Matricea antisimetrică

În matematică, o matrice antisimetrică sau hemimetrică este o matrice pătrată $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ a cărui transpunere este și opusul său, adică:

A^{t}=-A

{\ displaystyle A ^ {t} = - A}

{\ displaystyle A ^ {t} = - A}

În ceea ce privește elementele sale $a_{i,j}$ ${\ displaystyle a_ {i, j}}$ $a _ {{i, j}}$ , pentru fiecare $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ Și $j$ ${\ displaystyle j}$ $j$ este valabil:

a_{i,j}=-a_{j,i}

{\ displaystyle a_ {i, j} = - a_ {j, i}}

{\ displaystyle a_ {i, j} = - a_ {j, i}}

De exemplu, matricea:

{\begin{pmatrix}0&2&-1\\-2&0&-4\\1&4&0\end{pmatrix}}

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 0 & 2 & -1 \\ - 2 & 0 & -4 \\ 1 & 4 & 0 \ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 0 & 2 & -1 \\ - 2 & 0 & -4 \\ 1 & 4 & 0 \ end {pmatrix}}}

este antisimetric.

Proprietate

Diagonala principală

Dacă intrările matricei aparțin unui câmp cu o altă caracteristică decât 2, toate elementele de pe diagonala principală a unei matrice simetrice înclinate sunt egale cu zero, deoarece prin definiție $a_{i,i}=-a_{i,i}$ ${\ displaystyle a_ {i, i} = - a_ {i, i}}$ ${\ displaystyle a_ {i, i} = - a_ {i, i}}$ . În special, o matrice asimetrică are o urmă zero.

Determinant

De sine $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este o matrice antisimetrică de ordinul n , determinantul său îndeplinește:

\det(A)=\det(A^{t})=\det(-A)=(-1)^{n}\det(A)

{\ displaystyle \ det (A) = \ det (A ^ {t}) = \ det (-A) = (- 1) ^ {n} \ det (A)}

{\ displaystyle \ det (A) = \ det (A ^ {t}) = \ det (-A) = (- 1) ^ {n} \ det (A)}

În special, dacă n este impar, determinantul este zero. Dacă n este egal, determinantul lui $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este pătratul unui polinom $\operatorname {Pf} (A)$ ${\ displaystyle \ operatorname {Pf} (A)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Pf} (A)}$ ( Pfaffiano ) calculat în componentele $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ :

\det(A)=\operatorname {Pf} (A)^{2}

{\ displaystyle \ det (A) = \ operatorname {Pf} (A) ^ {2}}

{\ displaystyle \ det (A) = \ operatorname {Pf} (A) ^ {2}}

Cu toate acestea, se poate demonstra într-un mod elementar că determinantul unei matrici antisimetrice reale este non-negativ. De fapt, valorile proprii ale unei matrice antisimetrice reale sunt numere imaginare pure și fiecare valoare proprie corespunde valorii proprii conjugate, cu aceeași multiplicitate. Prin urmare $\det(A)$ ${\ displaystyle \ det (A)}$ $\ det (A)$ , fiind produsul valorilor proprii (fiecare se repetă în funcție de multiplicitatea sa), dacă nu este zero este un produs al numerelor reale pozitive.

Matrici simetrice și antisimetrice

Pentru fiecare matrice pătrată $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , matricea $T=A-A^{t}$ ${\ displaystyle T = AA ^ {t}}$ ${\ displaystyle T = A-A ^ {t}}$ este o matrice antisimetrică, în timp ce matricea $S=A+A^{t}$ ${\ displaystyle S = A + A ^ {t}}$ ${\ displaystyle S = A + A ^ {t}}$ este o matrice simetrică.

Este posibil (dacă $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ are elemente într-un domeniu de caracteristici altele decât 2) scrie $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ ca:

A=(S+T)/2={1 \over 2}S+{1 \over 2}T

{\ displaystyle A = (S + T) / 2 = {1 \ peste 2} S + {1 \ peste 2} T}

{\ displaystyle A = (S + T) / 2 = {1 \ peste 2} S + {1 \ peste 2} T}

adică ca sumă a unei matrice simetrice și a unei matrice antisimetrice. Matricea transpusă a $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ în acest caz este:

A^{t}=(S-T)/2

{\ displaystyle A ^ {t} = (ST) / 2}

{\ displaystyle A ^ {t} = (S-T) / 2}

Teoria spectrală

Dacă o matrice antisimetrică $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ are o valoare proprie $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ atunci are și o valoare proprie $-\lambda$ ${\ displaystyle - \ lambda}$ ${\ displaystyle - \ lambda}$ . Adică dacă:

Av=\lambda v

{\ displaystyle Av = \ lambda v}

{\ displaystyle Av = \ lambda v}

asa de $v^{t}A^{t}=\lambda v^{t}$ ${\ displaystyle v ^ {t} A ^ {t} = \ lambda v ^ {t}}$ ${\ displaystyle v ^ {t} A ^ {t} = \ lambda v ^ {t}}$ , asa de:

v^{t}A=-v^{t}A^{t}=-\lambda v^{t}

{\ displaystyle v ^ {t} A = -v ^ {t} A ^ {t} = - \ lambda v ^ {t}}

{\ displaystyle v ^ {t} A = -v ^ {t} A ^ {t} = - \ lambda v ^ {t}}

În special, valorile proprii ale unei matrice antisimetrice se găsesc întotdeauna în perechi $(\lambda ,-\lambda )$ ${\ displaystyle (\ lambda, - \ lambda)}$ ${\ displaystyle (\ lambda, - \ lambda)}$ , cu excepția cazului dimensiunii impare în care există și o valoare proprie nulă.

Valorile proprii ale unei matrici antisimetrice reale sunt toate imaginare pure, deci de formă $\pm i\lambda _{i}$ ${\ displaystyle \ pm i \ lambda _ {i}}$ ${\ displaystyle \ pm i \ lambda _ {i}}$ , cu $\lambda _{i}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {i}}$ $\ lambda _ {i}$ real.

Matricile antisimetrice reale sunt matrice normale și în special pentru ele se menține teorema spectrală , adică pot fi diagonalizate printr-o matrice unitară . Deci, dacă o matrice antisimetrică reală are o valoare proprie diferită de zero, aceasta nu este reală și matricea nu poate fi diagonalizată printr-o matrice reală. Cu toate acestea, este posibil să se transforme orice matrice antisimetrică $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ într-o matrice diagonală bloc printr-o matrice ortogonală $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ (cu $R^{t}=R^{-1}$ ${\ displaystyle R ^ {t} = R ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle R ^ {t} = R ^ {- 1}}$ ), sau astfel încât $\Sigma _{n}=R^{-1}AR=R^{t}AR$ ${\ displaystyle \ Sigma _ {n} = R ^ {- 1} AR = R ^ {t} AR}$ ${\ displaystyle \ Sigma _ {n} = R ^ {- 1} AR = R ^ {t} AR}$ este una dintre cele două forme:

\Sigma _{2r}={\begin{pmatrix}{\begin{bmatrix}0&\lambda _{1}\\-\lambda _{1}&0\end{bmatrix}}&O&\cdots &O\\O&{\begin{bmatrix}0&\lambda _{2}\\-\lambda _{2}&0\end{bmatrix}}&&O\\\vdots &&\ddots &\vdots \\O&O&\cdots &{\begin{bmatrix}0&\lambda _{r}\\-\lambda _{r}&0\end{bmatrix}}\end{pmatrix}}\qquad \Sigma _{2r+1}={\begin{pmatrix}{\begin{bmatrix}\Sigma _{2r}\end{bmatrix}}&O\\O&{\begin{bmatrix}0\end{bmatrix}}\end{pmatrix}}

{\ displaystyle \ Sigma _ {2r} = {\ begin {pmatrix} {\ begin {bmatrix} 0 & \ lambda _ {1} \\ - \ lambda _ {1} & 0 \ end {bmatrix}} & O & \ cdots & O \ \ O & {\ begin {bmatrix} 0 & \ lambda _ {2} \\ - \ lambda _ {2} & 0 \ end {bmatrix}} && O \\\ vdots && \ ddots & \ vdots \\ O & O & \ cdots & {\ begin {bmatrix} 0 & \ lambda _ {r} \\ - \ lambda _ {r} & 0 \ end {bmatrix}} \ end {pmatrix}} \ qquad \ Sigma _ {2r + 1} = {\ begin {pmatrix} {\ begin {bmatrix} \ Sigma _ {2r} \ end {bmatrix}} & O \\ O & {\ begin {bmatrix} 0 \ end {bmatrix} } \ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle \ Sigma _ {2r} = {\ begin {pmatrix} {\ begin {bmatrix} 0 & \ lambda _ {1} \\ - \ lambda _ {1} & 0 \ end {bmatrix}} & O & \ cdots & O \ \ O & {\ begin {bmatrix} 0 & \ lambda _ {2} \\ - \ lambda _ {2} & 0 \ end {bmatrix}} && O \\\ vdots && \ ddots & \ vdots \\ O & O & \ cdots & {\ begin {bmatrix} 0 & \ lambda _ {r} \\ - \ lambda _ {r} & 0 \ end {bmatrix}} \ end {pmatrix}} \ qquad \ Sigma _ {2r + 1} = {\ begin {pmatrix} {\ begin {bmatrix} \ Sigma _ {2r} \ end {bmatrix}} & O \\ O & {\ begin {bmatrix} 0 \ end {bmatrix} } \ end {pmatrix}}}

cu valori proprii $\pm i\lambda _{k}$ ${\ displaystyle \ pm i \ lambda _ {k}}$ ${\ displaystyle \ pm i \ lambda _ {k}}$ (plus o valoare proprie dacă n este impar).

Forme alternative

O formă alternativă (sau antisimetrică) $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ pe un spațiu vectorial $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ peste un câmp $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ (cu alte caracteristici decât 2) este o formă biliniară $\varphi :V\times V\to K$ ${\ displaystyle \ varphi: V \ times V \ to K}$ ${\ displaystyle \ varphi: V \ times V \ to K}$ astfel încât:

\varphi (v,w)=-\varphi (w,v)

{\ displaystyle \ varphi (v, w) = - \ varphi (w, v)}

{\ displaystyle \ varphi (v, w) = - \ varphi (w, v)}

Fiecare formă alternativă $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ este reprezentată de o matrice antisimetrică $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ pe baza de $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ , $\varphi (v,w)=v^{t}Aw$ ${\ displaystyle \ varphi (v, w) = v ^ {t} Aw}$ ${\ displaystyle \ varphi (v, w) = v ^ {t} Aw}$ , si invers.

Rotații infinitesimale

Matricile înclinate-simetrice de ordinul n cu elemente dintr-un câmp $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ sunt un spațiu vectorial pe $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ de dimensiunea n (n - 1) / 2 , care este spațiul tangent la grupul ortogonal $O(n)$ ${\ displaystyle O (n)}$ $Pe)$ în matricea identității ; în această interpretare, matricile antisimetrice pot fi derivate din rotații infinitesimale .

În mod echivalent, spațiul vectorial al matricelor antisimetrice formează algebra Lie $o(n)$ ${\ displaystyle o (n)}$ ${\ displaystyle o (n)}$ a grupului Lie $O(n)$ ${\ displaystyle O (n)}$ $Pe)$ . Parantezul Lie de pe acesta este comutatorul $[A,B]=AB-BA$ ${\ displaystyle [A, B] = AB-BA}$ ${\ displaystyle [A, B] = AB-BA}$ , care este antisimetric:

(AB-BA)^{t}=B^{t}A^{t}-A^{t}B^{t}=BA-AB

{\ displaystyle (AB-BA) ^ {t} = B ^ {t} A ^ {t} -A ^ {t} B ^ {t} = BA-AB}

{\ displaystyle (AB-BA) ^ {t} = B ^ {t} A ^ {t} -A ^ {t} B ^ {t} = BA-AB}

Mai mult, matricea exponențială $R=\exp(A)$ ${\ displaystyle R = \ exp (A)}$ ${\ displaystyle R = \ exp (A)}$ a unei matrice antisimetrice $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este o matrice ortogonală :

R^{t}=\mathrm {e} ^{A^{t}}=\mathrm {e} ^{-A}=(\mathrm {e} ^{A})^{-1}=R^{-1}

{\ displaystyle R ^ {t} = \ mathrm {e} ^ {A ^ {t}} = \ mathrm {e} ^ {- A} = (\ mathrm {e} ^ {A}) ^ {- 1} = R ^ {- 1}}

{\ displaystyle R ^ {t} = \ mathrm {e} ^ {A ^ {t}} = \ mathrm {e} ^ {- A} = (\ mathrm {e} ^ {A}) ^ {- 1} = R ^ {- 1}}

Ca rezultat, imaginea exponențială a aplicației se află în componenta conectată a $O(n)$ ${\ displaystyle O (n)}$ $Pe)$ , grupul ortogonal special $SO(n)$ ${\ displaystyle SO (n)}$ $SO (n)$ și fiecare rotație $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ are determinant $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ . În special, fiecare matrice ortogonală specială (cu determinant $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ ) este exponențialul unei matrice antisimetrice.

Bibliografie

( EN ) S. Helgason, Geometrie diferențială, grupuri de minciuni și spații simetrice , Acad. Presă (1978)

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) DA Suprunenko, Skew-symmetric matrix , în Encyclopaedia of Mathematics , Springer and European Mathematical Society, 2002.

Controlul autorității	GND ( DE ) 4288298-9

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

V · D · M Algebră liniară
Spațiu vectorial	Carrier · subspatiu ( Subspatiul generat ) · Aplicație Liniar ( Core · imagine ) · Base · Dimensiunea · dimensiunea Teorema · Grassmann Formula · sistem liniar · Gauss algoritm · Rouche-Capelli , teorema · Regula lui Cramer · spațiu dual · proiectiv spațiu · afină spațiu · Dimensiune teorema pentru spațiile vectoriale
Matrici	Identitate · Nimic · Pătrat · Reversibil · Simetric · înclinat · Transpunere · Diagonală · Triunghi · Ca schimbare de bază · Ortogonală · Normală · Simplectică · Multiplicarea matricilor · Rang · Teorema Kronecker · Minor · Matricea cofactorilor · Determinant · Teorema Binet · Laplace teorema · Rădăcina pătrată a unei matrice
Diagonalizabilitate	Valori proprii și vectori proprii · Spectru · Caracteristică polinomială · Minim polinomial · Teorema Cayley-Hamilton · Bloc matricial · Formă canonică Jordan · Diagonalizabilitatea teoremei
Produs scalar	Forma biliniară · subspațiu ortogonală · spațiu euclidian · ortonormală de bază · Lagrange Algoritmul · Mark · teorema lui Sylvester · Gram-Schmidt · Forma sesquilineare · Hermitian Forma · Spectral teorema