Unicitate

În matematică și logică , unicitatea unui element în satisfacerea unei anumite proprietăți constă în faptul că orice obiect care satisface această proprietate este egal cu elementul de plecare. Cu alte cuvinte, nu pot exista două elemente diferite care să satisfacă această proprietate. Totuși, demonstrarea unicității unui element nu este o condiție suficientă pentru a deduce a priori existența elementului.

Expresia „există una și numai una” este utilizată pentru a indica faptul că o anumită proprietate există exact o dată. Primul termen „unul” indică existența , în timp ce al doilea este unicitatea acestei proprietăți. Cuantificatorul acestei expresii este $\exists !$ ${\ displaystyle \ există!}$ ${\ displaystyle \ există!}$ („ există și este unic ”).

Demonstrație de unicitate

Cea mai comună tehnică pentru demonstrarea unicității este în primul rând demonstrarea existenței unei entități care îndeplinește condiția în cauză; presupune ulterior existența a două entități ( $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ ) care îndeplinesc această condiție și deduc logic că $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ trebuie să fie egală cu $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ .

De exemplu, să presupunem că există două numere $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ care satisfac ecuația $x+2=5$ ${\ displaystyle x + 2 = 5}$ ${\ displaystyle x + 2 = 5}$ . Prin urmare

a+2=5

{\ displaystyle a + 2 = 5}

{\ displaystyle a + 2 = 5}

Și

b+2=5.

{\ displaystyle b + 2 = 5.}

{\ displaystyle b + 2 = 5.}

Prin proprietatea tranzitivă a egalității

a+2=b+2.

{\ displaystyle a + 2 = b + 2.}

{\ displaystyle a + 2 = b + 2.}

Pentru primul principiu al echivalenței

a=b.

{\ displaystyle a = b.}

{\ displaystyle a = b.}

Reducerea la cuantificatori existențiali și universali

În mod formal, expresia $\exists !xP(x)$ ${\ displaystyle \ există! xP (x)}$ ${\ displaystyle \ există! xP (x)}$ poate fi exprimat (pentru a nu fi necesar să introduceți o nouă notație între simbolurile sintaxei limbajului) folosind doar conectivele standard, cuantificatorii existenței și universalității și relația de egalitate după cum urmează:

\exists x\,(P(x)\,\wedge \neg \exists y\,(P(y)\wedge y\neq x))

{\ displaystyle \ există x \, (P (x) \, \ wedge \ neg \ există y \, (P (y) \ wedge y \ neq x))}

{\ displaystyle \ există x \, (P (x) \, \ wedge \ neg \ există y \, (P (y) \ wedge y \ neq x))}

care echivalează cu expresia

\exists x\,(P(x)\wedge \forall y\,(P(y)\to y=x)).

{\ displaystyle \ există x \, (P (x) \ wedge \ forall y \, (P (y) \ to y = x)).}

{\ displaystyle \ există x \, (P (x) \ wedge \ forall y \, (P (y) \ to y = x)).}

Urmează o altă definiție (echivalentă cu cele anterioare) care are avantajul de a separa noțiunea de existență de cea de unicitate, dar este mai puțin sintetică decât celelalte:

\exists x\,P(x)\wedge \forall y\,\forall z\,((P(y)\wedge P(z))\to y=z).

{\ displaystyle \ există x \, P (x) \ wedge \ forall y \, \ forall z \, ((P (y) \ wedge P (z)) \ to y = z).}

{\ displaystyle \ există x \, P (x) \ wedge \ forall y \, \ forall z \, ((P (y) \ wedge P (z)) \ to y = z).}

Unicitatea poate fi, de asemenea, exprimată mai pe scurt, cu prețul adăugării unui conectiv suplimentar, cel bicondițional (prezent printre cele cinci conectivități standard):

\exists x\,\forall y\,(P(y)\leftrightarrow y=x).

{\ displaystyle \ există x \, \ forall y \, (P (y) \ leftrightarrow y = x).}

{\ displaystyle \ există x \, \ forall y \, (P (y) \ leftrightarrow y = x).}

Bibliografie

(EN) Stephen Kleene, Introducere în metamatematică, Ishi Press International, 1952, p. 199.
( EN ) Peter B. Andrews, O introducere în logica matematică și teoria tipului la adevăr prin dovadă , 2. ed., Dordrecht, Kluwer Acad. Publ., 2002, p. 233, ISBN 1-4020-0763-9 .

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikționarul conține dicționarul lema « unicitate »

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică