Arctangent 2

În trigonometrie, funcția cu două argumente atan2 reprezintă o variație a arctangentei . Cu toate acestea, am luat argumentele reale $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Și $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ nu nul, $\operatorname {atan2} (y,x)$ ${\ displaystyle \ operatorname {atan2} (y, x)}$ $\ operatorname {atan2} (y, x)$ indică unghiul în radiani între semiaxa pozitivă a $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ a unui plan cartezian și a unui punct de coordonate $(x,y)$ ${\ displaystyle (x, y)}$ $(X y)$ întins pe el. Unghiul este pozitiv dacă este invers în sens invers acelor de ceasornic (jumătate de plan al ordonatelor pozitive, $y>0$ ${\ displaystyle y> 0}$ $y> 0$ ) și negativ dacă este în sensul acelor de ceasornic (jumătate de plan al ordonatelor negative, $y<0$ ${\ displaystyle y <0}$ $y <0$ ).

Această funcție returnează apoi o valoare care se află în interval $(-\pi ,\pi ]$ ${\ displaystyle (- \ pi, \ pi]}$ ${\ displaystyle (- \ pi, \ pi]}$ . Funcția este definită pentru toate perechile de valori reale $(x,y)$ ${\ displaystyle (x, y)}$ $(X y)$ cu excepția cuplului $(0,0)$ ${\ displaystyle (0,0)}$ $(0, 0)$ .

Definiție

Funcția poate fi definită în funcție de funcția arctangentă obișnuită, care are valori în $(-\pi /2,\pi /2),$ ${\ displaystyle (- \ pi / 2, \ pi / 2),}$ ${\ displaystyle (- \ pi / 2, \ pi / 2),}$ prin intermediul următoarei definiții:

\operatorname {atan2} (y,x)={\begin{cases}\arctan({\frac {y}{x}}),&{\text{se  }}x>0,\\\arctan({\frac {y}{x}})+\pi ,&{\text{se  }}x<0\wedge y\geq 0,\\\arctan({\frac {y}{x}})-\pi ,&{\text{se  }}x<0\wedge y<0,\\+{\frac {\pi }{2}},&{\text{se  }}x=0\wedge y>0,\\-{\frac {\pi }{2}},&{\text{se  }}x=0\wedge y<0,\\{\text{non definita}},&{\text{se  }}x=0\wedge y=0.\end{cases}}

{\ displaystyle \ operatorname {atan2} (y, x) = {\ begin {cases} \ arctan ({\ frac {y} {x}}) și {\ text {se}} x> 0, \\\ arctan ({\ frac {y} {x}}) + \ pi, & {\ text {se}} x <0 \ wedge y \ geq 0, \\\ arctan ({\ frac {y} {x}} ) - \ pi, & {\ text {se}} x <0 \ wedge y <0, \\ + {\ frac {\ pi} {2}}, & {\ text {se}} x = 0 \ wedge y> 0, \\ - {\ frac {\ pi} {2}}, și {\ text {se}} x = 0 \ wedge y <0, \\ {\ text {undefined}} și {\ text {se}} x = 0 \ wedge y = 0. \ end {cases}}}

{\ displaystyle \ operatorname {atan2} (y, x) = {\ begin {cases} \ arctan ({\ frac {y} {x}}) și {\ text {se}} x> 0, \\\ arctan ({\ frac {y} {x}}) + \ pi, & {\ text {se}} x <0 \ wedge y \ geq 0, \\\ arctan ({\ frac {y} {x}} ) - \ pi, & {\ text {se}} x <0 \ wedge y <0, \\ + {\ frac {\ pi} {2}}, & {\ text {se}} x = 0 \ wedge y> 0, \\ - {\ frac {\ pi} {2}}, și {\ text {se}} x = 0 \ wedge y <0, \\ {\ text {undefined}} și {\ text {se}} x = 0 \ wedge y = 0. \ end {cases}}}

Notarea paranteză a lui Iverson permite o expresie mai compactă:

\operatorname {atan2} (y,x)=\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)[x\neq 0]+\operatorname {sgn}(y)\left(\pi [x<0]+{\frac {\pi }{2}}[x=0]\right)+{\text{NaN}}[x=0\wedge y=0]

{\ displaystyle \ operatorname {atan2} (y, x) = \ arctan \ left ({\ frac {y} {x}} \ right) [x \ neq 0] + \ operatorname {sgn} (y) \ left ( \ pi [x <0] + {\ frac {\ pi} {2}} [x = 0] \ right) + {\ text {NaN}} [x = 0 \ wedge y = 0]}

{\ displaystyle \ operatorname {atan2} (y, x) = \ arctan \ left ({\ frac {y} {x}} \ right) [x \ neq 0] + \ operatorname {sgn} (y) \ left ( \ pi [x <0] + {\ frac {\ pi} {2}} [x = 0] \ right) + {\ text {NaN}} [x = 0 \ wedge y = 0]}

Notaţie

Notarea matematică a arctangent2 este arctan2 sau arctg2 . În limbajele de programare și pe tastaturile unor calculatoare, notația atan2 este de asemenea foarte frecventă.

Proprietate

Funcția este o extensie a funcției arctangente $\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)$ ${\ displaystyle \ arctan \ left ({\ frac {y} {x}} \ right)}$ ${\ displaystyle \ arctan \ left ({\ frac {y} {x}} \ right)}$ întrucât, spre deosebire de acesta, este capabil să facă distincția între unghiuri diametral opuse, luând în considerare nu numai relația dintre argumente, ci și semnul lor. De fapt, funcția arctangentă returnează aceeași valoare pentru perechi $(x,y)$ ${\ displaystyle (x, y)}$ $(X y)$ Și $(-x,-y)$ ${\ displaystyle (-x, -y)}$ $(-X y)$ precum și pentru cupluri $(x,-y)$ ${\ displaystyle (x, -y)}$ $(X y)$ Și $(-x,y)$ ${\ displaystyle (-x, y)}$ $(-X y)$ , determinând astfel doar amplitudinea unghiului față de axă $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ dar nu poziționarea sa reală față de cadranele axelor carteziene.

Un alt aspect important al funcției arctangent2 este acela că, spre deosebire de funcția simplă $\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)$ ${\ displaystyle \ arctan \ left ({\ frac {y} {x}} \ right)}$ $\ arctan \ left (\ frac {y} {x} \ right)$ , este, de asemenea, definit în caz $x=0$ ${\ displaystyle x = 0}$ $x = 0$ .

De fapt, din definiția de mai sus, obținem:

\operatorname {atan2} (y,0)={\begin{cases}\arccos(0)={\frac {\pi }{2}},&{\mbox{se }}y>0\\-\arccos(0)=-{\frac {\pi }{2}},&{\mbox{se }}y<0\end{cases}}

{\ displaystyle \ operatorname {atan2} (y, 0) = {\ begin {cases} \ arccos (0) = {\ frac {\ pi} {2}} și {\ mbox {se}} y> 0 \ \ - \ arccos (0) = - {\ frac {\ pi} {2}}, și {\ mbox {se}} y <0 \ end {cases}}}

\ operatorname {atan2} (y, 0) = \ begin {cases} \ arccos (0) = \ frac {\ pi} {2}, & \ mbox {se} y> 0 \\ - \ arccos (0) = - \ frac {\ pi} {2}, & \ mbox {se} y <0 \ end {cases}

din care deducem că $\operatorname {atan2} \left(y,0\right)$ ${\ displaystyle \ operatorname {atan2} \ left (y, 0 \ right)}$ $\ operatorname {atan2} \ left (y, 0 \ right)$ exprimă unghiul drept orientat în raport cu axa $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ .

Elemente conexe

Arctangent

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere pe arctangent2

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică