Matrice anti-hermitiană

În algebră liniară , o matrice pătrată $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ se numește antihermitian dacă conjugatul său se transpune $A^{\dagger }$ ${\ displaystyle A ^ {\ dagger}}$ $A ^ {\ dagger}$ este opusul său. Adică, dacă satisface relația:

A^{\dagger }=-A

{\ displaystyle A ^ {\ dagger} = - A}

{\ displaystyle A ^ {\ dagger} = - A}

Folosind componentele, dacă $A=(a_{i,j})$ ${\ displaystyle A = (a_ {i, j})}$ ${\ displaystyle A = (a_ {i, j})}$ avem:

a_{i,j}=-{\overline {a_{j,i}}}

{\ displaystyle a_ {i, j} = - {\ overline {a_ {j, i}}}}

{\ displaystyle a_ {i, j} = - {\ overline {a_ {j, i}}}}

pentru fiecare i și j .

De exemplu, următoarea matrice:

{\begin{pmatrix}i&2+i\\-2+i&3i\end{pmatrix}}

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} i & 2 + i \\ - 2 + i & 3i \ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} i & 2 + i \\ - 2 + i & 3i \ end {pmatrix}}}

este antiermitian.

Proprietate

Matricile antihermitiene au următoarele proprietăți:

Toate elementele de pe diagonala principală a unei matrice anti-hermitiene trebuie să fie imaginare pură, adică trebuie să fie pe axa imaginară în planul complex . Același lucru este valabil și pentru valorile proprii ale unei matrice anti-hermitiene.
De sine $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este anti-hermitian, $the LA$ ${\ displaystyle iA}$ ${\ displaystyle iA}$ este Hermitian
De sine $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ sunt anti-ermitieni, $aA+bB$ ${\ displaystyle aA + bB}$ ${\ displaystyle aA + bB}$ este antihermitian pentru orice pereche de scalari regali $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ .
Toate matricile anti-hermitiene sunt normale .
De sine $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este anti-hermitian, $A^{2}$ ${\ displaystyle A ^ {2}}$ $A ^ {2}$ este Hermitian.
De sine $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este anti-hermitian, $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ ridicat la o putere ciudată este anti-hermitian.

Bibliografie

Roger A. Horn, Charles R. Johnson, Matrix Analysis , Cambridge University Press , 1985, ISBN 978-0-521-38632-6 .
Carl D. Meyer, Matrix Analysis and Applied Linear Algebra , Society for Industrial and Applied Mathematics, 2000, ISBN 978-0-89871-454-8 .

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) Matricea Skew-Hermitian , în PlanetMath .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică