Stare necesară și suficientă

O condiție necesară și suficientă , în logica unei propoziții , este acel eveniment care este adevărat dacă și numai dacă propoziția este adevărată.

Elementele

Condiția necesară este una care trebuie îndeplinită pentru ca propoziția să fie adevărată. În mod formal, o condiție Q este necesară pentru o propoziție P dacă P implică Q (formal P $\Rightarrow$ ${\ displaystyle \ Rightarrow}$ $\ Sageata dreapta$ Q). De exemplu, capacitatea de a respira este necesară pentru a continua să trăiești, dacă nu ai putea respira, nu ai mai fi în viață; respirația nu este însă suficientă pentru a rămâne în viață, deoarece se poate muri și prin respirație. Sau, un număr prim mai mare de 2 trebuie să fie impar , dar nu este suficient ca p să fie impar să fie prim.

Condiția suficientă este aceea care, dacă este satisfăcută, garantează adevărul propoziției. În mod formal, o condiție Q este suficientă pentru o propoziție P dacă Q implică P (formal Q $\Rightarrow$ ${\ displaystyle \ Rightarrow}$ $\ Sageata dreapta$ P). De exemplu, săriturile sunt suficiente pentru a părăsi solul, dar nu este necesar să părăsiți solul, deoarece vă puteți ridica în diferite moduri. Sau, divizibilitatea cu 6 a unui număr este suficientă pentru ca numărul să fie par, dar nu este necesar (există numere pare care nu sunt divizibile cu 6).

Unele condiții pot fi necesare și suficiente . De exemplu, pentru o matrice pătrată de numere reale, faptul că determinantul său este diferit de zero este o condiție necesară și suficientă pentru a fi inversabilă.

Condiție necesară

Fulgerele sunt necesare și suficiente pentru tunete și invers. Acest lucru se datorează faptului că ambele evenimente fac parte din același fenomen.

Pentru a înțelege dacă P este necesar pentru Q, trebuie să ne întrebăm dacă este valabilă formularea „dacă P nu este adevărat, atunci Q nu este adevărat”. Prin contrast, acesta este același lucru cu a spune „ori de câte ori Q este adevărat, P este adevărat și”. Relația logică dintre ele este exprimată prin „Dacă Q atunci P” (în engleză : „Dacă Q, atunci P”) sau „P $\Leftarrow$ ${\ displaystyle \ Leftarrow}$ $\ Sageata stanga$ Q "(Q implică P) și poate fi găsit, de asemenea, scris ca" Q numai dacă P "," P ori de câte ori Q "sau" P când Q ". În multe cazuri, o condiție necesară face parte dintr-o serie de condiții, ca prezentat în exemplul 4.

Exemplul 1 : Luați în considerare propoziția „A fi dictator este necesar pentru a fi președinte pe viață ”; dacă nu ești un dictator, atunci este imposibil să deții această funcție, dar dacă deții această funcție, atunci ești automat un dictator.

Exemplul 2 : Să presupunem că fiecare fulger cauzează tunet (oricât de slab ar fi tunetul) și să presupunem că prin „tunet” ne referim la sunetul cauzat de fulger. Atunci s-ar putea spune că „tunetul este necesar pentru fulgere”, pentru că dacă nu ar fi tunet, atunci nu ar mai exista fulgere. Adică, dacă apar fulgere, atunci trebuie să apară și tunete.

Exemplul 3 : Pentru a funcționa un computer este necesară o sursă de alimentare funcțională.

Exemplul 4: Ca exemplu de condiție care nu este necesară, luați în considerare un dreptunghi și un pătrat . Rețineți că a fi pătrat nu este o condiție necesară pentru a fi dreptunghi, deoarece există dreptunghiuri care nu sunt pătrate. Pe de altă parte, a fi dreptunghi este necesar pentru a fi pătrat, cu condiția suplimentară a laturilor egale.

În multe texte matematice este scris uneori explicit „Condiție necesară, dar nu suficientă”, tocmai pentru a indica distincția clară între cele două categorii. Cu toate acestea, această scriere trebuie interpretată pur și simplu ca o „condiție necesară”.

Stare suficientă

A spune că P este suficient pentru Q echivalează cu a spune că „dacă P este adevărat, atunci Q este adevărat” sau că „ori de câte ori P este adevărat, Q este, de asemenea, adevărat”. Relația logică este exprimată prin expresia „Dacă P atunci Q” (sau în engleză : „Dacă P atunci Q”) sau „P $\Rightarrow$ ${\ displaystyle \ Rightarrow}$ $\ Sageata dreapta$ Q ", și poate fi găsit, de asemenea, scris ca" P implică Q. "

Exemplul 1 : Pentru simplitate, presupuneți că fiecare persoană este biologic bărbat sau femeie și că un tată este un bărbat biologic care a născut un copil. Atunci „a fi tată” este o condiție suficientă pentru a fi bărbat.

Exemplul 2 : La fel ca în paragraful anterior, să presupunem că tunetul este cauzat de fulgere. Atunci „tunetul este suficient pentru fulger”, pentru că dacă auzi tunetul, atunci trebuie să fi fost generat de un fulger.

Exemplul 3 : Un computer funcțional este suficient pentru a presupune că există o sursă de alimentare funcțională, un monitor funcțional etc.

Exemplul 4 : A fi pătrat este suficient pentru a fi dreptunghi și este, de asemenea, suficient pentru a avea laturi de lungime egală.

Exemplul 5: Să considerăm exemplul „bărbat / femeie ca nu exemplu condiție suficientă“. A fi bărbat nu este suficient pentru a fi tată, pentru că există bărbați care nu au copii.

Relația dintre „necesar” și „suficient”

Propoziția „P este suficientă pentru Q” este aceeași cu a spune „Q este necesar pentru P”, deoarece în ambele propoziții „P implică Q”.

Exemplu: „A fi dreptunghi este necesar pentru a fi pătrat”. În consecință, „a fi pătrat este suficient pentru a fi dreptunghi”.

Condiții necesare și suficiente

A spune că P este necesar și suficient pentru Q echivalează cu a spune două lucruri:

P este necesar pentru Q (P $\Leftarrow$ ${\ displaystyle \ Leftarrow}$ $\ Sageata stanga$ Q)
P este suficient pentru Q (P $\Rightarrow$ ${\ displaystyle \ Rightarrow}$ $\ Sageata dreapta$ Q)

De exemplu, dacă Maria mănâncă mereu carne luni, dar niciodată în orice altă zi, se poate spune că „a fi luni este o condiție necesară pentru ca Maria să mănânce carne”. Acest lucru este adevărat, deoarece Maria nu mănâncă carne în altă zi decât luni. Dar „a fi luni este o condiție suficientă pentru ca Maria să mănânce carne”, pentru că este adevărat că Maria va mânca mereu carne luni.

Având în vedere exemplul tunet / fulger așa cum se arată în secțiunile anterioare, „tunetul este necesar pentru fulgere”, deoarece dacă nu există tunet, atunci nu a existat niciun fulger care le-a creat. „Tunetul este suficient pentru fulgere”, deoarece tunetul trebuie să fi provenit din fulgere.

Relația dintre a fi pătrat și a fi dreptunghi nu este necesară și suficientă, în ciuda ordonării condițiilor „pătrat” și „dreptunghi”. „A fi dreptunghi este necesar pentru a fi pătrat” și „a fi dreptunghi nu este suficient pentru a fi pătrat”. „A fi pătrat este suficient pentru a fi dreptunghi”, dar „a fi pătrat nu este necesar pentru a fi dreptunghi”. După cum se arată în condițiile necesare (Exemplul 4) și condițiile suficiente (Exemplul 4), există mai multe condiții implicate în relația dreptunghi-pătrat.

În calendarul gregorian , există un exemplu al acestui concept. Februarie este singura lună care are mai puțin de 30 de zile, astfel încât relația poate fi utilizată în două moduri: puteți asocia ideea „februarie - mai puțin de 30 de zile” sau „mai puțin de 30 de zile - februarie”. Cu toate acestea, dacă specificați lungimea lunii (28 sau 29 de zile), atunci deducem imediat că vorbim despre februarie, dar dacă menționăm februarie, este necesară o altă indicație (anul) pentru a ști dacă are 28 sau 29 de zile.

„P este necesar și suficient pentru Q” exprimă același concept ca „P dacă și numai dacă Q” (P $\Leftrightarrow$ ${\ displaystyle \ Leftrightarrow}$ $\ Leftrightarrow$ Q).

O posibilă descriere alternativă

Pentru a clarifica aceleași concepte, ar putea fi utilă următoarea descriere alternativă a acestora, care pare să corespundă mai bine utilizării lor făcute în „limbajul comun”.

În primul rând, ar trebui specificat contextul în care este legitimă introducerea conceptului de „condiție”. Se intenționează să fie specificat un „univers” de referință U ne-gol, căruia îi vor aparține toți „indivizii” (sau „obiectele” sau „lucrurile”) despre care vorbim în general, plus un anumit subset. , gol sau nu gol, A din U, care va conține toți acei indivizi despre care vorbim în special. De asemenea, ne gândim la cazul în care A poate fi gol nu pentru că presupunem că vrem să discutăm ... despre nimic, ci pentru că am putea dori să discutăm indivizi care încă nu știu dacă există sau nu.

Acestea fiind spuse, o CONDIȚIE C este o definiție nominalistă (adică o expresie lingvistică cu un sens autonom și complet, care distinge fără echivoc elementele lui A de cele ale complementarului lui A) ale unui subset gol sau ne-gol al lui U, să spunem X (C).

O condiție C este NECESARĂ pentru elementele lui A dacă X (C) conține A. Încă dorind să se exprime în termeni de „implicație”, se poate scrie de fapt „informal”: A ---> C.

În definirea condițiilor SUFICIENTE, va fi bine să distingem cazul stării goale (X (C) = gol) de cel al stării ne-goale. Dacă C nu este gol, C este o condiție suficientă pentru A dacă A conține X (C) (din nou în termeni de „implicație informală”, putem scrie: C ---> A). Dacă C este gol în schimb, pare legitim să argumentăm că C poate fi înțeles ca o condiție suficientă doar pentru setul A gol (de fapt, C devine, în acest caz, și o condiție necesară).

În consecință, o condiție C este NECESARĂ ȘI SUFICIENTĂ pentru orice set A atunci și numai atunci există identitatea respectivă:

A = X (C) (acest lucru este valabil atât în cazul în care C nu este gol, cât și în cazul în care C este gol).

Definițiile sunt atât de ridicate încât, evident, o definiție nominalistă a aceluiași set A devine o condiție necesară și suficientă pentru A.

Precauția în cazul condițiilor goale se bazează pe faptul că orice aiureală poate fi interpretată ca o definiție nominalistă a setului gol (care ca atare ar părea să aibă definiții mai nominaliste decât orice alt set) și care este cel puțin bizară pentru ca utilizarea obișnuită a conceptului să o considere o condiție suficientă pentru elementele oricărui set ne-gol A.

De asemenea, trebuie remarcat faptul că, conform abordării alternative tocmai ilustrate, nu există niciun fel de „simetrie” între condițiile necesare și suficiente, ceea ce rezultă în schimb în conformitate cu primul punct de vedere descris în acest articol. Rolurile condiției C și ale setului A sunt de fapt clar diferențiate aici. De exemplu, în cazul condițiilor C necesare pentru o mulțime A care ar putea fi, de asemenea, goală (conform unui punct de vedere diferit, și cu alte cuvinte, „A” ar acționa invers ca „condiție suficientă” pentru X (C), dar a fost propus pentru definirea suficienței unei condiții goale un dispozitiv suplimentar care evită afirmațiile manifest paradoxale), pare potrivit să se accepte în schimb toate aceste condiții, atât goale, cât și nu goale, deoarece interesul actual este centrat pe cunoașterea mulțimea A, nu a mulțimii X (C), și prin determinarea unora dintre aceste condiții necesare pentru A este posibil să se cunoască mai mult, până la limita de a constata cu precizie că A este neapărat lipsită de elemente.

În concluzie, se poate presupune că, ori de câte ori în orice „discurs” sunt folosite conceptele de condiție, necesar, suficient etc., se are în vedere (în cea mai mare parte implicit, dar de explicație imediată la cerere) o corespondență a unui „general”. logică "tip cu cele spuse mai sus: în caz contrar, este prezentat un argument terminologic imperfect.

Elemente conexe

linkuri externe

(EN) Andrew Brennan, Condiții necesare și suficiente în Zalta Edward N. (eds), Stanford Encyclopedia of Philosophy , Centre for the Study of Language and Information (CSLI), Universitatea Stanford .
Tutorial web: Condiții necesare și suficiente (2)
Universitatea Simon Fraser: concepte și exemple

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică