e ⟩, e corrispondono ai codici #9001 e #9002

Altri progetti

Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su Notazione bra-ket

Portale Fisica : accedi alle voci di Wikipedia che trattano di Fisica

[1] PAM Dirac, A new notation for quantum mechanics , in Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , vol. 35, 1º gennaio 1939, p. 416, DOI : 10.1017/S0305004100021162 . URL consultato il 26 novembre 2016 .

[1]

V · D · M Meccanica quantistica
Formalismo matematico	Notazione bra-ket · Spazio di Hilbert ·Postulati della meccanica quantistica · Operatore normale · Interferenza (fisica)
Fondamenti e principi	Principio di indeterminazione di Heisenberg · Principio di complementarità · Funzione d'onda · Collasso della funzione d'onda · Interpretazione di Copenaghen · Spin · Vecchia teoria dei quanti · Interpretazione di Bohm
Operatori	Operatore impulso · Operatore posizione · Operatore hamiltoniano · Operatore momento angolare · Operatore densità
Formulazioni	Meccanica ondulatoria · Meccanica delle matrici · Integrale sui cammini
Equazioni	Equazione di Dirac · Equazione di Klein-Gordon · Equazione di Pauli · Equazione di Schrödinger
Paradossi	Paradosso del gatto di Schrödinger · Paradosso di Einstein-Podolsky-Rosen · Suicidio quantistico