Extrem superior și extrem inferior

În matematică , limita superioară a unui set $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ cuprins într-un set ordonat $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este cel mai mic element al majoranților din $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ .

Într-un mod dual , limita inferioară a $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ este definit ca cel mai mare element al minorităților din $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ .

Extremele superioare și inferioare pot aparține $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ sau nu. În primul caz, acestea coincid cu maximul și minimul său. În general, conceptele de limită maximă și superioară nu coincid și nu trebuie confundate.

Conceptele de limită superioară și inferioară sunt aplicabile oricărei structuri matematice pentru care este clar ce se înțelege prin element ca fiind „mai mare decât sau egal” cu un alt element. Astfel, conceptul de limită superioară se aplică seturilor ordonate , de exemplu subseturi de numere reale, raționale, naturale, dar nu de exemplu de numere complexe.

Definiție

Lasa-i sa fie $(X,\leq )$ ${\ displaystyle (X, \ leq)}$ $(X, \ leq)$ un întreg complet ordonat , $E\subseteq X$ ${\ displaystyle E \ subseteq X}$ $Și \ subseteq X$ . Dacă există un element $y\in X$ ${\ displaystyle y \ în X}$ $y \ în X$ astfel încât:

$y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ este o majoritate a $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$
$\nexists z\in X$ ${\ displaystyle \ nexists z \ în X}$ $\ nexists z \ in X$ astfel încât $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ este o majoritate a $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ Și $z<y$ ${\ displaystyle z <y}$ $z <y$ (adică cel mai mic majorant este $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ la fel)

se spune că $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ este extremă superioară a $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ , în simboluri $y=\sup E$ ${\ displaystyle y = \ sup E}$ $y = \ sup E$ .

Dacă există un element în schimb $x\in X$ ${\ displaystyle x \ în X}$ $x \ în X$ astfel încât:

$X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ este o minoritate a $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$
$\nexists a\in X$ ${\ displaystyle \ nexists a \ in X}$ $\ nexists a \ în X$ astfel încât $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ este o minoritate a $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ Și $a>x$ ${\ displaystyle a> x}$ $a> x$ (adică cea mai mare minoritate este $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ la fel)

se spune că $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ este limita inferioară a $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ , în simboluri $x=\inf E$ ${\ displaystyle x = \ inf E}$ $x = \ inf E$ . Dacă setul majoranților unui set nu este gol, se spune că setul este limitat deasupra, în timp ce dacă setul minorităților este ne-gol, se spune că setul este limitat mai jos. Evident, dacă limita inferioară există, atunci setul este delimitat mai jos, în timp ce dacă limita superioară există, setul este delimitat deasupra. Un set limitat deasupra și dedesubt se numește limitat.

Subseturi ale liniei reale

Dacă luăm în considerare un întreg $E\subseteq \mathbb {R} ^{*}$ ${\ displaystyle E \ subseteq \ mathbb {R} ^ {*}}$ $E \ subseteq \ R ^ *$ din linia reală extinsă , aceasta are cu siguranță o limită superioară și o limită inferioară. Acest lucru este garantat de axioma lui Dedekind , care garantează că orice subset ne-gol de $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ este completă și prin convenția că, dacă $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ nu este delimitat deasupra (dedesubt) în $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ , limita superioară (inferioară) se spune că este infinită: $\sup E=+\infty$ ${\ displaystyle \ sup E = + \ infty}$ $\ sup E = + \ infty$ și / sau $\inf E=-\infty$ ${\ displaystyle \ inf E = - \ infty}$ $\ inf E = - \ infty$ .

Exemple

Următoarele seturi trebuie considerate subseturi ale setului de numere reale.

$\sup\{1,2,3\}=3$ ${\ displaystyle \ sup \ {1,2,3 \} = 3}$ $\ sup \ {1,2,3 \} = 3$

În acest caz, limita superioară coincide cu cea maximă. Are asta $3$ ${\ displaystyle 3}$ $3$ este limita superioară deoarece este un majorant al mulțimii și orice număr real mai mic decât $3$ ${\ displaystyle 3}$ $3$ nu este mai mare decât întregul;

$\inf\{x\in \mathbb {R} :0<x<1\}=\inf(0,1)=0$ ${\ displaystyle \ inf \ {x \ in \ mathbb {R}: 0 <x <1 \} = \ inf (0,1) = 0}$ $\ inf \ {x \ in \ mathbb {R}: 0 <x <1 \} = \ inf (0,1) = 0$

Mulțimea are o limită inferioară, dar nu are un minim, de fapt nu aparține mulțimii;

$\sup\{x\in \mathbb {R} :0\leq x\leq 1\}=\sup[0,1]=1$ ${\ displaystyle \ sup \ {x \ in \ mathbb {R}: 0 \ leq x \ leq 1 \} = \ sup [0,1] = 1}$ $\ sup \ {x \ in \ mathbb {R}: 0 \ leq x \ leq 1 \} = \ sup [0,1] = 1$

Setul are limită superioară și maximă coincidente;

$\inf\{y\in \mathbb {R} :y=1/x,x>0\}=\inf(0,\infty )=0$ ${\ displaystyle \ inf \ {y \ in \ mathbb {R}: y = 1 / x, x> 0 \} = \ inf (0, \ infty) = 0}$ $\ inf \ {y \ in \ mathbb {R}: y = 1 / x, x> 0 \} = \ inf (0, \ infty) = 0$

de asemenea, în acest caz, limita inferioară nu aparține setului și setul nu are minim. Rețineți că limita inferioară coincide cu limita funcției monotone $1/x$ ${\ displaystyle 1 / x}$ $1 / x$ pentru $x\to \infty$ ${\ displaystyle x \ to \ infty}$ $x \ to \ infty$

$\sup\{x\in \mathbb {Q} :x^{2}\leq 4\}=2$ ${\ displaystyle \ sup \ {x \ in \ mathbb {Q}: x ^ {2} \ leq 4 \} = 2}$ $\ sup \ {x \ in \ mathbb {Q}: x ^ 2 \ leq 4 \} = 2$

extremul superior coincide cu maximul;

$\sup\{x\in \mathbb {Q} :x^{2}<4\}=2$ ${\ displaystyle \ sup \ {x \ in \ mathbb {Q}: x ^ {2} <4 \} = 2}$ $\ sup \ {x \ in \ mathbb {Q}: x ^ 2 <4 \} = 2$

ca înainte, dar întregul nu are maxim;

$\sup\{x\in \mathbb {Q} :x^{2}\leq 2\}={\sqrt {2}}$ ${\ displaystyle \ sup \ {x \ in \ mathbb {Q}: x ^ {2} \ leq 2 \} = {\ sqrt {2}}}$ $\ sup \ {x \ in \ mathbb {Q}: x ^ 2 \ leq 2 \} = \ sqrt {2}$

în acest din urmă caz setul este delimitat deasupra, dar limita superioară nu coincide cu maximul, deoarece setul nu are maxim.

Completitudine și existență

Dacă un set nu este complet, se poate întâmpla ca un subset delimitat mai sus să nu aibă un limite superioare. De exemplu, fie el $E\subseteq \mathbb {Q}$ ${\ displaystyle E \ subseteq \ mathbb {Q}}$ $Este \ subseteq \ mathbb {Q}$ definit ca:

\{x\in \mathbb {Q} :x^{2}\leq 2\}

{\ displaystyle \ {x \ in \ mathbb {Q}: x ^ {2} \ leq 2 \}}

\ {x \ in \ mathbb {Q}: x ^ 2 \ leq 2 \}

Acest set este cu siguranță limitat în partea de sus, deoarece dacă $x\in \mathbb {Q}$ ${\ displaystyle x \ in \ mathbb {Q}}$ $x \ in \ mathbb {Q}$ Și $x\geq 2$ ${\ displaystyle x \ geq 2}$ $x \ geq 2$ , $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ este mai mare decât $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ . Cu toate acestea, întregul nu are extremități superioare ( ${\sqrt {2}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$ ${\ sqrt {2}}$ nu aparține $\mathbb {Q}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ $\ mathbb {Q}$ ). Rețineți că acest exemplu diferă de ultimul exemplu din secțiunea anterioară, deoarece am căutat anterior limita superioară într-un set complet, $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ , nu acum. S-a arătat că, în ceea ce privește spațiile incomplete, există subseturi delimitate deasupra, dar care nu admit limita superioară.

Notări

Adesea întâlnim notații precum:

y=\inf _{x\in A}f(x)

{\ displaystyle y = \ inf _ {x \ în A} f (x)}

y = \ inf_ {x \ în A} f (x)

unde este $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este o funcție cu valoare reală pe orice domeniu e $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este un subset al domeniului său. Această notație este un mod compact de a exprima:

y=\inf\{z=f(x),x\in A\}

{\ displaystyle y = \ inf \ {z = f (x), x \ în A \}}

y = \ inf \ {z = f (x), x \ în A \}

adică indică capătul inferior al imaginii $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ prin $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ .

Exemple

Un prim exemplu este

\sup _{x\in \mathbb {R} }x^{2}=+\infty

{\ displaystyle \ sup _ {x \ in \ mathbb {R}} x ^ {2} = + \ infty}

\ sup_ {x \ in \ mathbb {R}} x ^ 2 = + \ infty

De fapt, în acest set funcția nu este delimitată în partea de sus.

Luând în considerare în schimb:

\inf _{x\in [0,1]}x^{2}=0

{\ displaystyle \ inf _ {x \ in [0,1]} x ^ {2} = 0}

\ inf_ {x \ in [0,1]} x ^ 2 = 0

Si deasemenea:

\inf _{x\in (0,1)}x^{2}=0

{\ displaystyle \ inf _ {x \ in (0,1)} x ^ {2} = 0}

\ inf_ {x \ in (0,1)} x ^ 2 = 0

în acest caz, însă, nu este minimul setului, deoarece această valoare nu există, la fel cum minimul funcției nu există (este la marginea domeniului).

Alte exemple sunt:

\sup _{x\in \mathbb {R} }-\exp(-x)=0\qquad \sup _{x\in (-1,1)}{-x^{2}+1}=1

{\ displaystyle \ sup _ {x \ in \ mathbb {R}} - \ exp (-x) = 0 \ qquad \ sup _ {x \ in (-1,1)} {- x ^ {2} +1 } = 1}

\ sup_ {x \ in \ mathbb {R}} - \ exp (-x) = 0 \ qquad \ sup_ {x \ in (-1,1)} {- x ^ 2 + 1} = 1

Funcții monotone

După cum am văzut într-unul dintre exemplele anterioare, există o legătură între conceptul de limită superioară și cel de limită. Este $f:(a,b)\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle f: (a, b) \ to \ mathbb {R}}$ $f: (a, b) \ to {\ mathbb {R}}$ o funcție monotonă în $(a,b)$ ${\ displaystyle (a, b)}$ $(a, b)$ . Apoi sunt:

\lim _{x\to b_{-}}f(x)\qquad \lim _{x\to a_{+}}f(x)

{\ displaystyle \ lim _ {x \ to b _ {-}} f (x) \ qquad \ lim _ {x \ to a _ {+}} f (x)}

\ lim_ {x \ to b_-} f (x) \ qquad \ lim_ {x \ to a_ +} f (x)

și ai (pentru orice eventualitate $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ care nu scade):

\lim _{x\to b_{-}}f(x)=\sup _{x\in (a,b)}f(x)

{\ displaystyle \ lim _ {x \ to b _ {-}} f (x) = \ sup _ {x \ in (a, b)} f (x)}

\ lim_ {x \ to b_-} f (x) = \ sup_ {x \ in (a, b)} f (x)

Și

\lim _{x\to a_{+}}f(x)=\inf _{x\in (a,b)}f(x)

{\ displaystyle \ lim _ {x \ to a _ {+}} f (x) = \ inf _ {x \ in (a, b)} f (x)}

\ lim_ {x \ to a_ +} f (x) = \ inf_ {x \ in (a, b)} f (x)

cu rezultate oglindă dacă $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ în schimb nu este în creștere.

Bibliografie

Walter Rudin, Principiile analizei matematice , Milano, McGraw-Hill, 1991, ISBN 88-386-0647-1 .

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere în limita superioară și inferioară

linkuri externe

( EN ) LD Kudryavtsev, Limite superioare și inferioare , în Enciclopedia de matematică , Springer și European Mathematical Society, 2002.
(EN) Eric W. Weisstein, Supremum în MathWorld Wolfram Research.
(EN) supremum , în PlanetMath .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică