Operator de schimb

În matematică și în special în analiza funcțională , operatorii de schimbare sunt exemple de operatori liniari , importanți pentru simplitatea lor. Ele sunt utilizate în mai multe domenii, cum ar fi spațiile Hardy , teoria varietăților abeliene și teoria dinamicii simbolice , pentru care harta lui Baker este o reprezentare explicită . Există o altă aplicație a operatorului de schimbare ca operator de traducere : vezi de exemplu secvența Sheffer .

Un operator tipic de deplasare unilaterală mapează o succesiune de numere infinite

( la ₁ , la ₂ , ...)

în

(0, la ₁ , la ₂ , ...).

Această operație respectă condițiile tipice de convergență, cum ar fi convergența absolută a seriei infinite corespunzătoare; prin urmare, dă naștere la operatori continui pe spațiile secvențelor utilizate în mod obișnuit în analiza funcțională, mai ales cu norma 1.

Un alt mod de a o privi ar fi în termeni de polinoame : secvențele care se încheie cu siguranță cu șirul

(..., 0, 0, 0, ...)

sau, cu alte cuvinte, care au doar un număr finit de elemente nenule, sunt în corespondență unu-la-unu cu în polinoame într-un T nedeterminat care are un _i ca coeficient de T ⁱ . Avantajul acestei reprezentări este că operatorul de schimbare devine multiplicare cu T : aceasta dezvăluie rapid câteva aspecte ale structurii sale. Spațiile polinoamelor poartă cu ele numeroase structuri topologice; operatorii de schimb pot fi construiți prin extensii pe spațiile complete corespunzătoare.

Operatorii de deplasare bilaterali sunt operatorii corespunzători în care secvențele considerate sunt bi-infinite (funcții pe numere întregi , mai degrabă decât pe numere naturale ). Se poate spune că analogul în acest caz al reprezentării polonomice este acela prin polinoamele Laurent . Teoria funcțiilor analitice este legată de cea a polinoamelor, admitând serii de puteri infinite; pe de altă parte, funcțiile meromorfe au serii de putere care se termină în direcția exponenților negativi. În mod similar, schimbările unilaterale și bilaterale au proprietăți oarecum diferite. Această legătură cu teoria funcției este clarificată în contextul spațiilor Hardy .

Acțiune asupra spațiilor Hilbert

Deplasările unilaterale și bilaterale au o acțiune asupra spațiilor Hilbert , returnând operatorii mărginiti S și T pe spațiile secvențelor ℓ ^p respectiv $\ell ^{2}(\mathbb {N} )$ ${\ displaystyle \ ell ^ {2} (\ mathbb {N})}$ ${\ displaystyle \ ell ^ {2} (\ mathbb {N})}$ Și $\ell ^{2}(\mathbb {Z} )$ ${\ displaystyle \ ell ^ {2} (\ mathbb {Z})}$ ${\ displaystyle \ ell ^ {2} (\ mathbb {Z})}$ . Deplasarea unilaterală S este o izometrie adecvată, a cărei imagine corespunde tuturor vectorilor care au prima coordonată zero. Deplasarea bilaterală T , pe de altă parte, este un operator unitar .

Operatorul S este o contracție a lui T , în sensul că

\forall x\in \ell ^{2}(\mathbb {N} ):Ux'=Sx

{\ displaystyle \ forall x \ in \ ell ^ {2} (\ mathbb {N}): Ux '= Sx}

{\ displaystyle \ forall x \ in \ ell ^ {2} (\ mathbb {N}): Ux '= Sx}

,

unde este $X^{'}$ ${\ displaystyle x '}$ $X '$ este vectorul din $\ell ^{2}(\mathbb {Z} )$ ${\ displaystyle \ ell ^ {2} (\ mathbb {Z})}$ ${\ displaystyle \ ell ^ {2} (\ mathbb {Z})}$ cu $x'_{i}=x_{i}$ ${\ displaystyle x '_ {i} = x_ {i}}$ ${\ displaystyle x '_ {i} = x_ {i}}$ pentru $i\geq 0$ ${\ displaystyle i \ geq 0}$ ${\ displaystyle i \ geq 0}$ Și $x'_{i}=0$ ${\ displaystyle x '_ {i} = 0}$ ${\ displaystyle x '_ {i} = 0}$ pentru $i<0$ ${\ displaystyle i <0}$ ${\ displaystyle i <0}$ . Această observație se află la baza construcției multor dilatații unitare ale izometriilor.

Spectrul lui S este discul unitar, în timp ce spectrul lui T este cercul unității din planul complex .

Descompunerea Wold spune că fiecare izometrie pe un spațiu Hilbert este de formă

s^{\alpha }\oplus U

{\ displaystyle s ^ {\ alpha} \ oplus U}

{\ displaystyle s ^ {\ alpha} \ oplus U}

unde S ^α este S crescut la un număr cardinal α și U este un operator de unitate. C * -algebra generată de o izometrie propriu-zisă arbitrară este izomorfă pentru C * -algebra generată de S.

Operatorul de schimbare S este un exemplu de operator Fredholm ; are un indice Fredholm -1.

Elemente conexe

Dilatare (matematică)

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică