Spectru esențial

În matematică , spectrul esențial al unui operator mărginit este un subset al spectrului .

Operatori limitați

Este $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ un spațiu al lui Banach e $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ un operator limitat definit pe $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ . În literatură există mai multe definiții ale spectrului esențial, care nu sunt echivalente între ele (dar coincid în cazul unui operator autoadjunct ):

Spectrul esențial $\sigma _{\mathrm {ess,1} }(T)$ ${\ displaystyle \ sigma _ {\ mathrm {ess, 1}} (T)}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {\ mathrm {ess, 1}} (T)}$ este setul de numere $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ astfel încât $\lambda I-T$ ${\ displaystyle \ lambda IT}$ $\ lambda I-T$ nu este un operator semi-Fredholm , adică un operator caracterizat prin faptul că are un nucleu sau conucleus având o dimensiune finită și o imagine închisă.
Spectrul esențial $\sigma _{\mathrm {ess,2} }(T)$ ${\ displaystyle \ sigma _ {\ mathrm {ess, 2}} (T)}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {\ mathrm {ess, 2}} (T)}$ este setul de numere $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ astfel încât $\lambda I-T$ ${\ displaystyle \ lambda IT}$ $\ lambda I-T$ nu are nicio imagine închisă sau miezul său are o dimensiune infinită.
Spectrul esențial $\sigma _{\mathrm {ess,3} }(T)$ ${\ displaystyle \ sigma _ {\ mathrm {ess, 3}} (T)}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {\ mathrm {ess, 3}} (T)}$ este setul de numere $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ astfel încât $\lambda I-T$ ${\ displaystyle \ lambda IT}$ $\ lambda I-T$ nu este un operator Fredholm, adică un operator caracterizat prin faptul că are un nucleu și un conucleus având o dimensiune finită și o imagine închisă.
Spectrul esențial $\sigma _{\mathrm {ess,4} }(T)$ ${\ displaystyle \ sigma _ {\ mathrm {ess, 4}} (T)}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {\ mathrm {ess, 4}} (T)}$ este setul de numere $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ astfel încât $\lambda I-T$ ${\ displaystyle \ lambda IT}$ $\ lambda I-T$ nu este un operator Fredholm astfel încât dimensiunea nucleului și a conucleului să nu fie coincidente.
Spectrul esențial $\sigma _{\mathrm {ess,5} }(T)$ ${\ displaystyle \ sigma _ {\ mathrm {ess, 5}} (T)}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {\ mathrm {ess, 5}} (T)}$ este uniunea dintre $\sigma _{\mathrm {ess,1} }(T)$ ${\ displaystyle \ sigma _ {\ mathrm {ess, 1}} (T)}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {\ mathrm {ess, 1}} (T)}$ și toate componentele $\mathbb {C} \setminus \sigma _{\mathrm {ess,1} }(T)$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} \ setminus \ sigma _ {\ mathrm {ess, 1}} (T)}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} \ setminus \ sigma _ {\ mathrm {ess, 1}} (T)}$ care nu intersectează mulțimea rezolvatoare $\mathbb {C} \setminus \sigma (T)$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} \ setminus \ sigma (T)}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} \ setminus \ sigma (T)}$ .

Spectrul esențial este întotdeauna închis, indiferent de definiția utilizată și avem:

\sigma _{\mathrm {ess} ,1}(T)\subset \sigma _{\mathrm {ess} ,2}(T)\subset \sigma _{\mathrm {ess} ,3}(T)\subset \sigma _{\mathrm {ess} ,4}(T)\subset \sigma _{\mathrm {ess} ,5}(T)\subset \sigma (T)\subset \mathbf {C}

{\ displaystyle \ sigma _ {\ mathrm {ess}, 1} (T) \ subset \ sigma _ {\ mathrm {ess}, 2} (T) \ subset \ sigma _ {\ mathrm {ess}, 3} ( T) \ subset \ sigma _ {\ mathrm {ess}, 4} (T) \ subset \ sigma _ {\ mathrm {ess}, 5} (T) \ subset \ sigma (T) \ subset \ mathbf {C} }

{\ displaystyle \ sigma _ {\ mathrm {ess}, 1} (T) \ subset \ sigma _ {\ mathrm {ess}, 2} (T) \ subset \ sigma _ {\ mathrm {ess}, 3} ( T) \ subset \ sigma _ {\ mathrm {ess}, 4} (T) \ subset \ sigma _ {\ mathrm {ess}, 5} (T) \ subset \ sigma (T) \ subset \ mathbf {C} }

Raza spectrală a spectrului esențial este dată de:

r_{\mathrm {ess} ,k}(T)=\max\{|\lambda |:\lambda \in \sigma _{\mathrm {ess} ,k}(T)\}

{\ displaystyle r _ {\ mathrm {ess}, k} (T) = \ max \ {| \ lambda |: \ lambda \ in \ sigma _ {\ mathrm {ess}, k} (T) \}}

{\ displaystyle r _ {\ mathrm {ess}, k} (T) = \ max \ {| \ lambda |: \ lambda \ in \ sigma _ {\ mathrm {ess}, k} (T) \}}

Spectrul esențial al unui operator $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este invariant dacă a $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ se adaugă un operator compact pentru k = 1,2,3,4, dar nu pentru k = 5. Cazul k = 4, în special, dă partea spectrului care este independentă de perturbarea unui operator compact:

\sigma _{\mathrm {ess} ,4}(T)=\bigcap _{K\in K(X)}\sigma (T+K)

{\ displaystyle \ sigma _ {\ mathrm {ess}, 4} (T) = \ bigcap _ {K \ în K (X)} \ sigma (T + K)}

{\ displaystyle \ sigma _ {\ mathrm {ess}, 4} (T) = \ bigcap _ {K \ în K (X)} \ sigma (T + K)}

unde este $K(X)$ ${\ displaystyle K (X)}$ $K (X)$ este setul de operatori compacte din $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ .

Operatori auto-adiacenți

Același subiect în detaliu: Operator autoadjunct .

Este $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ un spațiu Hilbert e $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ un operator limitat autoadjunct definit pe $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ . Spectrul esențial $\sigma _{\mathrm {ess} }(T)$ ${\ displaystyle \ sigma _ {\ mathrm {ess}} (T)}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {\ mathrm {ess}} (T)}$ din $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este mulțimea numerelor complexe $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ astfel încât:

\lambda \,I-T

{\ displaystyle \ lambda \, IT}

{\ displaystyle \ lambda \, I-T}

nu este operator Fredholm . Este întotdeauna un set închis, care este un subset al spectrului , în acest caz conținând doar valori reale, având în vedere natura operatorului considerat (autoadjunct).

De sine $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ este un operator compact activat $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ , apoi spectrul esențial al $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ Și $T+K$ ${\ displaystyle T + K}$ ${\ displaystyle T + K}$ coincide.

Criteriul lui Weyl afirmă că $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ este în spectrul $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ dacă există o succesiune $\{\psi _{k}\}$ ${\ displaystyle \ {\ psi _ {k} \}}$ ${\ displaystyle \ {\ psi _ {k} \}}$ în $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ astfel încât $\|\psi _{k}\|=1$ ${\ displaystyle \ | \ psi _ {k} \ | = 1}$ ${\ displaystyle \ | \ psi _ {k} \ | = 1}$ Și:

\lim _{k\to \infty }\left\|T\psi _{k}-\lambda \psi _{k}\right\|=0

{\ displaystyle \ lim _ {k \ to \ infty} \ left \ | T \ psi _ {k} - \ lambda \ psi _ {k} \ right \ | = 0}

{\ displaystyle \ lim _ {k \ to \ infty} \ left \ | T \ psi _ {k} - \ lambda \ psi _ {k} \ right \ | = 0}

in timp ce $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ se află în spectrul esențial dacă succesiunea $\{\psi _{k}\}$ ${\ displaystyle \ {\ psi _ {k} \}}$ ${\ displaystyle \ {\ psi _ {k} \}}$ nu conține nicio subsecvență convergentă (acest lucru se întâmplă, de exemplu, dacă $\{\psi _{k}\}$ ${\ displaystyle \ {\ psi _ {k} \}}$ ${\ displaystyle \ {\ psi _ {k} \}}$ este ortonormal și această succesiune se numește succesiune singulară .

Complementarul spectrului esențial al $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este spectrul discret $\sigma _{\mathrm {discr} }(T)$ ${\ displaystyle \ sigma _ {\ mathrm {discr}} (T)}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {\ mathrm {discr}} (T)}$ :

\sigma _{\mathrm {discr} }(T)=\sigma (T)\setminus \sigma _{\mathrm {ess} }(T)

{\ displaystyle \ sigma _ {\ mathrm {discr}} (T) = \ sigma (T) \ setminus \ sigma _ {\ mathrm {ess}} (T)}

{\ displaystyle \ sigma _ {\ mathrm {discr}} (T) = \ sigma (T) \ setminus \ sigma _ {\ mathrm {ess}} (T)}

Și $\lambda \in \sigma _{\mathrm {discr} }(T)$ ${\ displaystyle \ lambda \ in \ sigma _ {\ mathrm {discr}} (T)}$ ${\ displaystyle \ lambda \ in \ sigma _ {\ mathrm {discr}} (T)}$ dacă este o valoare proprie izolată cu multiplicitate finită, aceasta este dimensiunea:

\{\psi \in X:T\psi =\lambda \psi \}

{\ displaystyle \ {\ psi \ în X: T \ psi = \ lambda \ psi \}}

{\ displaystyle \ {\ psi \ în X: T \ psi = \ lambda \ psi \}}

s-a terminat și nimic. De asemenea, există un $\epsilon >0$ ${\ displaystyle \ epsilon> 0}$ $\ epsilon> 0$ astfel încât dacă și numai dacă $\mu \in \sigma (T)$ ${\ displaystyle \ mu \ in \ sigma (T)}$ ${\ displaystyle \ mu \ in \ sigma (T)}$ Și $|\mu -\lambda |<\epsilon$ ${\ displaystyle | \ mu - \ lambda | <\ epsilon}$ ${\ displaystyle | \ mu - \ lambda | <\ epsilon}$ asa de $\mu =\lambda$ ${\ displaystyle \ mu = \ lambda}$ ${\ displaystyle \ mu = \ lambda}$ .

Bibliografie

( EN ) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis , ed. A II-a, San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0125850506 .
( EN ) DE Edmunds și WD Evans (1987), Teorie spectrală și operatori diferențiali, Oxford University Press. ISBN 0-19-853542-2 .
( DE ) H. Weyl (1910), Über gewöhnliche Differentialgleichungen mit Singularitäten und die zugehörigen Entwicklungen willkürlicher Funktionen, Mathematische Annalen 68 , 220–269.

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică