Plan complex

Reprezentarea grafică a numerelor complexe. Axa Y arată coeficientul părții imaginare, axa X partea reală a numărului.

În analiza complexă , planul complex (numit și planul Argand-Gauss ) este o reprezentare bidimensională a mulțimii numerelor complexe . Poate fi gândit ca un plan cartezian modificat, cu partea reală reprezentată pe axa absciselor , numită pentru această axă reală , iar partea imaginară reprezentată pe axa ordonată , numită deci axa imaginară .

Istorie

Planul complex este uneori numit planul Argand pentru utilizarea sa în diagramele Argand. Crearea sa este în general atribuită lui Jean-Robert Argand , în paralel cu Carl Friedrich Gauss , pentru care unii sunt menționați și de planul lui Gauss. Pentru a nu micșora unul sau altul matematician, acesta este definit și ca planul Argand-Gauss, chiar dacă a fost descris pentru prima dată în 1799 de matematicianul norvegian-danez Caspar Wessel .

Utilizare

Conceptul de plan complex permite o interpretare geometrică a numerelor complexe. În plus , numerele complexe se adună ca vectori , în timp ce multiplicarea numerelor complexe poate fi exprimată geometric folosind coordonate polare , unde modulul produsului este produsul modulelor factorilor și argumentul produsului (unghiul față de real axă) este suma unghiurilor factorilor.

Diagramele Argand sunt frecvent utilizate pentru a trasa poziția polilor sau a zerourilor unei funcții în planul complex.

Utilizare și notații

Un număr complex poate fi separat în părți reale și imaginare:

z=x+iy,

{\ displaystyle z = x + iy,}

{\ displaystyle z = x + iy,}

unde este $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Și $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ sunt numere reale și $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ este unitatea imaginară . Numerele reale se află în corespondență unu-la-unu cu punctele liniei reale euclidiene. În această notație, numărul complex $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ corespunde punctului $(x,y)$ ${\ displaystyle (x, y)}$ $(X y)$ a planului cartezian . Abscisa este dată de $x=\mathrm {Re} (z)$ ${\ displaystyle x = \ mathrm {Re} (z)}$ ${\ displaystyle x = \ mathrm {Re} (z)}$ (partea reală , axa lui $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ ) și ordonat de $y=\mathrm {Im} (z)$ ${\ displaystyle y = \ mathrm {Im} (z)}$ ${\ displaystyle y = \ mathrm {Im} (z)}$ (partea imaginară , axa ordonată).

În plan cartezian, punctul $(x,y)$ ${\ displaystyle (x, y)}$ $(X y)$ poate fi reprezentat și în coordonate polare ca:

(x,y)=(r\cos \theta ,r\sin \theta )

{\ displaystyle (x, y) = (r \ cos \ theta, r \ sin \ theta)}

{\ displaystyle (x, y) = (r \ cos \ theta, r \ sin \ theta)}

unde forma $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ iar faza $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ sunt obținute (pt $x>0$ ${\ displaystyle x> 0}$ $x> 0$ ) din formule

r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}};\quad \theta =\arctan {\frac {y}{x}}.

{\ displaystyle r = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}; \ quad \ theta = \ arctan {\ frac {y} {x}}.}

{\ displaystyle r = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}; \ quad \ theta = \ arctan {\ frac {y} {x}}.}

Funcția arctangent2 poate fi utilizată pentru a calcula faza.

Bibliografie

( EN ) Lars Ahlfors , Complex Analysis , 3rd, McGraw-Hill, 1979, ISBN 978-0-07-000657-7 .
( EN ) E. Freitag, R. Busam, Analiza complexă ; Springer-Verlag (2005).

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere pe un plan complex

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică