Axioma lui Dedekind

În matematică , axioma lui Dedekind , numită și axioma continuității sau axioma completitudinii , se referă la mulțimea numerelor reale R ; se afirmă că fiecare mulțime S de numere reale care nu este goală și care este mărginită mai sus are o limită minimă superioară în R, și anume un număr real egal sau mai mare decât toate elementele lui S și astfel încât niciun real nu mai există mic cu acel proprietate.

De exemplu, dacă mulțimea S considerată este cea a numerelor al căror pătrat este mai mic de 2 (în simboluri, mulțimea $\{x\in \mathbb {R} :x^{2}<2\}$ ${\ displaystyle \ {x \ in \ mathbb {R}: x ^ {2} <2 \}}$ ${\ displaystyle \ {x \ in \ mathbb {R}: x ^ {2} <2 \}}$ ), limita superioară este ${\sqrt {2}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$ . Axioma poate enunța și pentru fiecare subset de R care nu este gol și inferior limitat: în acest caz se asigură că setul are o extremă inferioară .

Această axiomă este foarte utilă, deoarece este esențial să se demonstreze că linia reală este un spațiu metric complet . Mulțimea numerelor raționale nu satisface această axiomă și, prin urmare, nu este completă: pentru mulțimea S definită anterior nu există o limită superioară care să aparțină lui Q.

Axioma completitudinii și continuității liniei

O formulare alternativă a axiomei lui Dedekind, cunoscută sub numele de axiomă de completitudine , este următoarea.

„Totuși, luând o partiție a tuturor punctelor unei linii în două subseturi, astfel încât niciun punct al unui subset să nu se afle între două puncte ale celuilalt, există un punct al unui subset care se află între toate celelalte puncte ale acelui subset și toate punctele celuilalt. "

Axioma Dedekind (sau completitudinea) permite plasarea punctelor unei linii în corespondența unu-la-unu cu elementele mulțimii R.

Completitudinea numerelor reale

Folosind axioma lui Dedekind se poate arăta că numerele reale formează un spațiu complet : cu alte cuvinte, că fiecare secvență Cauchy este convergentă.

Demonstrație

Este $\{s_{n}\}$ ${\ displaystyle \ {s_ {n} \}}$ ${\ displaystyle \ {s_ {n} \}}$ o secvență Cauchy . Este $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ ansamblul numerelor reale care sunt mai mari decât $s_{n}$ ${\ displaystyle s_ {n}}$ ${\ displaystyle s_ {n}}$ numai pentru un număr finit de valori ale $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ . Deoarece fiecare secvență Cauchy este mărginită, $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ este ne-gol și limitat de sus și, prin urmare, admite, prin axioma lui Dedekind, o extremă superioară $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ . Arătăm că de fapt succesiunea $s_{n}$ ${\ displaystyle s_ {n}}$ ${\ displaystyle s_ {n}}$ Tinde să $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ .

Pentru fiecare $\varepsilon$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ , este un $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ astfel încât $|s_{n}-s_{m}|<\varepsilon$ ${\ displaystyle | s_ {n} -s_ {m} | <\ varepsilon}$ ${\ displaystyle | s_ {n} -s_ {m} | <\ varepsilon}$ pentru fiecare $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ , $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ mai mare sau egal cu $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ . Apoi secvența presupune valori de infinit de ori în interval $(s_{N}-\varepsilon ,s_{N}+\varepsilon )$ ${\ displaystyle (s_ {N} - \ varepsilon, s_ {N} + \ varepsilon)}$ ${\ displaystyle (s_ {N} - \ varepsilon, s_ {N} + \ varepsilon)}$ și un număr finit de ori în complementaritatea sa. Prin urmare $s_{N}-\varepsilon$ ${\ displaystyle s_ {N} - \ varepsilon}$ ${\ displaystyle s_ {N} - \ varepsilon}$ este un element al $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ Și $s_{N}+\varepsilon$ ${\ displaystyle s_ {N} + \ varepsilon}$ ${\ displaystyle s_ {N} + \ varepsilon}$ este mai mare decât orice element al $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ , și, prin urmare, este mai mare sau egal cu $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ .

Prin urmare $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ este conținut în gamă $(s_{N}-\varepsilon ,s_{N}+\varepsilon )$ ${\ displaystyle (s_ {N} - \ varepsilon, s_ {N} + \ varepsilon)}$ ${\ displaystyle (s_ {N} - \ varepsilon, s_ {N} + \ varepsilon)}$ , iar pentru inegalitatea triunghiulară rezultă că

d(s_{n},s)\leq d(s_{n},s_{N})+d(s_{N},s)\leq \varepsilon +\varepsilon =2\varepsilon

{\ displaystyle d (s_ {n}, s) \ leq d (s_ {n}, s_ {N}) + d (s_ {N}, s) \ leq \ varepsilon + \ varepsilon = 2 \ varepsilon}

{\ displaystyle d (s_ {n}, s) \ leq d (s_ {n}, s_ {N}) + d (s_ {N}, s) \ leq \ varepsilon + \ varepsilon = 2 \ varepsilon}

.

Prin urmare $s_{n}\to s$ ${\ displaystyle s_ {n} \ to s}$ ${\ displaystyle s_ {n} \ to s}$ iar succesiunea converge. QED

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică