Rădăcină pătrată

În matematică , rădăcina pătrată sau rădăcină cu indice 2 al unui număr $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ este un număr $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ astfel încât pătratul său este $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ , sau astfel încât $y^{2}=y\cdot y=x$ ${\ displaystyle y ^ {2} = y \ cdot y = x}$ $y ^ {2} = y \ cdot y = x$ . Fiecare non - negativ real , numărul are o singură rădăcină pătrată non-negativă, numit principalul rădăcină pătrată, care este reprezentat simbolic ${\sqrt {x}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {x}}}$ ${\ sqrt {x}}$ sau, în notație exponențială, ca $x^{\frac {1}{2}}$ ${\ displaystyle x ^ {\ frac {1} {2}}}$ $x ^ {{{\ frac {1} {2}}}}$ . Fiecare număr real mai mare decât zero are două rădăcini pătrate distincte, cea principală și opusul său, adică ${\sqrt {x}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {x}}}$ ${\ sqrt {x}}$ Și $-{\sqrt {x}}$ ${\ displaystyle - {\ sqrt {x}}}$ $- {\ sqrt {x}}$ .

Conceptul de rădăcină pătrată poate fi extins la numere negative în contextul numerelor complexe . Mai general, conceptul de rădăcină pătrată poate fi extins în orice context în care noțiunea de pătrat a unui element este bine definită.

Dezvoltarea noțiunii

Când s-au definit numere reale , putem defini rădăcina pătrată principală a unui număr real non-negativ $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ orice număr real non-negativ $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ astfel încât

$[*]\qquad \qquad x^{2}=z$ ${\ displaystyle [*] \ qquad \ qquad x ^ {2} = z}$ $[*] \ qquad \ qquad x ^ {2} = z$ .

Acest număr $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ , a căror existență și unicitate sunt demonstrate, este indicată prin scris ${\sqrt {z}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {z}}}$ ${\ sqrt z}$ . Se observă, de asemenea, că și opusul este adevărat $-x$ ${\ displaystyle -x}$ $-X$ satisface ecuația pătratică anterioară [*]; în plus, ambele soluții ale acestei ecuații sunt remarcabile, deoarece dau cele două zerouri ale parabolei ecuației $y=x^{2}-z$ ${\ displaystyle y = x ^ {2} -z}$ $y = x ^ {2} -z$ . Prin urmare, este adecvat să se definească rădăcina pătrată a unui număr real pozitiv $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ acel număr real pozitiv $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ care satisface [*]. Zero real are două rădăcini pătrate coincidente; aceasta îl plasează la același nivel cu numerele reale pozitive, deși zero poate fi considerat singura limită a celor două rădăcini pătrate $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Și $-x$ ${\ displaystyle -x}$ $-X$ a numărului $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ a tinde spre 0 din acest real. Prin urmare, dorind să simplificăm, putem spune că zero-ul real are doar el însuși ca rădăcină pătrată.

Restricționând căutarea rădăcinii pătrate la domeniul întregilor pozitivi , constatăm că doar unele numere, numite pătrate perfecte , admit un număr întreg ca rădăcină pătrată principală. Sunt pătrate perfecte, de exemplu, $4$ ${\ displaystyle 4}$ $4$ care are ca rădăcină numărul $2$ ${\ displaystyle 2}$ $2$ , Și $25$ ${\ displaystyle 25}$ $25$ care are ca rădăcină $5$ ${\ displaystyle 5}$ $5$ ; invers multe alte numere întregi pozitive, începând cu $2$ ${\ displaystyle 2}$ $2$ Și $3$ ${\ displaystyle 3}$ $3$ , nu admit o rădăcină întreagă.

Dacă lărgim domeniul de căutare pentru a include numere raționale pozitive, vom constata că numai numerele raționale care sunt pătrate perfecte, adică care sunt date de fracții cu numărător și numitor ambele pătrate perfecte, admit un număr rațional pozitiv ca rădăcină principală: 4/9 admite 2/3 rădăcină, dar 1/2 sau 25/39 nu admit rădăcini raționale.

Prin urmare, s-a constatat că setul de numere raționale prezintă o limitare operațională și s-a simțit nevoia extinderii câmpului raționalelor la un câmp numeric în care se poate găsi o rădăcină pătrată pentru fiecare număr pozitiv.

Acest lucru a condus la introducerea numerelor reale : dacă lărgim domeniul la aceste numere, fiecare număr real pozitiv (care în acest context se numește rădăcină ) are o rădăcină pătrată de același fel. Este posibil să se demonstreze că un număr care este rădăcina pătrată a unui număr care nu este un pătrat perfect sau o fracție al cărui numărător și numitor sunt ambele pătrate perfecte este un număr irațional , adică un număr care nu poate fi exprimat ca o fracție dar poate fi reprezentat cu o scriere zecimală infinită non-periodică. De exemplu, rădăcina pătrată a $2$ ${\ displaystyle 2}$ $2$ ; în plus, mulțimea tuturor numerelor întregi perfecte pozitive care nu sunt pătrate este un subgrup numeros de numere reale, precum și cel al raționalelor, în timp ce mulțimea iraționalelor este de nenumărat .

Se observă apoi că niciun număr real negativ nu are o rădăcină pătrată reală și acest lucru a contribuit (vezi și Rafael Bombelli ) la introducerea numerelor complexe . Când extindem căutarea rădăcinilor pătrate la aceste entități, descoperim că fiecare număr complex admite două rădăcini pătrate complexe, una fiind numărul opus celeilalte. Rădăcinile pătrate ale $-1$ ${\ displaystyle -1}$ $-1$ indicat cu $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ , numită unitate imaginară și cu $-i$ ${\ displaystyle -i}$ $-la$ . În general, se constată că numărul exprimat în formă polară ca

z=|z|e^{i\theta },

{\ displaystyle z = | z | e ^ {i \ theta},}

z = | z | e ^ {{i \ theta}},

are două rădăcini complexe date de

x=\pm {\sqrt {|z|}}e^{i{\frac {\theta }{2}}}.

{\ displaystyle x = \ pm {\ sqrt {| z |}} și ^ {i {\ frac {\ theta} {2}}}.}

x = \ pm {\ sqrt {| z |}} și ^ {{i {\ frac {\ theta} 2}}}.

Pentru a exprima aceste numere complexe poate fi convenabil să extindeți noțiunea de rădăcină pătrată principală și notația sa la argumente complexe

{\sqrt {z}}:={\sqrt {|z|}}e^{i{\frac {\theta }{2}}},

{\ displaystyle {\ sqrt {z}}: = {\ sqrt {| z |}} e ^ {i {\ frac {\ theta} {2}}},}

{\ sqrt z}: = {\ sqrt {| z |}} e ^ {{i {\ frac {\ theta} 2}}},

deci putem spune în continuare că rădăcinile numărului complex $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ Sunt ${\sqrt {z}}{\mbox{ e }}-{\sqrt {z}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {z}} {\ mbox {e}} - {\ sqrt {z}}}$ ${\ sqrt z} {\ mbox {e}} - {\ sqrt z}$ .

Rădăcinile numărului complex coincid cu același și multiplicitatea este atribuită acestei rădăcini $2$ ${\ displaystyle 2}$ $2$ .

Proprietate

Principala rădăcină pătrată funcția este foarte utilă, deoarece se potrivește cu setul de numere reale non-negative , $\mathbb {R} _{0}^{+}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} _ {0} ^ {+}}$ $\ mathbb {R} _ {0} ^ {+}$ cu sine; se identifică prin scris ${\sqrt {x}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {x}}}$ ${\ sqrt {x}}$ sau, de asemenea $x^{1/2}$ ${\ displaystyle x ^ {1/2}}$ $x ^ {{1/2}}$ . Mai exact această funcție finală înăuntru $\mathbb {R} _{0}^{+}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} _ {0} ^ {+}}$ $\ mathbb {R} _ {0} ^ {+}$ este o bijecție crescândă și continuă .

Ecuația $x={\sqrt {x}}$ ${\ displaystyle x = {\ sqrt {x}}}$ $x = {\ sqrt {x}}$ are doar două soluții și $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ . Cu alte cuvinte, funcția principală de rădăcină pătrată este o permutare (adică o funcție finală bijectivă) a $\mathbb {R} _{0}^{+}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} _ {0} ^ {+}}$ ${\ mathbb {R}} _ {0} ^ {+}$ având $\{0,1\}$ ${\ displaystyle \ {0,1 \}}$ $\ {0,1 \}$ ca un set de puncte fixe .

Pentru oricare două numere reale pozitive $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Și $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ identitățile se găsesc imediat

{\sqrt {xy}}={\sqrt {x}}{\sqrt {y}}\qquad {\sqrt {\frac {x}{y}}}={\frac {\sqrt {x}}{\sqrt {y}}}.

{\ displaystyle {\ sqrt {xy}} = {\ sqrt {x}} {\ sqrt {y}} \ qquad {\ sqrt {\ frac {x} {y}}} = {\ frac {\ sqrt {x }} {\ sqrt {y}}}.}

{\ sqrt {xy}} = {\ sqrt x} {\ sqrt y} \ qquad {\ sqrt {{\ frac {x} {y}}}} = {\ frac {{\ sqrt {x}}} { {\ sqrt {y}}}}.

Aceste egalități sunt în ton cu faptul că funcția rădăcină pătrată face ca aria unui pătrat să corespundă lungimii laturii sale. De asemenea, pentru $y=100$ ${\ displaystyle y = 100}$ $y = 100$ ei devin

{\sqrt {\left(100y\right)}}\,=\,10\cdot {\sqrt {y}}\quad {\mbox{e}}\quad {\sqrt {\frac {x}{100}}}={\frac {\sqrt {x}}{10}}

{\ displaystyle {\ sqrt {\ left (100y \ right)}} \, = \, 10 \ cdot {\ sqrt {y}} \ quad {\ mbox {e}} \ quad {\ sqrt {\ frac {x } {100}}} = {\ frac {\ sqrt {x}} {10}}}

{\ sqrt {\ left (100y \ right)}} \, = \, 10 \ cdot {\ sqrt y} \ quad {\ mbox {e}} \ quad {\ sqrt {{\ frac {x} {100} }}} = {\ frac {{\ sqrt {x}}} {10}}

.

Aceste egalități implică faptul că, pentru a tabela în notație zecimală valorile asumate de funcția rădăcină pătrată principală, este suficient să îi cunoaștem valorile în interval $[0,100)$ ${\ displaystyle [0,100)}$ $[0,100)$ .

Pentru orice număr real $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ găsești asta

{\sqrt {x^{2}}}=\left|x\right|.

{\ displaystyle {\ sqrt {x ^ {2}}} = \ left | x \ right |.}

{\ sqrt {x ^ {2}}} = \ left | x \ right |.

Asuma ca $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Și $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ sunt reale și asta $x^{2}=a$ ${\ displaystyle x ^ {2} = a}$ $x ^ {2} = a$ , și că doriți să obțineți $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ . O greșeală obișnuită este să luați rădăcina pătrată și să deduceți asta $x={\sqrt {a}}$ ${\ displaystyle x = {\ sqrt {a}}}$ $x = {\ sqrt a}$ . Acest lucru nu este legal, ca principală rădăcină pătrată a $x^{2}$ ${\ displaystyle x ^ {2}}$ $x ^ {2}$ nu este $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ , dar valoarea absolută $\left|x\right|$ ${\ displaystyle \ left | x \ right |}$ $\ left | x \ right |$ , așa cum spune egalitatea anterioară. Făcând această greșeală s-ar putea concluziona că $\left|x\right|={\sqrt {a}}$ ${\ displaystyle \ left | x \ right | = {\ sqrt {a}}}$ $\ left | x \ right | = {\ sqrt a}$ , sau echivalent $x=\pm {\sqrt {a}}$ ${\ displaystyle x = \ pm {\ sqrt {a}}}$ $x = \ pm {\ sqrt a}$ .

Următoarea egalitate este utilă în multe etape de calcul , de exemplu pentru a demonstra că funcția rădăcină pătrată este continuă și diferențiată sau pentru a calcula anumite limite :

{\sqrt {x}}-{\sqrt {y}}={\frac {x-y}{{\sqrt {x}}+{\sqrt {y}}}},

{\ displaystyle {\ sqrt {x}} - {\ sqrt {y}} = {\ frac {xy} {{\ sqrt {x}} + {\ sqrt {y}}}},}

{\ sqrt x} - {\ sqrt y} = {\ frac {x-y} {{\ sqrt x} + {\ sqrt y}}},

valabil pentru toate perechile de numere întregi care nu sunt negative $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Și $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ care nu sunt amândouă zero.

Functia $f(x)={\sqrt {x}}$ ${\ displaystyle f (x) = {\ sqrt {x}}}$ $f (x) = {\ sqrt x}$ are următorul grafic, care poate fi obținut dintr-o jumătate a unei parabole având axa lui $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ .

Această funcție continuă pentru toți $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ nu negativ, este diferențiat pentru toți $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ pozitiv, dar nu este diferențiat de $x=0$ ${\ displaystyle x = 0}$ $x = 0$ , deoarece panta tangentei la punctul corespunzător tinde să $+\infty$ ${\ displaystyle + \ infty}$ $+ \ infty$ ).

Derivata funcției este dată de

f'(x)={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}.

{\ displaystyle f '(x) = {\ frac {1} {2 {\ sqrt {x}}}}.}

f '(x) = {\ frac {1} {2 {\ sqrt x}}}.

Seria lui Taylor ${\sqrt {x+1}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {x + 1}}}$ ${\ sqrt {x + 1}}$ într-un cartier al $x=0$ ${\ displaystyle x = 0}$ $x = 0$ poate fi obținut folosind teorema binomială :

{\sqrt {x+1}}=1+\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n+1}(2n-2)! \over n!(n-1)!2^{2n-1}}x^{n}=1+{\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}+{\frac {1}{16}}x^{3}-{\frac {5}{128}}x^{4}+\dots

{\ displaystyle {\ sqrt {x + 1}} = 1+ \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {(- 1) ^ {n + 1} (2n-2)! \ over n! (n-1)! 2 ^ {2n-1}} x ^ {n} = 1 + {\ frac {1} {2}} x - {\ frac {1} {8}} x ^ {2} + {\ frac {1} {16}} x ^ {3} - {\ frac {5} {128}} x ^ {4} + \ dots}

{\ sqrt {x + 1}} = 1+ \ sum _ {{n = 1}} ^ {\ infty} {(- 1) ^ {{n + 1}} (2n-2)! \ over n! (n-1)! 2 ^ {{2n-1}}} x ^ {n} = 1 + {\ frac {1} {2}} x - {\ frac {1} {8}} x ^ {2} + {\ frac {1} {16}} x ^ {3} - {\ frac {5} {128}} x ^ {4} + \ dots

pentru $|x|<1$ ${\ displaystyle | x | <1}$ $| x | <1$ .

Generalizări

Problema extracției rădăcinii pătrate poate apărea și într-un inel generic și în alte structuri algebrice în care este definit un produs.

În special, este definită rădăcina pătrată a unei matrice pătrate $Z$ ${\ displaystyle Z}$ $Z$ pe un câmp fiecare matrice $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ cu același domeniu astfel încât este $X\cdot X=Z$ ${\ displaystyle X \ cdot X = Z}$ $X \ cdot X = Z$ . În cazul matricilor $2\times 2$ ${\ displaystyle 2 \ times 2}$ $2 \ ori 2$ căutarea matricei rădăcinii pătrate duce la soluția unui sistem de patru ecuații de gradul doi în patru necunoscute. De fapt, ecuația din necunoscute $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ , $w$ ${\ displaystyle w}$ $w$ , $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Și $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$

{\begin{pmatrix}v&w\\x&y\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}v&w\\x&y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} v & w \\ x & y \ end {pmatrix}} \ times {\ begin {pmatrix} v & w \\ x & y \ end {pmatrix}} = {\ begin { pmatrix} a & b \\ c & d \ end {pmatrix}}}

{\ begin {pmatrix} v & w \\ x & y \ end {pmatrix}} \ times {\ begin {pmatrix} v & w \\ x & y \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} a & b \\ c & d \ end {pmatrix}}

este echivalent cu sistemul

\left\{{\begin{matrix}v^{2}+wx&=&a\\vw+wy&=&b\\xv+xy&=&c\\wx+y^{2}&=&d\end{matrix}}\right.

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} v ^ {2} + wx & = & a \\ vw + wy & = & b \\ xv + xy & = & c \\ wx + y ^ {2 } & = & d \ end {matrix}} \ right.}

\ left \ {{\ begin {matrix} v ^ {2} + wx & = & a \\ vw + wy & = & b \\ xv + xy & = & c \\ wx + y ^ {2} & = & d \ end {matrix}} \ right.

În special o matrice diagonală $2\times 2$ ${\ displaystyle 2 \ times 2}$ $2 \ ori 2$ la valori reale

{\begin{pmatrix}a&0\\0&d\end{pmatrix}}

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} a & 0 \\ 0 & d \ end {pmatrix}}}

{\ begin {pmatrix} a & 0 \\ 0 & d \ end {pmatrix}}

cu $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ pozitiv are cele patru rădăcini pătrate date de expresie

{\begin{pmatrix}\pm {\sqrt {a}}&0\\0&\pm {\sqrt {d}}\end{pmatrix}}.

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} \ pm {\ sqrt {a}} & 0 \\ 0 & \ pm {\ sqrt {d}} \ end {pmatrix}}.}

{\ begin {pmatrix} \ pm {\ sqrt a} & 0 \\ 0 & \ pm {\ sqrt d} \ end {pmatrix}}.

De asemenea, putem defini rădăcina pătrată a unui limbaj formal , în raport cu produsul juxtapunerii , produsul necomutativ și asociativ. De exemplu, dacă $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ este un personaj, limba $\{a^{2n}\}$ ${\ displaystyle \ {a ^ {2n} \}}$ $\ {a ^ {{2n}} \}$ are limbajul ca singură rădăcină pătrată $\{a^{n}\}$ ${\ displaystyle \ {a ^ {n} \}}$ $\ {a ^ {n} \}$ și limbaj $\{a^{2},a^{4},\dots ,a^{2n},\dots \}$ ${\ displaystyle \ {a ^ {2}, a ^ {4}, \ dots, a ^ {2n}, \ dots \}}$ $\ {a ^ {2}, a ^ {4}, \ dots, a ^ {{2n}}, \ dots \}$ are limbajul ca singură rădăcină pătrată $\{a,a^{3},\dots ,a^{2n-1},\dots \}$ ${\ displaystyle \ {a, a ^ {3}, \ dots, a ^ {2n-1}, \ dots \}}$ $\ {a, a ^ {3}, \ dots, a ^ {{2n-1}}, \ dots \}$ ; fiecare limbaj finit cu mai multe șiruri nu are nicio rădăcină pătrată.

Rădăcina pătrată a numerelor întregi de la 0 la 20

${\sqrt {0}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {0}}}$ ${\ sqrt {0}}$	$=$ ${\ displaystyle =}$ $=$	0
${\sqrt {1}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {1}}}$ ${\ sqrt {1}}$	$=$ ${\ displaystyle =}$ $=$	1
${\sqrt {2}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$ ${\ sqrt {2}}$	$\simeq$ ${\ displaystyle \ simeq}$ $\ simeq$	1.4142135623 7309504880 1688724209 6980785696 7187537694 8073176679 7379907324 78462
${\sqrt {3}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {3}}}$ ${\ sqrt {3}}$	$\simeq$ ${\ displaystyle \ simeq}$ $\ simeq$	1.7320508075 6887729352 7446341505 8723669428 0525381038 0628055806 9794519330 16909
${\sqrt {4}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {4}}}$ ${\ sqrt {4}}$	$=$ ${\ displaystyle =}$ $=$	2
${\sqrt {5}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {5}}}$ ${\ sqrt {5}}$	$\simeq$ ${\ displaystyle \ simeq}$ $\ simeq$	2.2360679774 9978969640 9173668731 2762354406 1835961152 5724270897 2454105209 25638
${\sqrt {6}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {6}}}$ ${\ sqrt {6}}$	$\simeq$ ${\ displaystyle \ simeq}$ $\ simeq$	2,4494897427 8317809819 7284074705 8913919659 4748065667 0128432692 5672509603 77457
${\sqrt {7}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {7}}}$ ${\ sqrt {7}}$	$\simeq$ ${\ displaystyle \ simeq}$ $\ simeq$	2.6457513110 6459059050 1615753639 2604257102 5918308245 0180368334 4592010688 23230
${\sqrt {8}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {8}}}$ ${\ sqrt {8}}$	$\simeq$ ${\ displaystyle \ simeq}$ $\ simeq$	2.8284271247 4619009760 3377448419 3961571393 4375075389 6146353359 4759814649 56924
${\sqrt {9}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {9}}}$ ${\ sqrt {9}}$	$=$ ${\ displaystyle =}$ $=$	3
${\sqrt {10}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {10}}}$ ${\ sqrt {10}}$	$\simeq$ ${\ displaystyle \ simeq}$ $\ simeq$	3.1622776601 6837933199 8893544432 7185337195 5513932521 6826857504 8527925944 38639
${\sqrt {11}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {11}}}$ ${\ sqrt {11}}$	$\simeq$ ${\ displaystyle \ simeq}$ $\ simeq$	3.3166247903 5539984911 4932736670 6866839270 8854558935 3597058682 1461164846 42609
${\sqrt {12}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {12}}}$ ${\ sqrt {12}}$	$\simeq$ ${\ displaystyle \ simeq}$ $\ simeq$	3.4641016151 3775458705 4892683011 7447338856 1050762076 1256111613 9589038660 33818
${\sqrt {13}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {13}}}$ ${\ sqrt {13}}$	$\simeq$ ${\ displaystyle \ simeq}$ $\ simeq$	3.6055512754 6398929311 9221267470 4959462512 9657384524 6212710453 0562271669 48293
${\sqrt {14}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {14}}}$ ${\ sqrt {14}}$	$\simeq$ ${\ displaystyle \ simeq}$ $\ simeq$	3.7416573867 7394138558 3748732316 5493017560 1980777872 6946303745 4673200351 56307
${\sqrt {15}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {15}}}$ ${\ sqrt {15}}$	$\simeq$ ${\ displaystyle \ simeq}$ $\ simeq$	3.8729833462 0741688517 9265399782 3996108329 2170529159 0826587573 7661134830 91937
${\sqrt {16}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {16}}}$ ${\ sqrt {16}}$	$=$ ${\ displaystyle =}$ $=$	4
${\sqrt {17}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {17}}}$ ${\ sqrt {17}}$	$\simeq$ ${\ displaystyle \ simeq}$ $\ simeq$	4.1231056256 1766054982 1409855974 0770251471 9922537362 0434398633 5730949543 46338
${\sqrt {18}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {18}}}$ ${\ sqrt {18}}$	$\simeq$ ${\ displaystyle \ simeq}$ $\ simeq$	4.2426406871 1928514640 5066172629 0942357090 1562613084 4219530039 2139721974 35386
${\sqrt {19}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {19}}}$ ${\ sqrt {19}}$	$\simeq$ ${\ displaystyle \ simeq}$ $\ simeq$	4.3588989435 4067355223 6981983859 6156591370 0392523244 4936890344 1381595573 28203
${\sqrt {20}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {20}}}$ ${\ sqrt {20}}$	$\simeq$ ${\ displaystyle \ simeq}$ $\ simeq$	4.4721359549 9957939281 8347337462 5524708812 3671922305 1448541794 4908210418 51276