Matrice hermitiană

În algebra liniară, o matrice hermitiană (numită după matematicianul francez Charles Hermite ) sau matrice auto-adăugată este o matrice cu valoare complexă care coincide cu propria sa transpunere conjugată (sau matrice adăugată ). O matrice hermitiană cu elemente în câmpul numerelor reale este deci o matrice simetrică .

Matricile hermitiene sunt unitar echivalente cu matricile diagonale reale.

Definiție

O matrice $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ de elemente $a_{i,j}$ ${\ displaystyle a_ {i, j}}$ $a _ {{i, j}}$ este Hermitian dacă elementul din rândul i -lea și coloana j -lea este egal cu conjugata complexă a elementului din rândul j -lea și i coloana -lea (pentru toți indicii i și j), adică:

a_{i,j}={\bar {a}}_{j,i}

{\ displaystyle a_ {i, j} = {\ bar {a}} _ {j, i}}

a _ {{i, j}} = {\ bar {a}} _ {{j, i}}

Dacă elementele sale sunt reale, o matrice hermitiană coincide cu propria sa transpunere și, prin urmare, este o matrice simetrică .

Adesea conjugatul transpune matricea lui $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ se notează cu $A^{\dagger }$ ${\ displaystyle A ^ {\ dagger}}$ $A ^ {\ dagger}$ , astfel, dacă $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este Hermitian este scris:

A=A^{\dagger }

{\ displaystyle A = A ^ {\ dagger}}

A = A ^ {\ dagger}

Trebuie remarcat faptul că, în funcție de autori, asteriscul $A^{*}$ ${\ displaystyle A ^ {*}}$ $A ^ {*}$ este folosit pentru a indica atât conjugatul complex ${\overline {A}}$ ${\ displaystyle {\ overline {A}}}$ $\ overline A$ acea $A^{\dagger }$ ${\ displaystyle A ^ {\ dagger}}$ $A ^ {\ dagger}$ .

Un exemplu de matrice hermitiană este:

{\begin{pmatrix}3&2+i\\2-i&1\end{pmatrix}}

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 3 & 2 + i \\ 2-i & 1 \ end {pmatrix}}}

{\ begin {pmatrix} 3 & 2 + i \\ 2-i & 1 \ end {pmatrix}}

Proprietate

Fiecare matrice hermitiană este o matrice pătrată a formei $A=B+iC$ ${\ displaystyle A = B + iC}$ $A = B + iC$ , unde este $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ este o matrice simetrică (egală cu propria sa transpunere) cu componente reale e $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ este o matrice antisimetrică (opusă propriei transpuneri) cu componente reale și invers. În special, elementele de pe diagonala principală a unei matrice hermitiene sunt reale, iar o matrice cu componente reale este hermitiană dacă și numai dacă este simetrică.

Matricile hermitiene sunt suma a două matrice hermitiene și inversul unei matrici hermitiene inversabile. Produsul a două matrice hermitiene $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ , pe de altă parte, este o matrice hermitiană dacă și numai dacă fac naveta, adică dacă $AB=BA$ ${\ displaystyle AB = BA}$ $AB = BA$ .

Mulțimea matricilor hermitiene de ordinul n este un spațiu vectorial pe câmpul numerelor reale de dimensiune $n^{2}$ ${\ displaystyle n ^ {2}}$ $n ^ {2}$ : n elementele de pe diagonală sunt reale și n (n-1) alte elemente sunt perechi de numere conjugate complexe ( $x+iy$ ${\ displaystyle x + iy}$ $x + iy$ Și $x-iy$ ${\ displaystyle x-iy}$ $x-iy$ ), deci în perechi definite de o pereche de numere reale. Pe de altă parte, nu este un spațiu vectorial pe numere complexe , ca $iI_{n}$ ${\ displaystyle iI_ {n}}$ $iI_ {n}$ nu este Hermitian (în timp ce este $I_{n}$ ${\ displaystyle I_ {n}}$ $În}$ ).

Fiecare matrice hermitiană $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ de ordin finit este normal și teorema spectrală este valabilă pentru aceasta: $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ poate fi diagonalizat printr-o matrice unitară și are doar valori proprii reale; în special, vectorii proprii care se referă la valorile proprii distincte ale $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ sunt ortogonali între ele (conform produsului Hermitian standard) și este posibil să se găsească o bază ortonormală a $\mathbb {C} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$ format numai din vectori proprii ai $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ . Dacă n vectori proprii ortonormali $u_{1},\dots ,u_{n}$ ${\ displaystyle u_ {1}, \ dots, u_ {n}}$ $u_ {1}, \ dots, u_ {n}$ a unei matrice hermitiene $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ sunt scrise ca coloane ale unei matrice $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ , apoi descompunerea spectrală a $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este dat de:

A=UDU^{\dagger }

{\ displaystyle A = UDU ^ {\ dagger}}

{\ displaystyle A = UDU ^ {\ dagger}}

unde este $UU^{\dagger }=I=U^{\dagger }U$ ${\ displaystyle UU ^ {\ dagger} = I = U ^ {\ dagger} U}$ $UU ^ {\ dagger} = I = U ^ {\ dagger} U$ Așadar:

A=\sum _{j}\lambda _{j}u_{j}u_{j}^{\dagger }

{\ displaystyle A = \ sum _ {j} \ lambda _ {j} u_ {j} u_ {j} ^ {\ dagger}}

A = \ sum _ {j} \ lambda _ {j} u_ {j} u_ {j} ^ {\ dagger}

unde este $\lambda _{j}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {j}}$ $\ lambda _ {j}$ sunt valorile proprii de pe diagonala matricei diagonale $D.$ ${\ displaystyle D}$ ${\ displaystyle D}$ .

Dacă valorile proprii ale unei matrice hermitiene sunt toate pozitive, matricea se numește pozitivă definită , în timp ce dacă sunt toate non-negative, matricea se numește semidefinită pozitivă .

Determinantul unei matrice hermitiene este real. Intr-adevar, $\det(A)=\det(A^{\mathrm {T} })$ ${\ displaystyle \ det (A) = \ det (A ^ {\ mathrm {T}})}$ $\ det (A) = \ det (A ^ {{\ mathrm {T}}})$ de la care $\det(A^{\dagger })=\det(A)^{*}$ ${\ displaystyle \ det (A ^ {\ dagger}) = \ det (A) ^ {*}}$ $\ det (A ^ {\ dagger}) = \ det (A) ^ {*}$ ; astfel, dacă $A=A^{\dagger }$ ${\ displaystyle A = A ^ {\ dagger}}$ $A = A ^ {\ dagger}$ asa de $\det(A)=\det(A)^{*}$ ${\ displaystyle \ det (A) = \ det (A) ^ {*}}$ $\ det (A) = \ det (A) ^ {*}$ . Alternativ, se poate observa că determinantul este produsul valorilor proprii, care sunt reale.

Bibliografie

( EN ) FR Gantmacher, Matrix theory , 1-2 , Chelsea, reeditare (1959)
( EN ) B. Noble, JW Daniel, Algebra liniară aplicată , Prentice-Hall (1979)

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) AL Onishchik, matricea Hermitiană , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.
( EN ) Visualizing Hermitian Matrix as An Ellipse with Dr. Geo , de Chao-Kuei Hung de la Universitatea Shu-Te, oferă o explicație mai geometrică.

Controlul autorității	GND ( DE ) 4159614-6

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică