Unitate imaginară

În matematică unitatea imaginară $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ (uneori reprezentată de litera greacă iota $\iota$ ${\ displaystyle \ iota}$ $\iotă$ ) vă permite să extindeți câmpul numerelor reale $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ la câmpul numerelor complexe $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ . Unitatea imaginară se caracterizează prin faptul că este un număr al cărui pătrat este egal cu $-1$ ${\ displaystyle -1}$ $-1$ .

În electrotehnică , unitatea imaginară este întotdeauna reprezentată de literă $j$ ${\ displaystyle j}$ $j$ , de la scrisoare $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ este deja folosit pentru a indica intensitatea curentului .

Necesitatea extinderii câmpului numerelor reale $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ rezultă din faptul că nu este posibil în acest câmp să se calculeze rădăcina pătrată a unui număr negativ și mai general că nu toate ecuațiile polinomiale $f(x)=0$ ${\ displaystyle f (x) = 0}$ $f (x) = 0$ au o soluție . În special ecuația $x^{2}+1=0$ ${\ displaystyle x ^ {2} + 1 = 0}$ $x ^ {2} + 1 = 0$ nu are soluții reale. Dar, dacă te uiți la numere complexe, atunci acea ecuație și, într-adevăr, toate ecuațiile polinomiale $f(x)=0$ ${\ displaystyle f (x) = 0}$ $f (x) = 0$ , unde este $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ este un polinom cu coeficienți reali sau complecși, au cel puțin o soluție: acest fapt se numește teorema fundamentală a algebrei și spune formal că $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ este închiderea algebrică a $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ .

Definiție

Prin definiție, unitatea imaginară $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ este o soluție a ecuației

x^{2}+{1}={0}.

{\ displaystyle x ^ {2} + {1} = {0}.}

x ^ {{2}} + {1} = {0}.

Inelul $\mathbb {R} [x]/(x^{2}+1)$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} [x] / (x ^ {2} +1)}$ $\ mathbb {R} [x] / (x ^ {2} +1)$ (care este un câmp de la polinom $x^{2}+1$ ${\ displaystyle x ^ {2} +1}$ $x ^ 2 + 1$ este ireductibil pe $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ ) Și $\mathbb {R} ^{2}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ $\ R ^ 2$ se dovedesc a fi izomorfe ca spații vectoriale pe $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ prin izomorfism $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ care trimite $a+bx$ ${\ displaystyle a + bx}$ $a + bx$ în $(a,b)$ ${\ displaystyle (a, b)}$ $(a, b)$ . În acest sens, unitatea imaginară nu este altceva decât imaginea lui $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ conform $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ si tu ai $\mathbb {C} =\mathbb {R} [x]/(x^{2}+1)=\mathbb {R} [i].$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} = \ mathbb {R} [x] / (x ^ {2} +1) = \ mathbb {R} [i].}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} = \ mathbb {R} [x] / (x ^ {2} +1) = \ mathbb {R} [i].}$

Operațiile asupra numerelor reale pot fi extinse la numere complexe luând în considerare $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ ca o cantitate necunoscută la manipularea expresiilor și apoi folosind definiția pentru a înlocui $i^{2}$ ${\ displaystyle i ^ {2}}$ $eu ^ {2}$ cu $-1$ ${\ displaystyle -1}$ $-1$ .

$the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ Și $-i$ ${\ displaystyle -i}$ $-la$

Ecuația $x^{2}+1=0$ ${\ displaystyle x ^ {2} + 1 = 0}$ $x ^ {2} + 1 = 0$ are, de fapt, două soluții distincte care sunt opuse. Mai exact, odată stabilită o soluție $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ a ecuației, atunci $-i(\neq i)$ ${\ displaystyle -i (\ neq i)}$ $-i (\ neq i)$ este, de asemenea, o soluție. Deoarece ecuația în sine este singura definiție pentru $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ , se pare că această definiție este ambiguă (mai exact, nu este bine definită ). Dar nu există nicio ambiguitate după ce alegeți o soluție și o remediați, indicând-o cu $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ .

Această considerație este subtilă. O explicație mai precisă este să afirmăm că, deși câmpul complex definit ca $\mathbb {R} [x]/(x^{2}+1)$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} [x] / (x ^ {2} +1)}$ $\ mathbb {R} [x] / (x ^ {2} +1)$ este unic , cu excepția izomorfisme , nu este unic , cu excepția unei singure izomorfism. De fapt, există exact două automorfisme ale $\mathbb {R} [x]/(x^{2}+1)$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} [x] / (x ^ {2} +1)}$ $\ mathbb {R} [x] / (x ^ {2} +1)$ , identitatea și automorfismul pe care îl trimite $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ în $-x$ ${\ displaystyle -x}$ $-X$ . Rețineți că acestea nu sunt doar singurele automorfisme din domeniu $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ , dar sunt singurele automorfisme din domeniu $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ care fixează orice număr real. Vedeți intrările complex conjugat și grupul Galois .

O problemă similară apare dacă numerele complexe sunt interpretate ca matrici reale $2\times 2$ ${\ displaystyle 2 \ times 2}$ $2 \ ori 2$ , deoarece ambele tabele următoare

{\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}{\mbox{ e }}{\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}} {\ mbox {e}} {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \ end {pmatrix }}}

{\ begin {pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}} {\ mbox {e}} {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \ end {pmatrix}}

sunt soluții ale ecuației $x^{2}=-1$ ${\ displaystyle x ^ {2} = - 1}$ $x ^ 2 = -1$ . În acest caz, ambiguitatea se datorează alegerii făcute cu privire la „direcția pozitivă” în care este parcursă circumferința unității . O explicație mai precisă este următoarea: grupul de automorfisme ale grupului ortogonal special $\mathrm {SO} (2,\mathbb {R} )$ ${\ displaystyle \ mathrm {SO} (2, \ mathbb {R})}$ ${\ mathrm {SO}} (2, {\ mathbb {R}})$ are exact două elemente: identitate și automorfism care schimbă rotațiile în sensul acelor de ceasornic în rotații în sens invers acelor de ceasornic.

Avertizare

Uneori unitatea imaginară este scrisă ca ${\sqrt {-1}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {-1}}}$ ${\ sqrt {-1}}$ , dar trebuie să fii foarte atent atunci când manipulezi formule care conțin radicali. Această notație este rezervată pentru funcția rădăcină pătrată principală , care este definită numai pentru numerele reale $x\geq 0$ ${\ displaystyle x \ geq 0}$ $x \ geq 0$ , sau la partea principală a funcției complexe de rădăcină pătrată. Aplicarea proprietăților rădăcinilor pătrate principale (reale) la ramura principală a rădăcinilor pătrate complexe produce rezultate incorecte:

{-1}=i\cdot i={\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}={\sqrt {({-1})\cdot ({-1})}}={\sqrt {1}}=1.

{\ displaystyle {-1} = i \ cdot i = {\ sqrt {-1}} \ cdot {\ sqrt {-1}} = {\ sqrt {({-1}) \ cdot ({-1}) }} = {\ sqrt {1}} = 1.}

{-1} = i \ cdot i = {\ sqrt {{-1}}} \ cdot {\ sqrt {{-1}}} = {\ sqrt {({-1}) \ cdot ({-1} )}} = {\ sqrt {1}} = 1.

Într-adevăr regula

{\sqrt {a}}\cdot {\sqrt {b}}={\sqrt {a\cdot b}},

{\ displaystyle {\ sqrt {a}} \ cdot {\ sqrt {b}} = {\ sqrt {a \ cdot b}},}

{\ sqrt {a}} \ cdot {\ sqrt {b}} = {\ sqrt {a \ cdot b}},

este valabil numai pentru valorile de $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ reale și nu negative.

Pentru a evita greșelile în manipularea numerelor complexe, cea mai bună strategie este să nu folosiți niciodată un număr negativ sub un semn rădăcină pătrată care nu este precedat de $\pm$ ${\ displaystyle \ pm}$ $\ pm$ , astfel încât să sugereze că ambele rădăcini sunt luate în considerare.

Puterile de $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$

Puterile $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ se repetă periodic (sunt ciclice cu perioada $4$ ${\ displaystyle 4}$ $4$ ):

i^{-3}=i

{\ displaystyle i ^ {- 3} = i}

i ^ {{- 3}} = i

i^{-2}={-1}

{\ displaystyle i ^ {- 2} = {- 1}}

i ^ {{- 2}} = {- 1}

i^{-1}={-i}

{\ displaystyle i ^ {- 1} = {- i}}

i ^ {{- 1}} = {- i}

i^{0}=1

{\ displaystyle i ^ {0} = 1}

i ^ {0} = 1

i^{1}=i

{\ displaystyle i ^ {1} = i}

i ^ {1} = i

i^{2}={-1}

{\ displaystyle i ^ {2} = {- 1}}

i ^ {2} = {- 1}

i^{3}={-i}

{\ displaystyle i ^ {3} = {- i}}

i ^ {3} = {- i}

i^{4}={1}

{\ displaystyle i ^ {4} = {1}}

i ^ {4} = {1}

i^{5}=i

{\ displaystyle i ^ {5} = i}

i ^ {5} = i

i^{6}={-1}

{\ displaystyle i ^ {6} = {- 1}}

i ^ {6} = {- 1}

Această proprietate poate fi exprimată într-o formă mai compactă ca aceasta, unde $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ este orice număr întreg:

i^{4n}=1

{\ displaystyle i ^ {4n} = 1}

i ^ {{4n}} = 1

i^{4n{+1}}=i

{\ displaystyle i ^ {4n {+1}} = i}

i ^ {{4n {+1}}} = i

i^{4n{+2}}=-1

{\ displaystyle i ^ {4n {+2}} = - 1}

i ^ {{4n {+2}}} = - 1

i^{4n{+3}}=-i

{\ displaystyle i ^ {4n {+3}} = - i}

i ^ {{4n {+3}}} = - i

Rădăcinile unității imaginare

Cele două rădăcini pătrate ale $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ (adică cele două soluții ale ecuației $z^{2}=i$ ${\ displaystyle z ^ {2} = i}$ ${\ displaystyle z ^ {2} = i}$ ) sunt complexe, derivate din expresia: ${\sqrt {i}}=\pm {\frac {1+i}{\sqrt {2}}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {i}} = \ pm {\ frac {1 + i} {\ sqrt {2}}}}$ ${\ sqrt {i}} = \ pm {\ frac {1 + i} {{\ sqrt {2}}}}$ . Acest lucru poate fi verificat după cum urmează:

$\left(\pm {\frac {1+i}{\sqrt {2}}}\right)^{2}\$ ${\ displaystyle \ left (\ pm {\ frac {1 + i} {\ sqrt {2}}} \ right) ^ {2} \}$ $\ left (\ pm {\ frac {1 + i} {{\ sqrt {2}}}} \ right) ^ {2} \$	$=\left(\pm {\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)^{2}(1+i)^{2}\$ ${\ displaystyle = \ left (\ pm {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} \ right) ^ {2} (1 + i) ^ {2} \}$ $= \ left (\ pm {\ frac {1} {{\ sqrt {2}}}} \ right) ^ {2} (1 + i) ^ {2} \$
	$=(\pm 1)^{2}{\frac {1}{2}}(1+i)^{2}\$ ${\ displaystyle = (\ pm 1) ^ {2} {\ frac {1} {2}} (1 + i) ^ {2} \}$ $= (\ pm 1) ^ {2} {\ frac {1} {2}} (1 + i) ^ {2} \$
	$={\frac {1}{2}}(1+2i+i^{2})\$ ${\ displaystyle = {\ frac {1} {2}} (1 + 2i + i ^ {2}) \}$ $= {\ frac {1} {2}} (1 + 2i + i ^ {2}) \$
	$={\frac {1}{2}}+i-{\frac {1}{2}}\$ ${\ displaystyle = {\ frac {1} {2}} + i - {\ frac {1} {2}} \}$ $= {\ frac {1} {2}} + i - {\ frac {1} {2}} \$
	$=i\$ ${\ displaystyle = i \}$ $= i \$

Pentru $-i$ ${\ displaystyle -i}$ $-la$ rădăcina pătrată va fi cea a $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ înmulțit cu unitatea imaginară însăși. Prin urmare:

{\sqrt {-i}}=\pm \ i{\frac {1+i}{\sqrt {2}}}\ =\pm {\frac {i-1}{\sqrt {2}}}.

{\ displaystyle {\ sqrt {-i}} = \ pm \ i {\ frac {1 + i} {\ sqrt {2}}} \ = \ pm {\ frac {i-1} {\ sqrt {2} }}.}

{\ sqrt {-i}} = \ pm \ i {\ frac {1 + i} {{\ sqrt {2}}}} \ = \ pm {\ frac {i-1} {{\ sqrt {2} }}}.

Ca la orice alt număr complex, rădăcinile $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -zecimile unității imaginare sunt ușor calculate prin descrierea acesteia în coordonate polare. Intr-adevar:

i=e^{{\frac {\pi }{2}}i}=e^{({\frac {\pi }{2}}+2\pi k)i}\qquad k=0,1,2,\dots

{\ displaystyle i = e ^ {{\ frac {\ pi} {2}} i} = e ^ {({\ frac {\ pi} {2}} + 2 \ pi k) i} \ qquad k = 0 , 1,2, \ puncte}

i = e ^ {{{\ frac {\ pi} {2}} i}} = e ^ {{({\ frac {\ pi} {2}} + 2 \ pi k) i}} \ qquad k = 0,1,2, \ dots

Impunând acel număr complex generic $z=\rho e^{\theta i}$ ${\ displaystyle z = \ rho e ^ {\ theta i}}$ $z = \ rho e ^ {{\ theta i}}$ fi rădăcină $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -thth din $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ trebuie să ai:

(\rho e^{\theta i})^{n}=e^{({\frac {\pi }{2}}+2\pi k)i},

{\ displaystyle (\ rho e ^ {\ theta i}) ^ {n} = e ^ {({\ frac {\ pi} {2}} + 2 \ pi k) i},}

(\ rho e ^ {{\ theta i}}) ^ {n} = e ^ {{({\ frac {\ pi} {2}} + 2 \ pi k) i}},

\rho e^{\theta i}=e^{({\frac {\pi }{2n}}+{\frac {2\pi k}{n}})i},

{\ displaystyle \ rho e ^ {\ theta i} = e ^ {({\ frac {\ pi} {2n}} + {\ frac {2 \ pi k} {n}}) i},}

\ rho e ^ {{\ theta i}} = e ^ {{({\ frac {\ pi} {2n}} + {\ frac {2 \ pi k} {n}}) i}},

de la care:

\rho =1

{\ displaystyle \ rho = 1}

\ rho = 1

\theta ={\frac {\pi }{2n}}+{\frac {2\pi k}{n}}.

{\ displaystyle \ theta = {\ frac {\ pi} {2n}} + {\ frac {2 \ pi k} {n}}.}

\ theta = {\ frac {\ pi} {2n}} + {\ frac {2 \ pi k} {n}}.

Dispunerea rădăcinilor în planul complex este cea a poligoanelor regulate înscrise în cercul complex de rază $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ : luând în considerare non-unicitatea reprezentării polare a numerelor complexe, pentru rădăcina pătrată vom avea două rădăcini distincte (setând de exemplu $k=0,1$ ${\ displaystyle k = 0,1}$ $k = 0,1$ ), pentru rădăcina cubică vom avea trei ( $k=0,1,2$ ${\ displaystyle k = 0,1,2}$ $k = 0,1,2$ ) si asa mai departe. Revenind la reprezentarea în planul complex prin formula lui Euler obținem:

{\sqrt[{n}]{i}}=\cos {\left({\frac {\pi }{2n}}+{\frac {2\pi k}{n}}\right)}+i\sin {\left({\frac {\pi }{2n}}+{\frac {2\pi k}{n}}\right)}\qquad k=0,1,2,\dots ,n-1.

{\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {i}} = \ cos {\ left ({\ frac {\ pi} {2n}} + {\ frac {2 \ pi k} {n}} \ right) } + i \ sin {\ left ({\ frac {\ pi} {2n}} + {\ frac {2 \ pi k} {n}} \ right)} \ qquad k = 0,1,2, \ dots , n-1.}

{\ sqrt [{n}] {i}} = \ cos {\ left ({\ frac {\ pi} {2n}} + {\ frac {2 \ pi k} {n}} \ right)} + i \ sin {\ left ({\ frac {\ pi} {2n}} + {\ frac {2 \ pi k} {n}} \ right)} \ qquad k = 0,1,2, \ dots, n- 1.

$the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ și formula lui Euler

Luând formula lui Euler $e^{ix}=\cos x+i\sin x$ ${\ displaystyle e ^ {ix} = \ cos x + i \ sin x}$ $și ^ {{ix}} = \ cos x + i \ sin x$ , și înlocuirea ${\frac {\pi }{2}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}}}$ ${\ frac {\ pi} {2}}$ in loc de $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ , primesti

e^{i{\frac {\pi }{2}}}=i.

{\ displaystyle e ^ {i {\ frac {\ pi} {2}}} = i.}

și ^ {{i {\ frac {\ pi} {2}}}} = i.

Dacă ambele părți ale egalității sunt ridicate la putere $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ , amintindu-mi asta $i^{2}=-1$ ${\ displaystyle i ^ {2} = - 1}$ $i ^ 2 = -1$ , se obține identitatea

i^{i}=e^{-{\frac {\pi }{2}}}=0{,}2078795763\dots

{\ displaystyle i ^ {i} = e ^ {- {\ frac {\ pi} {2}}} = 0 {,} 2078795763 \ dots}

{\ displaystyle i ^ {i} = e ^ {- {\ frac {\ pi} {2}}} = 0 {,} 2078795763 \ dots}

Într-adevăr, este ușor de găsit asta $i^{i}$ ${\ displaystyle i ^ {i}}$ $i ^ {i}$ are un număr infinit de soluții sub forma

i^{i}=e^{-{\frac {\pi }{2}}-2\pi n},

{\ displaystyle i ^ {i} = e ^ {- {\ frac {\ pi} {2}} - 2 \ pi n},}

{\ displaystyle i ^ {i} = e ^ {- {\ frac {\ pi} {2}} - 2 \ pi n},}

unde este $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ este orice întreg. Din punctul de vedere al teoriei numerelor, $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ este un număr irațional pătratic, cum ar fi ${\sqrt {2}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$ ${\ sqrt {2}}$ , și aplicând teorema Gelfond-Schneider se poate concluziona că toate valorile obținute mai sus și în special $e^{-{\frac {\pi }{2}}}$ ${\ displaystyle e ^ {- {\ frac {\ pi} {2}}}}$ $și ^ {{- {\ frac {\ pi} {2}}}}$ , sunt transcendente .

Din nou din formula lui Euler sau prin pătrarea ambelor părți ale identității anterioare $e^{i{\frac {\pi }{2}}}=i$ ${\ displaystyle e ^ {i {\ frac {\ pi} {2}}} = i}$ $și ^ {{i {\ frac {\ pi} {2}}}} = i$ , ajungem elegant la identitatea lui Euler :

e^{i\pi }+1=0,

{\ displaystyle e ^ {i \ pi} + 1 = 0,}

și ^ {{i \ pi}} + 1 = 0,

care raportează cinci dintre cele mai semnificative entități matematice, împreună cu principiul egalității și operațiile de adunare, multiplicare și putere, într-o expresie simplă.

Notare alternativă

În ingineria electrică și în domeniile conexe, unitatea imaginară este adesea denumită $j$ ${\ displaystyle j}$ $j$ pentru a evita confuzia cu simbolul curentului electric variabil, indicat în mod tradițional cu $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ . Limbajul de programare Python folosește, de asemenea $j$ ${\ displaystyle j}$ $j$ pentru unitatea imaginară.

O atenție suplimentară trebuie acordată unor manuale care definesc $j=-i$ ${\ displaystyle j = -i}$ $j = -i$ , în special în subiecte legate de propagarea undelor (de exemplu, o undă plană care călătorește spre dreapta în direcția $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ este indicat cu $e^{i(kx-\omega t)}=e^{j(\omega t-kx)}$ ${\ displaystyle e ^ {i (kx- \ omega t)} = e ^ {j (\ omega t-kx)}}$ $e ^ {{i (kx- \ omega t)}} = e ^ {{j (\ omega t-kx)}}$ ).

Unele texte folosesc litera greacă iota pentru unitatea imaginară pentru a evita confuzia.

Bibliografie

Giuseppe Zwirner , L. Scaglianti, Itinerari în matematică vol. 1 , Padova, CEDAM, 1989, ISBN 88-13-16794-6
( EN ) Lars Ahlfors , Complex Analysis , 3rd, McGraw-Hill, 1979, ISBN 978-0-07-000657-7 .
( EN ) E. Freitag, R. Busam, Analiza complexă ; Springer-Verlag (2005).

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică