Dacă și numai dacă

În matematică , filozofie , logică și în domeniile tehnice care depind de acestea, expresia dacă și numai dacă sau abrevierea sse este adesea utilizată pentru a exprima echivalența logică a două propoziții, făcând clar că cele două propoziții au același lucru valoarea adevărului : dacă al doilea este adevărat, atunci primul este, de asemenea, adevărat și invers.

În scris, următoarele expresii sunt echivalente

„P dacă și numai dacă Q”,
„P sse Q”,
„P este o condiție necesară și suficientă pentru Q”,
„P este echivalent cu Q”.

În formulările logice, simbolurile logice sunt folosite în locul acestor propoziții; vezi discuția despre notații.

Conectivul logic dacă și numai dacă apare în logica propozițională cu următorul tabel de adevăr .

LA	B.	A sse B
F.	F.	V.
F.	V.	F.
V.	F.	F.
V.	V.	V.

În logica matematică expresia „a ↔ b” este echivalentă cu expresia „ $(a\to b)\land (b\to a)$ ${\ displaystyle (a \ to b) \ land (b \ to a)}$ $(a \ to b) \ land (b \ to a)$ Această proprietate este utilizată în toate domeniile matematicii atunci când este necesar să se demonstreze o proprietate de tipul "a ⇔ b"; în aceste cazuri, prin urmare, se demonstrează mai întâi că $a\Rightarrow b$ ${\ displaystyle a \ Rightarrow b}$ $a \ Rightarrow b$ și ulterior că $b\Rightarrow a$ ${\ displaystyle b \ Rightarrow a}$ $b \ Rightarrow a$ .

O definiție informală a conectivității logice sse se dovedește a fi: „punte între sinonime”. De fapt, există un izomorfism între un cuvânt și sinonimul acestuia.

Utilizare

Notări

Simbolurile logice care corespund dacă și numai dacă, sunt „↔”, „⇔” și „≡”, și uneori „sse” (în engleză „if”, „if and only if”).

↔
⇔

≡

Aceste notații sunt toate echivalente. Cu toate acestea, unele texte de logică matematică (în special cele de logică de prim ordin , sau mai bine zis cele de logică propozițională ) fac o distincție între notații, în special între prima: ↔, este folosit ca simbol în formulările logice, în timp ce ⇔ este utilizat în discuția privind aceste formule (de exemplu în metalogică ).

Diferența dintre „sse” și „dacă”

Pentru simplitate, diferența dintre if și sse poate fi ilustrată cu următoarele două propoziții:

Gaius va mânca desertul dacă desertul este cu smântână (echivalent: dacă desertul este cu smântână, atunci Gaius îl va mânca).
Gaius va mânca desertul dacă și numai dacă (sse) desertul este cremos.

Propoziția (1) spune doar că Gaius va mânca tortul cu cremă. Cu toate acestea, nu exclude posibilitatea ca Gaius să aibă posibilitatea de a mânca un desert diferit. Poate că va fi, poate că nu. Propoziția nu ne spune nimic despre asta. Tot ce știm este că Caio va mânca cu siguranță un desert dacă este cremos.

Sentința (2) spune că Gaius va mânca doar prăjituri cu cremă și numai pe acestea . Gaius nu va mânca alte tipuri de dulciuri.

O altă diferență este că „dacă” este utilizat în definiții (cu excepția logicii formale); vezi mai departe.

În primul caz, se spune că propunerea („Dacă desertul este smântână”) implică („Gaius îl va mânca”).

În al doilea caz, se spune că o implică .

Considerații avansate

Interpretarea filosofică

O propoziție formată din două propoziții conectate prin „ sse ” se numește bicondițională . sse conectează cele două propoziții pentru a forma o propoziție nouă. Nu trebuie confundat cu echivalența logică, care este o descriere a relației dintre două propoziții. „A sse B” bicondiționat folosește propoziția A și propoziția B , descriind o relație între starea lucrurilor pe care A și B o descriu. În schimb, „ A este logic echivalent cu B ” leagă cele două propoziții: descrie o relație între acele două propoziții și nu între subiectele despre care vorbesc.

Distincția este foarte confuză și i-a rătăcit pe mulți filozofi. Cu siguranță, dacă A este logic echivalent cu B, atunci „A dacă B” este adevărat. Dar inversul nu funcționează. Luați în considerare propoziția:

Gaius va mânca desertul dacă și numai dacă este cremos.

În mod clar nu există o echivalență logică între cele două părți ale acestei condiții.

Definiții

În filozofie și logică, „if” este utilizat în definiții . În matematică și în alte părți, totuși, cuvântul „dacă” este utilizat în mod normal în definiții, în loc de „sse” (unii autori indică totuși în mod explicit că „dacă” într-o definiție înseamnă „sse”)

Exemple

Iată câteva exemple de propoziții adevărate care folosesc „sse” (prima este un exemplu de definiție, deci ar fi scris în mod normal folosind „dacă”):

O persoană este burlac dacă persoana respectivă este necăsătorită și este un bărbat căsătorit.
„La neve è bianca” (în italiană) este adevărat dacă „ Snow is white ” (în engleză) este adevărat.
Pentru fiecare p , q și r : ( p & q ) & r ss și p & ( q & r ). (Deoarece această propoziție este scrisă utilizând variabile și „ & ”, propoziția ar trebui scrisă folosind „↔” sau unul dintre celelalte simboluri utilizate în scrierea bicondiționalului, în loc de „sse”).

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre If and Only If

linkuri externe

( EN ) Jurnal de limbă: „Just in Case” , pe itre.cis.upenn.edu .
( EN ) Filosofia Californiei de Sud pentru studenții absolvenți de filosofie: „Just in Case” , pe hesperusphosphorus.wordpress.com .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică