Raza spectrală

În matematică , raza spectrală a unei matrice sau delimitate liniar operatorul este superioară legat de norma din modulul elementelor sale de spectru . Este adesea notat cu $\rho (\cdot )$ ${\ displaystyle \ rho (\ cdot)}$ ${\ displaystyle \ rho (\ cdot)}$ .

În analiza numerică , raza spectrală este utilizată pentru a determina dacă o metodă iterativă converge spre soluția unei probleme. Într-adevăr, se arată că o metodă iterativă pentru rezolvarea unui sistem liniar (cum ar fi metoda Jacobi sau metoda Gauss-Seidel ) converge la soluția sistemului dacă și numai dacă raza spectrală a matricei de iterație este strict mai mică de 1 .

Matrici

Lasa-i sa fie $\lambda _{1},\dots \lambda _{n}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {1}, \ dots \ lambda _ {n}}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {1}, \ dots \ lambda _ {n}}$ valori proprii (reale sau complexe) ale unei matrici $A\in \mathbb {C} ^{n\times n}$ ${\ displaystyle A \ in \ mathbb {C} ^ {n \ times n}}$ ${\ displaystyle A \ in \ mathbb {C} ^ {n \ times n}}$ . Apoi, fasciculul său fantomatic $\rho (A)$ ${\ displaystyle \ rho (A)}$ ${\ displaystyle \ rho (A)}$ este definit ca:

\rho (A)\equiv \max _{i}(|\lambda _{i}|)

{\ displaystyle \ rho (A) \ equiv \ max _ {i} (| \ lambda _ {i} |)}

{\ displaystyle \ rho (A) \ equiv \ max _ {i} (| \ lambda _ {i} |)}

O limită superioară pentru raza spectrală este dată de următoarea lemă. Este $A\in \mathbb {C} ^{n\times n}$ ${\ displaystyle A \ in \ mathbb {C} ^ {n \ times n}}$ ${\ displaystyle A \ in \ mathbb {C} ^ {n \ times n}}$ o matrice complexă, $\rho (A)$ ${\ displaystyle \ rho (A)}$ $\ rho (A)$ raza sa spectrală e $\|\cdot \|$ ${\ displaystyle \ | \ cdot \ |}$ $\ | \ cdot \ |$ o normă matricială consistentă . Apoi pentru fiecare $k\in \mathbb {N}$ ${\ displaystyle k \ in \ mathbb {N}}$ $k \ in \ mathbb {N}$ avem:

\rho (A)\leq \|A^{k}\|^{1/k}

{\ displaystyle \ rho (A) \ leq \ | A ^ {k} \ | ^ {1 / k}}

{\ displaystyle \ rho (A) \ leq \ | A ^ {k} \ | ^ {1 / k}}

Într-adevăr, fie el $(\mathbf {v} ,\lambda )$ ${\ displaystyle (\ mathbf {v}, \ lambda)}$ ${\ displaystyle (\ mathbf {v}, \ lambda)}$ o pereche eigenvector-eigenvalue legată de $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ . Pentru proprietatea sub-multiplicativă a normei matricei:

|\lambda |^{k}\|\mathbf {v} \|=\|\lambda ^{k}\mathbf {v} \|=\|A^{k}\mathbf {v} \|\leq \|A^{k}\|\cdot \|\mathbf {v} \|

{\ displaystyle | \ lambda | ^ {k} \ | \ mathbf {v} \ | = \ | \ lambda ^ {k} \ mathbf {v} \ | = \ | A ^ {k} \ mathbf {v} \ | \ leq \ | A ^ {k} \ | \ cdot \ | \ mathbf {v} \ |}

{\ displaystyle | \ lambda | ^ {k} \ | \ mathbf {v} \ | = \ | \ lambda ^ {k} \ mathbf {v} \ | = \ | A ^ {k} \ mathbf {v} \ | \ leq \ | A ^ {k} \ | \ cdot \ | \ mathbf {v} \ |}

și de atunci $\mathbf {v} \neq 0$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} \ neq 0}$ ${\ mathbf v} \ neq 0$ pentru fiecare $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ avem:

|\lambda |^{k}\leq \|A^{k}\|

{\ displaystyle | \ lambda | ^ {k} \ leq \ | A ^ {k} \ |}

{\ displaystyle | \ lambda | ^ {k} \ leq \ | A ^ {k} \ |}

Așadar:

\rho (A)\leq \|A^{k}\|^{1/k}

{\ displaystyle \ rho (A) \ leq \ | A ^ {k} \ | ^ {1 / k}}

{\ displaystyle \ rho (A) \ leq \ | A ^ {k} \ | ^ {1 / k}}

cum ai vrut să arăți.

Raza spectrală este strâns legată de comportamentul convergenței secvenței de puteri a unei matrice. În practică, se susține următoarea teoremă. Este $A\in \mathbb {C} ^{n\times n}$ ${\ displaystyle A \ in \ mathbb {C} ^ {n \ times n}}$ ${\ displaystyle A \ in \ mathbb {C} ^ {n \ times n}}$ o matrice complexă e $\rho (A)$ ${\ displaystyle \ rho (A)}$ $\ rho (A)$ fasciculul său spectral. Atunci $\lim _{k\to \infty }A^{k}=0$ ${\ displaystyle \ lim _ {k \ to \ infty} A ^ {k} = 0}$ ${\ displaystyle \ lim _ {k \ to \ infty} A ^ {k} = 0}$ dacă și numai dacă $\rho (A)<1$ ${\ displaystyle \ rho (A) <1}$ ${\ displaystyle \ rho (A) <1}$ . De asemenea, dacă $\rho (A)>1$ ${\ displaystyle \ rho (A)> 1}$ ${\ displaystyle \ rho (A)> 1}$ asa de $\|A^{k}\|$ ${\ displaystyle \ | A ^ {k} \ |}$ ${\ displaystyle \ | A ^ {k} \ |}$ nu este limitat de valori de $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ crescând.

Pentru a arăta asta $\lim _{k\to \infty }A^{k}=0$ ${\ displaystyle \ lim _ {k \ to \ infty} A ^ {k} = 0}$ ${\ displaystyle \ lim _ {k \ to \ infty} A ^ {k} = 0}$ implica $\rho (A)<1$ ${\ displaystyle \ rho (A) <1}$ ${\ displaystyle \ rho (A) <1}$ , este $(\mathbf {v} ,\lambda )$ ${\ displaystyle (\ mathbf {v}, \ lambda)}$ ${\ displaystyle (\ mathbf {v}, \ lambda)}$ o pereche eigenvector-eigenvalue legată de $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ . De cand:

A^{k}\mathbf {v} =\lambda ^{k}\mathbf {v}

{\ displaystyle A ^ {k} \ mathbf {v} = \ lambda ^ {k} \ mathbf {v}}

{\ displaystyle A ^ {k} \ mathbf {v} = \ lambda ^ {k} \ mathbf {v}}

avem:

{\begin{aligned}0&=\left(\lim _{k\to \infty }A^{k}\right)\mathbf {v} \\&=\lim _{k\to \infty }A^{k}\mathbf {v} \\&=\lim _{k\to \infty }\lambda ^{k}\mathbf {v} \\&=\mathbf {v} \lim _{k\to \infty }\lambda ^{k}\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} 0 & = \ left (\ lim _ {k \ to \ infty} A ^ {k} \ right) \ mathbf {v} \\ & = \ lim _ {k \ to \ infty} A ^ {k} \ mathbf {v} \\ & = \ lim _ {k \ to \ infty} \ lambda ^ {k} \ mathbf {v} \\ & = \ mathbf {v} \ lim _ { k \ to \ infty} \ lambda ^ {k} \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} 0 & = \ left (\ lim _ {k \ to \ infty} A ^ {k} \ right) \ mathbf {v} \\ & = \ lim _ {k \ to \ infty} A ^ {k} \ mathbf {v} \\ & = \ lim _ {k \ to \ infty} \ lambda ^ {k} \ mathbf {v} \\ & = \ mathbf {v} \ lim _ { k \ to \ infty} \ lambda ^ {k} \ end {align}}}

și dat fiind că prin ipoteză $\mathbf {v} \neq 0$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} \ neq 0}$ ${\ mathbf v} \ neq 0$ apare:

\lim _{k\to \infty }\lambda ^{k}=0

{\ displaystyle \ lim _ {k \ to \ infty} \ lambda ^ {k} = 0}

{\ displaystyle \ lim _ {k \ to \ infty} \ lambda ^ {k} = 0}

Ceea ce implică $|\lambda |<1$ ${\ displaystyle | \ lambda | <1}$ $| \ lambda | <1$ . Deoarece acest lucru trebuie să fie adevărat pentru fiecare valoare proprie, se întâmplă asta $\rho (A)<1$ ${\ displaystyle \ rho (A) <1}$ ${\ displaystyle \ rho (A) <1}$ .

Pentru a arăta asta $\rho (A)<1$ ${\ displaystyle \ rho (A) <1}$ ${\ displaystyle \ rho (A) <1}$ implica $\lim _{k\to \infty }A^{k}=0$ ${\ displaystyle \ lim _ {k \ to \ infty} A ^ {k} = 0}$ ${\ displaystyle \ lim _ {k \ to \ infty} A ^ {k} = 0}$ , din teorema lui Jordan rezultă că pentru orice matrice cu valori în câmpul complex $A\in \mathbb {C} ^{n\times n}$ ${\ displaystyle A \ in \ mathbb {C} ^ {n \ times n}}$ ${\ displaystyle A \ in \ mathbb {C} ^ {n \ times n}}$ există o matrice non-singulară $V\in \mathbb {C} ^{n\times n}$ ${\ displaystyle V \ in \ mathbb {C} ^ {n \ times n}}$ ${\ displaystyle V \ in \ mathbb {C} ^ {n \ times n}}$ și o matrice diagonală bloc $J\in \mathbb {C} ^{n\times n}$ ${\ displaystyle J \ in \ mathbb {C} ^ {n \ times n}}$ ${\ displaystyle J \ in \ mathbb {C} ^ {n \ times n}}$ astfel încât:

A=VJV^{-1}

{\ displaystyle A = VJV ^ {- 1}}

{\ displaystyle A = VJV ^ {- 1}}

cu:

J={\begin{bmatrix}J_{m_{1}}(\lambda _{1})&0&0&\cdots &0\\0&J_{m_{2}}(\lambda _{2})&0&\cdots &0\\\vdots &\cdots &\ddots &\cdots &\vdots \\0&\cdots &0&J_{m_{s-1}}(\lambda _{s-1})&0\\0&\cdots &\cdots &0&J_{m_{s}}(\lambda _{s})\end{bmatrix}}

{\ displaystyle J = {\ begin {bmatrix} J_ {m_ {1}} (\ lambda _ {1}) & 0 & 0 & \ cdots & 0 \\ 0 & J_ {m_ {2}} (\ lambda _ {2}) & 0 & \ cdots & 0 \\\ vdots & \ cdots & \ ddots & \ cdots & \ vdots \\ 0 & \ cdots & 0 & J_ {m_ {s-1}} (\ lambda _ { s-1}) & 0 \\ 0 & \ cdots & \ cdots & 0 & J_ {m_ {s}} (\ lambda _ {s}) \ end {bmatrix}}}

{\ displaystyle J = {\ begin {bmatrix} J_ {m_ {1}} (\ lambda _ {1}) & 0 & 0 & \ cdots & 0 \\ 0 & J_ {m_ {2}} (\ lambda _ {2}) & 0 & \ cdots & 0 \\\ vdots & \ cdots & \ ddots & \ cdots & \ vdots \\ 0 & \ cdots & 0 & J_ {m_ {s-1}} (\ lambda _ { s-1}) & 0 \\ 0 & \ cdots & \ cdots & 0 & J_ {m_ {s}} (\ lambda _ {s}) \ end {bmatrix}}}

unde este:

J_{m_{i}}(\lambda _{i})={\begin{bmatrix}\lambda _{i}&1&0&\cdots &0\\0&\lambda _{i}&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{i}&1\\0&0&\cdots &0&\lambda _{i}\end{bmatrix}}\in \mathbb {C} ^{m_{i},m_{i}}\qquad 1\leq i\leq s

{\ displaystyle J_ {m_ {i}} (\ lambda _ {i}) = {\ begin {bmatrix} \ lambda _ {i} & 1 & 0 & \ cdots & 0 \\ 0 & \ lambda _ {i} & 1 & \ cdots & 0 \\ \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 & \ cdots & \ lambda _ {i} & 1 \\ 0 & 0 & \ cdots & 0 & \ lambda _ {i} \ end {bmatrix}} \ in \ mathbb {C} ^ {m_ {i}, m_ {i}} \ qquad 1 \ leq i \ leq s}

{\ displaystyle J_ {m_ {i}} (\ lambda _ {i}) = {\ begin {bmatrix} \ lambda _ {i} & 1 & 0 & \ cdots & 0 \\ 0 & \ lambda _ {i} & 1 & \ cdots & 0 \\ \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 & \ cdots & \ lambda _ {i} & 1 \\ 0 & 0 & \ cdots & 0 & \ lambda _ {i} \ end {bmatrix}} \ in \ mathbb {C} ^ {m_ {i}, m_ {i}} \ qquad 1 \ leq i \ leq s}

Este ușor de văzut că:

A^{k}=VJ^{k}V^{-1}

{\ displaystyle A ^ {k} = VJ ^ {k} V ^ {- 1}}

{\ displaystyle A ^ {k} = VJ ^ {k} V ^ {- 1}}

și de atunci $J$ ${\ displaystyle J}$ $J$ este diagonală bloc:

J^{k}={\begin{bmatrix}J_{m_{1}}^{k}(\lambda _{1})&0&0&\cdots &0\\0&J_{m_{2}}^{k}(\lambda _{2})&0&\cdots &0\\\vdots &\cdots &\ddots &\cdots &\vdots \\0&\cdots &0&J_{m_{s-1}}^{k}(\lambda _{s-1})&0\\0&\cdots &\cdots &0&J_{m_{s}}^{k}(\lambda _{s})\end{bmatrix}}

{\ displaystyle J ^ {k} = {\ begin {bmatrix} J_ {m_ {1}} ^ {k} (\ lambda _ {1}) & 0 & 0 & \ cdots & 0 \\ 0 & J_ {m_ {2}} ^ {k} (\ lambda _ {2}) & 0 & \ cdots & 0 \\\ vdots & \ cdots & \ ddots & \ cdots & \ vdots \\ 0 & \ cdots & 0 & J_ { m_ {s-1}} ^ {k} (\ lambda _ {s-1}) și 0 \\ 0 & \ cdots & \ cdots & 0 & J_ {m_ {s}} ^ {k} (\ lambda _ {s}) \ end {bmatrix}}}

{\ displaystyle J ^ {k} = {\ begin {bmatrix} J_ {m_ {1}} ^ {k} (\ lambda _ {1}) & 0 & 0 & \ cdots & 0 \\ 0 & J_ {m_ {2}} ^ {k} (\ lambda _ {2}) & 0 & \ cdots & 0 \\\ vdots & \ cdots & \ ddots & \ cdots & \ vdots \\ 0 & \ cdots & 0 & J_ { m_ {s-1}} ^ {k} (\ lambda _ {s-1}) și 0 \\ 0 & \ cdots & \ cdots & 0 & J_ {m_ {s}} ^ {k} (\ lambda _ {s}) \ end {bmatrix}}}

Un rezultat binecunoscut cu privire la puterea a k-a unui bloc Jordan $m_{i}\times m_{i}$ ${\ displaystyle m_ {i} \ times m_ {i}}$ ${\ displaystyle m_ {i} \ times m_ {i}}$ afirmă că pentru $k\geq m_{i}-1$ ${\ displaystyle k \ geq m_ {i} -1}$ ${\ displaystyle k \ geq m_ {i} -1}$ avem:

J_{m_{i}}^{k}(\lambda _{i})={\begin{bmatrix}\lambda _{i}^{k}&{k \choose 1}\lambda _{i}^{k-1}&{k \choose 2}\lambda _{i}^{k-2}&\cdots &{k \choose m_{i}-1}\lambda _{i}^{k-m_{i}+1}\\0&\lambda _{i}^{k}&{k \choose 1}\lambda _{i}^{k-1}&\cdots &{k \choose m_{i}-2}\lambda _{i}^{k-m_{i}+2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{i}^{k}&{k \choose 1}\lambda _{i}^{k-1}\\0&0&\cdots &0&\lambda _{i}^{k}\end{bmatrix}}

{\ displaystyle J_ {m_ {i}} ^ {k} (\ lambda _ {i}) = {\ begin {bmatrix} \ lambda _ {i} ^ {k} & {k \ choose 1} \ lambda _ { i} ^ {k-1} & {k \ choose 2} \ lambda _ {i} ^ {k-2} & \ cdots & {k \ choose m_ {i} -1} \ lambda _ {i} ^ { k-m_ {i} +1} \\ 0 & \ lambda _ {i} ^ {k} & {k \ choose 1} \ lambda _ {i} ^ {k-1} & \ cdots & {k \ choose m_ {i} -2} \ lambda _ {i} ^ {k-m_ {i} +2} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 & \ cdots & \ lambda _ {i} ^ {k} & {k \ choose 1} \ lambda _ {i} ^ {k-1} \\ 0 & 0 & \ cdots & 0 & \ lambda _ {i} ^ {k} \ end {bmatrix}}}

{\ displaystyle J_ {m_ {i}} ^ {k} (\ lambda _ {i}) = {\ begin {bmatrix} \ lambda _ {i} ^ {k} & {k \ choose 1} \ lambda _ { i} ^ {k-1} & {k \ choose 2} \ lambda _ {i} ^ {k-2} & \ cdots & {k \ choose m_ {i} -1} \ lambda _ {i} ^ { k-m_ {i} +1} \\ 0 & \ lambda _ {i} ^ {k} & {k \ choose 1} \ lambda _ {i} ^ {k-1} & \ cdots & {k \ choose m_ {i} -2} \ lambda _ {i} ^ {k-m_ {i} +2} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 & \ cdots & \ lambda _ {i} ^ {k} & {k \ choose 1} \ lambda _ {i} ^ {k-1} \\ 0 & 0 & \ cdots & 0 & \ lambda _ {i} ^ {k} \ end {bmatrix}}}

În acest fel, dacă $\rho (A)<1$ ${\ displaystyle \ rho (A) <1}$ ${\ displaystyle \ rho (A) <1}$ asa de $|\lambda _{i}|<1$ ${\ displaystyle | \ lambda _ {i} | <1}$ ${\ displaystyle | \ lambda _ {i} | <1}$ pentru fiecare $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ , astfel încât:

\lim _{k\to \infty }J_{m_{i}}^{k}=0\ \forall i

{\ displaystyle \ lim _ {k \ to \ infty} J_ {m_ {i}} ^ {k} = 0 \ \ forall i}

{\ displaystyle \ lim _ {k \ to \ infty} J_ {m_ {i}} ^ {k} = 0 \ \ forall i}

și aceasta implică:

\lim _{k\to \infty }J^{k}=0

{\ displaystyle \ lim _ {k \ to \ infty} J ^ {k} = 0}

{\ displaystyle \ lim _ {k \ to \ infty} J ^ {k} = 0}

Prin urmare:

\lim _{k\to \infty }A^{k}=\lim _{k\to \infty }VJ^{k}V^{-1}=V(\lim _{k\to \infty }J^{k})V^{-1}=0

{\ displaystyle \ lim _ {k \ to \ infty} A ^ {k} = \ lim _ {k \ to \ infty} VJ ^ {k} V ^ {- 1} = V (\ lim _ {k \ to \ infty} J ^ {k}) V ^ {- 1} = 0}

{\ displaystyle \ lim _ {k \ to \ infty} A ^ {k} = \ lim _ {k \ to \ infty} VJ ^ {k} V ^ {- 1} = V (\ lim _ {k \ to \ infty} J ^ {k}) V ^ {- 1} = 0}

Pe de altă parte, dacă $\rho (A)>1$ ${\ displaystyle \ rho (A)> 1}$ ${\ displaystyle \ rho (A)> 1}$ atunci există cel puțin un element în $J$ ${\ displaystyle J}$ $J$ care nu rămâne limitată pentru $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ crescând, încheind dovada.

Formula Gelfand

Formula lui Gelfand (1941) afirmă că pentru fiecare normă matricială $\|\cdot \|$ ${\ displaystyle \ | \ cdot \ |}$ $\ | \ cdot \ |$ avem:

\rho (A)=\lim _{k\to \infty }\|A^{k}\|^{1/k}

{\ displaystyle \ rho (A) = \ lim _ {k \ to \ infty} \ | A ^ {k} \ | ^ {1 / k}}

{\ displaystyle \ rho (A) = \ lim _ {k \ to \ infty} \ | A ^ {k} \ | ^ {1 / k}}

Cu alte cuvinte, arată cum raza spectrală a $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ da marimea cresterii asimptotice a normei de $A^{k}$ ${\ displaystyle A ^ {k}}$ ${\ displaystyle A ^ {k}}$ , acesta este:

\|A^{k}\|\sim \rho (A)^{k}

{\ displaystyle \ | A ^ {k} \ | \ sim \ rho (A) ^ {k}}

{\ displaystyle \ | A ^ {k} \ | \ sim \ rho (A) ^ {k}}

pentru $k\to \infty$ ${\ displaystyle k \ to \ infty}$ ${\ displaystyle k \ to \ infty}$ .

Pentru dovadă, luați în considerare matricea:

{\tilde {A}}=(\rho (A)+\epsilon )^{-1}A\qquad \epsilon >0

{\ displaystyle {\ tilde {A}} = (\ rho (A) + \ epsilon) ^ {- 1} A \ qquad \ epsilon> 0}

{\ displaystyle {\ tilde {A}} = (\ rho (A) + \ epsilon) ^ {- 1} A \ qquad \ epsilon> 0}

Atunci:

\rho ({\tilde {A}})={\frac {\rho (A)}{\rho (A)+\epsilon }}<1

{\ displaystyle \ rho ({\ tilde {A}}) = {\ frac {\ rho (A)} {\ rho (A) + \ epsilon}} <1}

{\ displaystyle \ rho ({\ tilde {A}}) = {\ frac {\ rho (A)} {\ rho (A) + \ epsilon}} <1}

și conform teoremei anterioare:

\lim _{k\to \infty }{\tilde {A}}^{k}=0

{\ displaystyle \ lim _ {k \ to \ infty} {\ tilde {A}} ^ {k} = 0}

{\ displaystyle \ lim _ {k \ to \ infty} {\ tilde {A}} ^ {k} = 0}

Pentru definirea limitei unei secvențe , există un număr natural $N_{1}\in \mathbb {N}$ ${\ displaystyle N_ {1} \ in \ mathbb {N}}$ ${\ displaystyle N_ {1} \ in \ mathbb {N}}$ astfel încât:

\|{\tilde {A}}^{k}\|<1\qquad \forall k\geq N_{1}

{\ displaystyle \ | {\ tilde {A}} ^ {k} \ | <1 \ qquad \ forall k \ geq N_ {1}}

{\ displaystyle \ | {\ tilde {A}} ^ {k} \ | <1 \ qquad \ forall k \ geq N_ {1}}

Ceea ce implică:

\|A^{k}\|<(\rho (A)+\epsilon )^{k}\qquad \forall k\geq N_{1}

{\ displaystyle \ | A ^ {k} \ | <(\ rho (A) + \ epsilon) ^ {k} \ qquad \ forall k \ geq N_ {1}}

{\ displaystyle \ | A ^ {k} \ | <(\ rho (A) + \ epsilon) ^ {k} \ qquad \ forall k \ geq N_ {1}}

sau echivalent:

\|A^{k}\|^{1/k}<(\rho (A)+\epsilon )\qquad \forall k\geq N_{1}

{\ displaystyle \ | A ^ {k} \ | ^ {1 / k} <(\ rho (A) + \ epsilon) \ qquad \ forall k \ geq N_ {1}}

{\ displaystyle \ | A ^ {k} \ | ^ {1 / k} <(\ rho (A) + \ epsilon) \ qquad \ forall k \ geq N_ {1}}

Având în vedere acum matricea:

{\check {A}}=(\rho (A)-\epsilon )^{-1}A

{\ displaystyle {\ check {A}} = (\ rho (A) - \ epsilon) ^ {- 1} A}

{\ displaystyle {\ check {A}} = (\ rho (A) - \ epsilon) ^ {- 1} A}

în mod similar avem:

\rho ({\check {A}})={\frac {\rho (A)}{\rho (A)-\epsilon }}>1

{\ displaystyle \ rho ({\ check {A}}) = {\ frac {\ rho (A)} {\ rho (A) - \ epsilon}}> 1}

{\ displaystyle \ rho ({\ check {A}}) = {\ frac {\ rho (A)} {\ rho (A) - \ epsilon}}> 1}

și prin teorema anterioară $\|{\check {A}}^{k}\|$ ${\ displaystyle \ | {\ check {A}} ^ {k} \ |}$ ${\ displaystyle \ | {\ check {A}} ^ {k} \ |}$ nu este limitat. Prin urmare, există $N_{2}\in \mathbb {N}$ ${\ displaystyle N_ {2} \ in \ mathbb {N}}$ ${\ displaystyle N_ {2} \ in \ mathbb {N}}$ astfel încât:

\|{\check {A}}^{k}\|>1\qquad \forall k\geq N_{2}

{\ displaystyle \ | {\ check {A}} ^ {k} \ |> 1 \ qquad \ forall k \ geq N_ {2}}

{\ displaystyle \ | {\ check {A}} ^ {k} \ |> 1 \ qquad \ forall k \ geq N_ {2}}

Ceea ce implică:

\|A^{k}\|>(\rho (A)-\epsilon )^{k}\qquad \forall k\geq N_{2}

{\ displaystyle \ | A ^ {k} \ |> (\ rho (A) - \ epsilon) ^ {k} \ qquad \ forall k \ geq N_ {2}}

{\ displaystyle \ | A ^ {k} \ |> (\ rho (A) - \ epsilon) ^ {k} \ qquad \ forall k \ geq N_ {2}}

sau:

\|A^{k}\|^{1/k}>(\rho (A)-\epsilon )\qquad \forall k\geq N_{2}

{\ displaystyle \ | A ^ {k} \ | ^ {1 / k}> (\ rho (A) - \ epsilon) \ qquad \ forall k \ geq N_ {2}}

{\ displaystyle \ | A ^ {k} \ | ^ {1 / k}> (\ rho (A) - \ epsilon) \ qquad \ forall k \ geq N_ {2}}

Luand in considerare:

N:=\max(N_{1},N_{2})

{\ displaystyle N: = \ max (N_ {1}, N_ {2})}

{\ displaystyle N: = \ max (N_ {1}, N_ {2})}

apoi pentru fiecare $\epsilon >0$ ${\ displaystyle \ epsilon> 0}$ $\ epsilon> 0$ există $N\in \mathbb {N}$ ${\ displaystyle N \ in \ mathbb {N}}$ $N \ in \ mathbb {N}$ astfel încât pentru fiecare $k\geq N$ ${\ displaystyle k \ geq N}$ ${\ displaystyle k \ geq N}$ :

\rho (A)-\epsilon <\|A^{k}\|^{1/k}<\rho (A)+\epsilon

{\ displaystyle \ rho (A) - \ epsilon <\ | A ^ {k} \ | ^ {1 / k} <\ rho (A) + \ epsilon}

{\ displaystyle \ rho (A) - \ epsilon <\ | A ^ {k} \ | ^ {1 / k} <\ rho (A) + \ epsilon}

asa de:

\lim _{k\to \infty }\|A^{k}\|^{1/k}=\rho (A)

{\ displaystyle \ lim _ {k \ to \ infty} \ | A ^ {k} \ | ^ {1 / k} = \ rho (A)}

{\ displaystyle \ lim _ {k \ to \ infty} \ | A ^ {k} \ | ^ {1 / k} = \ rho (A)}

cum ai vrut să arăți.

Formula lui Gelfand duce direct la o limită pentru raza spectrală a produsului matricilor infinite. Mai exact, presupunând că se schimbă reciproc:

\rho (A_{1}A_{2}\ldots A_{n})\leq \rho (A_{1})\rho (A_{2})\ldots \rho (A_{n})

{\ displaystyle \ rho (A_ {1} A_ {2} \ ldots A_ {n}) \ leq \ rho (A_ {1}) \ rho (A_ {2}) \ ldots \ rho (A_ {n})}

{\ displaystyle \ rho (A_ {1} A_ {2} \ ldots A_ {n}) \ leq \ rho (A_ {1}) \ rho (A_ {2}) \ ldots \ rho (A_ {n})}

Mai mult, dacă norma matricei este consecventă, grație lemei enunțate mai sus, în definiția limitei, limita inferioară stângă poate fi înlocuită cu raza spectrală în sine. Deci pentru fiecare $\epsilon >0$ ${\ displaystyle \ epsilon> 0}$ $\ epsilon> 0$ există $N\in \mathbb {N}$ ${\ displaystyle N \ in \ mathbb {N}}$ ${\ displaystyle N \ in \ mathbb {N}}$ astfel încât:

\rho (A)\leq \|A^{k}\|^{1/k}<\rho (A)+\epsilon \qquad \forall k\geq N

{\ displaystyle \ rho (A) \ leq \ | A ^ {k} \ | ^ {1 / k} <\ rho (A) + \ epsilon \ qquad \ forall k \ geq N}

{\ displaystyle \ rho (A) \ leq \ | A ^ {k} \ | ^ {1 / k} <\ rho (A) + \ epsilon \ qquad \ forall k \ geq N}

Așadar:

\lim _{k\to \infty }\|A^{k}\|^{1/k}=\rho (A)^{+}

{\ displaystyle \ lim _ {k \ to \ infty} \ | A ^ {k} \ | ^ {1 / k} = \ rho (A) ^ {+}}

{\ displaystyle \ lim _ {k \ to \ infty} \ | A ^ {k} \ | ^ {1 / k} = \ rho (A) ^ {+}}

Operatori liniari delimitați

Pentru un operator liniar limitat $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ și o normă de funcționare $\|\cdot \|$ ${\ displaystyle \ | \ cdot \ |}$ $\ | \ cdot \ |$ , raza spectrală $\rho (A)$ ${\ displaystyle \ rho (A)}$ $\ rho (A)$ din $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este dat de formula Gelfand.

Exemplu

Luați în considerare matricea:

A={\begin{bmatrix}9&-1&2\\-2&8&4\\1&1&8\end{bmatrix}}

{\ displaystyle A = {\ begin {bmatrix} 9 & -1 & 2 \\ - 2 & 8 & 4 \\ 1 & 1 & 8 \ end {bmatrix}}}

{\ displaystyle A = {\ begin {bmatrix} 9 & -1 & 2 \\ - 2 & 8 & 4 \\ 1 & 1 & 8 \ end {bmatrix}}}

ale căror valori proprii sunt 5, 10, 10. Prin definiție, raza sa spectrală este $\rho (A)=10$ ${\ displaystyle \ rho (A) = 10}$ ${\ displaystyle \ rho (A) = 10}$ . Tabelul următor prezintă valorile $\|A^{k}\|^{1/k}$ ${\ displaystyle \ | A ^ {k} \ | ^ {1 / k}}$ ${\ displaystyle \ | A ^ {k} \ | ^ {1 / k}}$ pentru cele patru standarde cele mai utilizate, sortate după $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ creştere. Se remarcă faptul că datorită formei particulare a matricei $\|.\|_{1}=\|.\|_{\infty }$ ${\ displaystyle \ |. \ | _ {1} = \ |. \ | _ {\ infty}}$ ${\ displaystyle \ |. \ | _ {1} = \ |. \ | _ {\ infty}}$ .

k	$\\|.\\|_{1}=\\|.\\|_{\infty }$ ${\ displaystyle \ \|. \ \| _ {1} = \ \|. \ \| _ {\ infty}}$ ${\ displaystyle \ \|. \ \| _ {1} = \ \|. \ \| _ {\ infty}}$	$\\|.\\|_{F}$ ${\ displaystyle \ \|. \ \| _ {F}}$ ${\ displaystyle \ \|. \ \| _ {F}}$	$\\|.\\|_{2}$ ${\ displaystyle \ \|. \ \| _ {2}}$ ${\ displaystyle \ \|. \ \| _ {2}}$
1	14	15.362291496	10.681145748
2	12.649110641	12.328294348	10.595665162
3	11.934831919	11.532450664	10.500980846
4	11.501633169	11.151002986	10.418165779
5	11.216043151	10.921242235	10.351918183
$\vdots$ ${\ displaystyle \ vdots}$ $\ vdots$	$\vdots$ ${\ displaystyle \ vdots}$ $\ vdots$	$\vdots$ ${\ displaystyle \ vdots}$ $\ vdots$	$\vdots$ ${\ displaystyle \ vdots}$ $\ vdots$
10	10.604944422	10.455910430	10.183690042
11	10.548677680	10.413702213	10.166990229
12	10.501921835	10.378620930	10.153031596
$\vdots$ ${\ displaystyle \ vdots}$ $\ vdots$	$\vdots$ ${\ displaystyle \ vdots}$ $\ vdots$	$\vdots$ ${\ displaystyle \ vdots}$ $\ vdots$	$\vdots$ ${\ displaystyle \ vdots}$ $\ vdots$
20	10.298254399	10.225504447	10.091577411
30	10.197860892	10.149776921	10.060958900
40	10.148031640	10.112123681	10.045684426
50	10.118251035	10.089598820	10.036530875
$\vdots$ ${\ displaystyle \ vdots}$ $\ vdots$	$\vdots$ ${\ displaystyle \ vdots}$ $\ vdots$	$\vdots$ ${\ displaystyle \ vdots}$ $\ vdots$	$\vdots$ ${\ displaystyle \ vdots}$ $\ vdots$
100	10.058951752	10.044699508	10.018248786
200	10.029432562	10.022324834	10.009120234
300	10.019612095	10.014877690	10.006079232
400	10.014705469	10.011156194	10.004559078
$\vdots$ ${\ displaystyle \ vdots}$ $\ vdots$	$\vdots$ ${\ displaystyle \ vdots}$ $\ vdots$	$\vdots$ ${\ displaystyle \ vdots}$ $\ vdots$	$\vdots$ ${\ displaystyle \ vdots}$ $\ vdots$
1000	10.005879594	10.004460985	10.001823382
2000	10.002939365	10.002230244	10.000911649
3000	10.001959481	10.001486774	10.000607757
$\vdots$ ${\ displaystyle \ vdots}$ $\ vdots$	$\vdots$ ${\ displaystyle \ vdots}$ $\ vdots$	$\vdots$ ${\ displaystyle \ vdots}$ $\ vdots$	$\vdots$ ${\ displaystyle \ vdots}$ $\ vdots$
10000	10.000587804	10.000446009	10.000182323
20000	10.000293898	10.000223002	10.000091161
30000	10.000195931	10.000148667	10.000060774
$\vdots$ ${\ displaystyle \ vdots}$ $\ vdots$	$\vdots$ ${\ displaystyle \ vdots}$ $\ vdots$	$\vdots$ ${\ displaystyle \ vdots}$ $\ vdots$	$\vdots$ ${\ displaystyle \ vdots}$ $\ vdots$
100000	10.000058779	10.000044600	10.000018232

Bibliografie

( RO ) Gradshteyn, IS și Ryzhik, IM Tables of Integrals, Series și Products, ediția a VI-a . San Diego, CA: Academic Press, pp. 1115-1116, 2000.

Elemente conexe

linkuri externe

(EN) Eric W. Weisstein, Spectral Radius în MathWorld Wolfram Research.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică