Coeficientul Rayleigh

În matematică , în special în domeniul algebrei liniare și al analizei funcționale , pentru o matrice Hermitiană dată $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ și un vector diferit de zero $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ , coeficientul Rayleigh este numărul real:

R(A,x):={x^{\dagger }Ax \over x^{\dagger }x}

{\ displaystyle R (A, x): = {x ^ {\ dagger} Ax \ over x ^ {\ dagger} x}}

{\ displaystyle R (A, x): = {x ^ {\ dagger} Ax \ over x ^ {\ dagger} x}}

unde este $x^{\dagger }$ ${\ displaystyle x ^ {\ dagger}}$ ${\ displaystyle x ^ {\ dagger}}$ denotă vectorul transpus conjugat de $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ . Chiar dacă este definit de cantități complexe, coeficientul Rayleigh este întotdeauna real, fiind $x^{\dagger }Ax$ ${\ displaystyle x ^ {\ dagger} Axe}$ ${\ displaystyle x ^ {\ dagger} Axe}$ o formă și ființă hermitiană $x^{\dagger }x=\|x\|^{2}$ ${\ displaystyle x ^ {\ dagger} x = \ | x \ | ^ {2}}$ ${\ displaystyle x ^ {\ dagger} x = \ | x \ | ^ {2}}$ , unde este $\|\cdot \|$ ${\ displaystyle \ | \ cdot \ |}$ $\ | \ cdot \ |$ indică norma euclidiană. Ca verificare, este suficient să întrebați $\alpha :=x^{\dagger }Ax$ ${\ displaystyle \ alpha: = x ^ {\ dagger} Ax}$ ${\ displaystyle \ alpha: = x ^ {\ dagger} Ax}$ și observă asta, a fi $A^{\dagger }=A$ ${\ displaystyle A ^ {\ dagger} = A}$ ${\ displaystyle A ^ {\ dagger} = A}$ , avem:

\alpha ^{\dagger }=x^{\dagger }A^{\dagger }x=x^{\dagger }Ax=\alpha

{\ displaystyle \ alpha ^ {\ dagger} = x ^ {\ dagger} A ^ {\ dagger} x = x ^ {\ dagger} Ax = \ alpha}

{\ displaystyle \ alpha ^ {\ dagger} = x ^ {\ dagger} A ^ {\ dagger} x = x ^ {\ dagger} Ax = \ alpha}

dar asta implică asta $\alpha \in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ alpha \ in \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ alpha \ in \ mathbb {R}}$ .

Se poate arăta că coeficientul Rayleigh își asumă valoarea minimă $\lambda _{\min }$ ${\ displaystyle \ lambda _ {\ min}}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {\ min}}$ , care este cea mai mică valoare proprie a $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , cand $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ este vectorul propriu corespunzător $v_{\min }$ ${\ displaystyle v _ {\ min}}$ ${\ displaystyle v _ {\ min}}$ . În mod similar, avem $R(A,x)\leq \lambda _{\max }$ ${\ displaystyle R (A, x) \ leq \ lambda _ {\ max}}$ ${\ displaystyle R (A, x) \ leq \ lambda _ {\ max}}$ Și $R(A,v_{\max })=\lambda _{\max }$ ${\ displaystyle R (A, v _ {\ max}) = \ lambda _ {\ max}}$ ${\ displaystyle R (A, v _ {\ max}) = \ lambda _ {\ max}}$ .

Imaginea coeficientului Rayleigh este spectrul $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , și numărul $\lambda _{\max }$ ${\ displaystyle \ lambda _ {\ max}}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {\ max}}$ este raza spectrală .

Matricea de covarianță

Un caz deosebit de important apare atunci când matricea $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este matricea de covarianță . O astfel de matrice poate fi reprezentată de produs ${D.}^{'} D.$ ${\ displaystyle D'D}$ ${\ displaystyle D'D}$ , unde este $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ este o matrice de date empirice e ${D.}^{'}$ ${\ displaystyle D '}$ $D '$ transpunerea acestuia. Fiind simetric , $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ posedă valori proprii non-negative și vectori proprii ortogonali (mai precis, ortonormalizabili ). Intr-adevar:

Av_{i}=D'Dv_{i}=\lambda _{i}v_{i}

{\ displaystyle Av_ {i} = D'Dv_ {i} = \ lambda _ {i} v_ {i}}

{\ displaystyle Av_ {i} = D'Dv_ {i} = \ lambda _ {i} v_ {i}}

\Rightarrow v_{i}'D'Dv_{i}=v_{i}'\lambda _{i}v_{i}

{\ displaystyle \ Rightarrow v_ {i} 'D'Dv_ {i} = v_ {i}' \ lambda _ {i} v_ {i}}

{\ displaystyle \ Rightarrow v_ {i} 'D'Dv_ {i} = v_ {i}' \ lambda _ {i} v_ {i}}

\Rightarrow \left\|Dv_{i}\right\|^{2}=\lambda _{i}\left\|v_{i}\right\|^{2}

{\ displaystyle \ Rightarrow \ left \ | Dv_ {i} \ right \ | ^ {2} = \ lambda _ {i} \ left \ | v_ {i} \ right \ | ^ {2}}

{\ displaystyle \ Rightarrow \ left \ | Dv_ {i} \ right \ | ^ {2} = \ lambda _ {i} \ left \ | v_ {i} \ right \ | ^ {2}}

\Rightarrow \lambda _{i}={\frac {\left\|Dv_{i}\right\|^{2}}{\left\|v_{i}\right\|^{2}}}\geq 0

{\ displaystyle \ Rightarrow \ lambda _ {i} = {\ frac {\ left \ | Dv_ {i} \ right \ | ^ {2}} {\ left \ | v_ {i} \ right \ | ^ {2} }} \ geq 0}

{\ displaystyle \ Rightarrow \ lambda _ {i} = {\ frac {\ left \ | Dv_ {i} \ right \ | ^ {2}} {\ left \ | v_ {i} \ right \ | ^ {2} }} \ geq 0}

sau valorile proprii $\lambda _{i}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {i}}$ $\ lambda _ {i}$ nu sunt negative. În plus:

{\begin{aligned}&\qquad \qquad Av_{i}=\lambda _{i}v_{i}\\&\Rightarrow v_{j}'Av_{i}=\lambda _{i}v_{j}'v_{i}\\&\Rightarrow \left(Av_{j}\right)'v_{i}=\lambda _{j}v_{j}'v_{i}\\&\Rightarrow \lambda _{j}v_{j}'v_{i}=\lambda _{i}v_{j}'v_{i}\\&\Rightarrow \left(\lambda _{j}-\lambda _{i}\right)v_{j}'v_{i}=0\\&\Rightarrow v_{j}'v_{i}=0\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} & \ qquad \ qquad Av_ {i} = \ lambda _ {i} v_ {i} \\ & \ Rightarrow v_ {j} 'Av_ {i} = \ lambda _ {i} v_ {j} 'v_ {i} \\ & \ Rightarrow \ left (Av_ {j} \ right)' v_ {i} = \ lambda _ {j} v_ {j} 'v_ {i} \\ & \ Rightarrow \ lambda _ {j} v_ {j} 'v_ {i} = \ lambda _ {i} v_ {j}' v_ {i} \\ & \ Rightarrow \ left (\ lambda _ {j} - \ lambda _ { i} \ right) v_ {j} 'v_ {i} = 0 \\ & \ Rightarrow v_ {j}' v_ {i} = 0 \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} & \ qquad \ qquad Av_ {i} = \ lambda _ {i} v_ {i} \\ & \ Rightarrow v_ {j} 'Av_ {i} = \ lambda _ {i} v_ {j} 'v_ {i} \\ & \ Rightarrow \ left (Av_ {j} \ right)' v_ {i} = \ lambda _ {j} v_ {j} 'v_ {i} \\ & \ Rightarrow \ lambda _ {j} v_ {j} 'v_ {i} = \ lambda _ {i} v_ {j}' v_ {i} \\ & \ Rightarrow \ left (\ lambda _ {j} - \ lambda _ { i} \ right) v_ {j} 'v_ {i} = 0 \\ & \ Rightarrow v_ {j}' v_ {i} = 0 \ end {align}}}

sau vectorii proprii $v_{j}$ ${\ displaystyle v_ {j}}$ $v_ {j}$ ele sunt ortogonale (ortonormalizabile în cazul vectorilor proprii diferiți / multipli).

Pentru a arăta că coeficientul Rayleigh este maximizat de vectorul propriu în raport cu cea mai mare valoare proprie ( raza spectrală ), luați în considerare descompunerea unui vector generic $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ pe baza vectorilor proprii $v_{i}$ ${\ displaystyle v_ {i}}$ $tu}$ :

x=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}v_{i}

{\ displaystyle x = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ alpha _ {i} v_ {i}}

{\ displaystyle x = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ alpha _ {i} v_ {i}}

unde este:

\alpha _{i}={\frac {x'v_{i}}{v_{i}'v_{i}}}={\frac {\langle x,v_{i}\rangle }{\left\|v_{i}\right\|^{2}}}

{\ displaystyle \ alpha _ {i} = {\ frac {x'v_ {i}} {v_ {i} 'v_ {i}}} = {\ frac {\ langle x, v_ {i} \ rangle} { \ left \ | v_ {i} \ right \ | ^ {2}}}}

{\ displaystyle \ alpha _ {i} = {\ frac {x'v_ {i}} {v_ {i} 'v_ {i}}} = {\ frac {\ langle x, v_ {i} \ rangle} { \ left \ | v_ {i} \ right \ | ^ {2}}}}

este coordonata lui $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ proiectat ortogonal pe $v_{i}$ ${\ displaystyle v_ {i}}$ $tu}$ . Deci avem:

R(A,x)={\frac {x'D'Dx}{x'x}}={\frac {\left(\sum _{j=1}^{n}\alpha _{j}v_{j}\right)'\left(D'D\right)\left(\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}v_{i}\right)}{\left(\sum _{j=1}^{n}\alpha _{j}v_{j}\right)'\left(\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}v_{i}\right)}}

{\ displaystyle R (A, x) = {\ frac {x'D'Dx} {x'x}} = {\ frac {\ left (\ sum _ {j = 1} ^ {n} \ alpha _ { j} v_ {j} \ right) '\ left (D'D \ right) \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} \ alpha _ {i} v_ {i} \ right)} {\ left (\ sum _ {j = 1} ^ {n} \ alpha _ {j} v_ {j} \ right) '\ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} \ alpha _ {i} v_ {i} \ dreapta)}}}

{\ displaystyle R (A, x) = {\ frac {x'D'Dx} {x'x}} = {\ frac {\ left (\ sum _ {j = 1} ^ {n} \ alpha _ { j} v_ {j} \ right) '\ left (D'D \ right) \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} \ alpha _ {i} v_ {i} \ right)} {\ left (\ sum _ {j = 1} ^ {n} \ alpha _ {j} v_ {j} \ right) '\ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} \ alpha _ {i} v_ {i} \ dreapta)}}}

care datorită perpendicularității reciproce a vectorilor proprii devine:

R(A,x)={\frac {\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}^{2}\lambda _{i}}{\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}^{2}}}=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}{\frac {(x'v_{i})^{2}}{(x'x)(v_{i}'v_{i})}}

{\ displaystyle R (A, x) = {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {n} \ alpha _ {i} ^ {2} \ lambda _ {i}} {\ sum _ {i = 1} ^ {n} \ alpha _ {i} ^ {2}}} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ lambda _ {i} {\ frac {(x'v_ {i}) ^ {2}} {(x'x) (v_ {i} 'v_ {i})}}}

{\ displaystyle R (A, x) = {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {n} \ alpha _ {i} ^ {2} \ lambda _ {i}} {\ sum _ {i = 1} ^ {n} \ alpha _ {i} ^ {2}}} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ lambda _ {i} {\ frac {(x'v_ {i}) ^ {2}} {(x'x) (v_ {i} 'v_ {i})}}}

adică coeficientul Rayleigh este suma cosinusului pătrat al unghiurilor formate între $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ și vectorii proprii $v_{i}$ ${\ displaystyle v_ {i}}$ $tu}$ , ponderat de valorile proprii respective.

Dacă un transportator $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ maximizează $R(A,x)$ ${\ displaystyle R (A, x)}$ ${\ displaystyle R (A, x)}$ , apoi și fiecare scalar diferit de zero $k X$ ${\ displaystyle kx}$ $kx$ maximizează $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ și, prin urmare, problema poate fi redusă la metoda Lagrange pentru maximizare $\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}^{2}\lambda _{i}$ ${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ alpha _ {i} ^ {2} \ lambda _ {i}}$ ${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ alpha _ {i} ^ {2} \ lambda _ {i}}$ , cu conditia ca:

\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}^{2}=1

{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ alpha _ {i} ^ {2} = 1}

{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ alpha _ {i} ^ {2} = 1}

Formulare utilizând multiplicatori Lagrange

Acest rezultat poate fi obținut și folosind metoda multiplicatorului Lagrange . Problema este de a găsi punctele critice ale funcției:

R(A,x)=x^{T}Ax

{\ displaystyle R (A, x) = x ^ {T} Ax}

{\ displaystyle R (A, x) = x ^ {T} Ax}

sub rezerva restricției $\|x\|^{2}=x^{T}x=1$ ${\ displaystyle \ | x \ | ^ {2} = x ^ {T} x = 1}$ ${\ displaystyle \ | x \ | ^ {2} = x ^ {T} x = 1}$ . Cu alte cuvinte, este vorba de găsirea punctelor critice ale:

{\mathcal {L}}(x)=x^{T}Ax-\lambda \left(x^{T}x-1\right)

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} (x) = x ^ {T} Ax- \ lambda \ left (x ^ {T} x-1 \ right)}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} (x) = x ^ {T} Ax- \ lambda \ left (x ^ {T} x-1 \ right)}

unde este $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ este un multiplicator Lagrange. Punctul staționar al ${\mathcal {L}}(x)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} (x)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} (x)}$ apare atunci când:

{\frac {d{\mathcal {L}}(x)}{dx}}=0

{\ displaystyle {\ frac {d {\ mathcal {L}} (x)} {dx}} = 0}

{\ displaystyle {\ frac {d {\ mathcal {L}} (x)} {dx}} = 0}

\Rightarrow 2x^{T}A^{T}-2\lambda x^{T}=0

{\ displaystyle \ Rightarrow 2x ^ {T} A ^ {T} -2 \ lambda x ^ {T} = 0}

{\ displaystyle \ Rightarrow 2x ^ {T} A ^ {T} -2 \ lambda x ^ {T} = 0}

\Rightarrow Ax=\lambda x

{\ displaystyle \ Rightarrow Axe = \ lambda x}

{\ displaystyle \ Rightarrow Axe = \ lambda x}

Și:

R(A,x)={\frac {x^{T}Ax}{x^{T}x}}=\lambda {\frac {x^{T}x}{x^{T}x}}=\lambda

{\ displaystyle R (A, x) = {\ frac {x ^ {T} Ax} {x ^ {T} x}} = \ lambda {\ frac {x ^ {T} x} {x ^ {T} x}} = \ lambda}

{\ displaystyle R (A, x) = {\ frac {x ^ {T} Ax} {x ^ {T} x}} = \ lambda {\ frac {x ^ {T} x} {x ^ {T} x}} = \ lambda}

Prin urmare, vectorii proprii $x_{1},\cdots ,x_{n}$ ${\ displaystyle x_ {1}, \ cdots, x_ {n}}$ ${\ displaystyle x_ {1}, \ cdots, x_ {n}}$ din $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ sunt punctele critice ale coeficientului Rayleigh și ale valorilor proprii respective $\lambda _{1},\cdots ,\lambda _{n}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {1}, \ cdots, \ lambda _ {n}}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {1}, \ cdots, \ lambda _ {n}}$ sunt valorile staționare ale $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ .

Utilizare în teoria Sturm-Liouville

Teoria Sturm-Liouville studiază acțiunea operatorului liniar :

L(y)={\frac {1}{w(x)}}\left(-{\frac {d}{dx}}\left[p(x){\frac {dy}{dx}}\right]+q(x)y\right)

{\ displaystyle L (y) = {\ frac {1} {w (x)}} \ left (- {\ frac {d} {dx}} \ left [p (x) {\ frac {dy} {dx }} \ right] + q (x) y \ right)}

{\ displaystyle L (y) = {\ frac {1} {w (x)}} \ left (- {\ frac {d} {dx}} \ left [p (x) {\ frac {dy} {dx }} \ right] + q (x) y \ right)}

pe spațiul prehilbertian definit de:

\langle {y_{1},y_{2}}\rangle =\int _{a}^{b}w(x)y_{1}(x)y_{2}(x)\,dx

{\ displaystyle \ langle {y_ {1}, y_ {2}} \ rangle = \ int _ {a} ^ {b} w (x) y_ {1} (x) y_ {2} (x) \, dx }

{\ displaystyle \ langle {y_ {1}, y_ {2}} \ rangle = \ int _ {a} ^ {b} w (x) y_ {1} (x) y_ {2} (x) \, dx }

compus din funcții care îndeplinesc anumite condiții limită specifice în $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ . În acest caz, coeficientul Rayleigh este:

{\frac {\langle {y,Ly}\rangle }{\langle {y,y}\rangle }}={\frac {\int _{a}^{b}y(x)\left(-{\frac {d}{dx}}\left[p(x){\frac {dy}{dx}}\right]+q(x)y(x)\right)dx}{\int _{a}^{b}{w(x)y(x)^{2}}dx}}

{\ displaystyle {\ frac {\ langle {y, Ly} \ rangle} {\ langle {y, y} \ rangle}} = {\ frac {\ int _ {a} ^ {b} y (x) \ left (- {\ frac {d} {dx}} \ left [p (x) {\ frac {dy} {dx}} \ right] + q (x) y (x) \ right) dx} {\ int _ {a} ^ {b} {w (x) y (x) ^ {2}} dx}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ langle {y, Ly} \ rangle} {\ langle {y, y} \ rangle}} = {\ frac {\ int _ {a} ^ {b} y (x) \ left (- {\ frac {d} {dx}} \ left [p (x) {\ frac {dy} {dx}} \ right] + q (x) y (x) \ right) dx} {\ int _ {a} ^ {b} {w (x) y (x) ^ {2}} dx}}}

Uneori este prezentat într-o formă echivalentă, obținută prin separarea integralei la numărător și utilizarea integrării pe părți :

{\begin{aligned}{\frac {\langle {y,Ly}\rangle }{\langle {y,y}\rangle }}&={\frac {\left\{\int _{a}^{b}y(x)\left(-{\frac {d}{dx}}\left[p(x)y'(x)\right]\right)dx\right\}+\left\{\int _{a}^{b}{q(x)y(x)^{2}}\,dx\right\}}{\int _{a}^{b}{w(x)y(x)^{2}}\,dx}}\\&={\frac {\left\{\left.-y(x)\left[p(x)y'(x)\right]\right|_{a}^{b}\right\}+\left\{\int _{a}^{b}y'(x)\left[p(x)y'(x)\right]\,dx\right\}+\left\{\int _{a}^{b}{q(x)y(x)^{2}}\,dx\right\}}{\int _{a}^{b}w(x)y(x)^{2}\,dx}}\\&={\frac {\left\{\left.-p(x)y(x)y'(x)\right|_{a}^{b}\right\}+\left\{\int _{a}^{b}\left[p(x)y'(x)^{2}+q(x)y(x)^{2}\right]\,dx\right\}}{\int _{a}^{b}{w(x)y(x)^{2}}\,dx}}\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ langle {y, Ly} \ rangle} {\ langle {y, y} \ rangle}} & = {\ frac {\ left \ {\ int _ {a } ^ {b} y (x) \ left (- {\ frac {d} {dx}} \ left [p (x) y '(x) \ right] \ right) dx \ right \} + \ left \ {\ int _ {a} ^ {b} {q (x) y (x) ^ {2}} \, dx \ right \}} {\ int _ {a} ^ {b} {w (x) y (x) ^ {2}} \, dx}} \\ & = {\ frac {\ left \ {\ left.-y (x) \ left [p (x) y '(x) \ right] \ right | _ {a} ^ {b} \ right \} + \ left \ {\ int _ {a} ^ {b} y '(x) \ left [p (x) y' (x) \ right] \, dx \ right \} + \ left \ {\ int _ {a} ^ {b} {q (x) y (x) ^ {2}} \, dx \ right \}} {\ int _ {a} ^ {b} w (x) y (x) ^ {2} \, dx}} \\ & = {\ frac {\ left \ {\ left.-p (x) y (x) y '(x) \ right | _ {a} ^ {b} \ right \} + \ left \ {\ int _ {a} ^ {b} \ left [p (x) y '(x) ^ {2} + q (x) y (x) ^ {2} \ right] \, dx \ right \}} {\ int _ {a} ^ {b} {w (x) y (x) ^ {2}} \, dx}} \ sfârșit {aliniat}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ langle {y, Ly} \ rangle} {\ langle {y, y} \ rangle}} & = {\ frac {\ left \ {\ int _ {a } ^ {b} y (x) \ left (- {\ frac {d} {dx}} \ left [p (x) y '(x) \ right] \ right) dx \ right \} + \ left \ {\ int _ {a} ^ {b} {q (x) y (x) ^ {2}} \, dx \ right \}} {\ int _ {a} ^ {b} {w (x) y (x) ^ {2}} \, dx}} \\ & = {\ frac {\ left \ {\ left.-y (x) \ left [p (x) y '(x) \ right] \ right | _ {a} ^ {b} \ right \} + \ left \ {\ int _ {a} ^ {b} y '(x) \ left [p (x) y' (x) \ right] \, dx \ right \} + \ left \ {\ int _ {a} ^ {b} {q (x) y (x) ^ {2}} \, dx \ right \}} {\ int _ {a} ^ {b} w (x) y (x) ^ {2} \, dx}} \\ & = {\ frac {\ left \ {\ left.-p (x) y (x) y '(x) \ right | _ {a} ^ {b} \ right \} + \ left \ {\ int _ {a} ^ {b} \ left [p (x) y '(x) ^ {2} + q (x) y (x) ^ {2} \ right] \, dx \ right \}} {\ int _ {a} ^ {b} {w (x) y (x) ^ {2}} \, dx}} \ sfârșit {aliniat}}}

Generalizare

Pentru o pereche dată de matrice $(A,B)$ ${\ displaystyle (A, B)}$ ${\ displaystyle (A, B)}$ și pentru un vector dat $x\neq {\vec {0}}$ ${\ displaystyle x \ neq {\ vec {0}}}$ ${\ displaystyle x \ neq {\ vec {0}}}$ , coeficientul Rayleigh generalizat este definit ca:

R(A,B;x):={\frac {x^{*}Ax}{x^{*}Bx}}

{\ displaystyle R (A, B; x): = {\ frac {x ^ {*} Ax} {x ^ {*} Bx}}}

{\ displaystyle R (A, B; x): = {\ frac {x ^ {*} Ax} {x ^ {*} Bx}}}

Coeficientul Rayleigh generalizat poate fi redus la coeficientul Rayleigh $R(D,C^{*}x)$ ${\ displaystyle R (D, C ^ {*} x)}$ ${\ displaystyle R (D, C ^ {*} x)}$ prin transformare $D=C^{-1}A{C^{*}}^{-1}$ ${\ displaystyle D = C ^ {- 1} A {C ^ {*}} ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle D = C ^ {- 1} A {C ^ {*}} ^ {- 1}}$ , unde este $CC^{*}$ ${\ displaystyle CC ^ {*}}$ ${\ displaystyle CC ^ {*}}$ este descompunerea Cholesky a matricei hermitiene $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ pozitiv definit .

Bibliografie

( EN ) Shi Yu, Léon-Charles Tranchevent, Bart Moor, Yves Moreau, Kernel-based Data Fusion for Machine Learning: Methods and Applications in Bioinformatics and Text Mining , Ch. 2, Springer, 2011.
(EN) Horn, RA și CA Johnson. 1985. Analiza matricei . Cambridge University Press. pp. 176-180.
( EN ) Parlet BN Problema simetrică a valorii proprii , SIAM, Classics in Applied Mathematics, 1998.

Elemente conexe

linkuri externe

cs.huji.ac.il - Multiplicatorii Lagrange și coeficientul Rayleigh ( PDF ), la cs.huji.ac.il.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

V · D · M Algebră liniară
Spațiu vectorial	Purtător · subspațiu ( Subspatiu generat ) · Aplicație liniară ( nucleu · Imagine ) · Bază · Dimensiune · Teorema dimensiunii · Formula Grassmann · Sistem liniar · Algoritm Gauss · Teorema Rouché-Capelli · Regula lui Cramer · Spațiu dual · Spațiul proiectiv · Spațiul afinat · Dimensiunea teorema pentru spațiile vectoriale
Matrici	Identitate · Nimic · Pătrat · Reversibil · Simetric · înclinat · Transpunere · Diagonală · Triunghi · Ca schimbare de bază · Ortogonală · Normală · Simplectică · Multiplicarea matricilor · Rang · Teorema Kronecker · Minor · Matricea cofactorilor · Determinant · Teorema Binet · Laplace teorema · Rădăcina pătrată a unei matrice
Diagonalizabilitate	Valori proprii și vectori proprii · Spectru · Caracteristică polinomială · Minim polinomial · Teorema Cayley-Hamilton · Bloc matricial · Formă canonică Jordan · Diagonalizabilitatea teoremei
Produs scalar	Forma biliniară · subspațiu ortogonală · spațiu euclidian · ortonormală de bază · Lagrange Algoritmul · Mark · teorema lui Sylvester · Gram-Schmidt · Forma sesquilineare · Hermitian Forma · Spectral teorema