Dualitate (matematică)

În matematică tema dualității este importantă și omniprezentă, dar nu există o definiție universal acceptată capabilă să unească toate semnificațiile ei.

În general se poate spune că o dualitate este o endofuncție care acționează asupra unei teorii matematice, pentru a fi înțeleasă ca un sistem logic coerent de definiții, teoreme și structuri, pentru a transforma aceste componente în alte definiții, teoreme și structuri.

În majoritatea cazurilor, o dualitate constă într-o involuție , dar nu întotdeauna. Prin urmare, putem distinge dualitățile involuntare de cele non-involuntare. În restul acestui articol, deoarece examinăm în primul rând involutiv, le vom numi pur și simplu dualități.

În cazurile mai definite, o dualitate este o involuție în cadrul unui set de formule (de exemplu în cadrul setului de egalități pentru subseturile unui set de mediu) sau în cadrul unui set de structuri (de exemplu setul de poliedre convexe).

Transformarea B a unei noțiuni A printr-o dualitate involutivă d , B : = d ( A ), se numește dual al lui A ; datorită caracterului involutiv al funcției end d ( d ( A )) = A. În unele contexte, o astfel de noțiune A este numită primală a lui B.

O noțiune care coincide cu propriul său dual se numește autoduală : de exemplu, operația de completare a subseturilor unui set dat și clasa tetraedrelor în ceea ce privește transformarea unui poliedru în dualul său sunt auto-duale.

Importanța unei dualități în cadrul unei teorii este că, referindu-se la ea, teoria însăși poate fi dezvoltată mai economic (dovezile teoremelor duale pot fi scutite) și pot fi expuse mai organic.

Dualitatea prin inversarea unui ordin

O gamă largă de dualitate privește ansamblurile ordonate și se bazează pe trecerea de la o ordine originală la inversul acesteia.

Dualitatea pentru teoria generală a mulțimilor ordonate poate fi definită ca involuția pe care o are un pozet $(P,\preceq )$ ${\ displaystyle (P, \ preceq)}$ ${\ displaystyle (P, \ preceq)}$ se potrivește cu poziția ca dual $(P,\succeq )$ ${\ displaystyle (P, \ succeq)}$ ${\ displaystyle (P, \ succeq)}$ în care relația $\succeq$ ${\ displaystyle \ succeq}$ ${\ displaystyle \ succeq}$ este definit ca ansamblul de perechi care se reflectă în cele care constituie $\preceq$ ${\ displaystyle \ preceq}$ $\ prev$ . Pentru această dualitate, relațiile sunt schimbate între ele $\prec$ ${\ displaystyle \ prec}$ ${\ displaystyle \ prec}$ Și $\succ$ ${\ displaystyle \ succ}$ ${\ displaystyle \ succ}$ , noțiunile de major și minor, noțiunile de suprem și cel mai mic, noțiunile de maxim și minim, noțiunile de ideal și filtru. O relație auto-modală este necomparabilitatea dintre elementele setului de suport $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ .

Să examinăm acum caracteristicile acestui tip de dualitate în cazuri specifice de mulțimi ordonate.

Multe situații concrete sunt schematizate prin digrame ordonate pentru care poate fi util să se identifice dualitatea prin inversarea ordinii. Un astfel de digraf se referă la mulțimea de oameni conectați prin relația „descendent al” și aceasta prin dualitate devine „ascendentul”.

Mulțimea numerelor întregi pozitive este ordonată după relația de divizibilitate; prin dualitate aceasta devine relația „a fi multiplu de”.

O importanță considerabilă este dualitatea pentru subseturile unui set dat S rezultat din schimbul dintre relații $\subseteq$ ${\ displaystyle \ subseteq}$ $\ subseteq$ $\supseteq$ ${\ displaystyle \ supseteq}$ $\ supseteq$ . Această involuție poate fi urmărită înapoi la transformarea unui subset $A\subseteq S$ ${\ displaystyle A \ subseteq S}$ ${\ displaystyle A \ subseteq S}$ în complementaritatea sa ${\bar {A}}=S\setminus A$ ${\ displaystyle {\ bar {A}} = S \ setminus A}$ ${\ displaystyle {\ bar {A}} = S \ setminus A}$ .

Diverse dualități ale unor colecții particulare de subseturi ale unui set dat pot fi urmărite înapoi la „dualitatea de set” anterioară.

În topologia generală există dualitatea pentru un spațiu topologic bazat pe schimbul prin trecere la complementar între seturile sale deschise și seturile sale închise.

În teoria matroidă , complementarea trece de la seturile independente ale unui matroid M dat la seturile independente ale unui matroid numit dual de M.

Elemente conexe

Dualitate poliedrică

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre dualitate

linkuri externe

( EN ) Duality , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Controlul autorității	Tezaur BNCF 50536 · LCCN (EN) sh85039851 · BNF (FR) cb12269439b (data)