Coeficient unghiular

Coeficientul unghiular m este egal cu tangenta goniometrică a unghiului format de linia dreaptă cu axa abscisei x

În geometria analitică , coeficientul unghiular (în limba engleză pantă, pantă) a unei drepte non-verticale în plan cartezian este coeficientul $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ care apare în ecuația sa, scrisă sub forma:

y=mx+q\;

{\ displaystyle y = mx + q \;}

{\ displaystyle y = mx + q \;}

.

Plecând de la coeficienții ecuației generale

ax+by+c=0

{\ displaystyle ax + by + c = 0}

ax + cu + c = 0

,

cu $b\neq 0$ ${\ displaystyle b \ neq 0}$ ${\ displaystyle b \ neq 0}$ (linie dreaptă non-verticală), coeficientul unghiular este exprimat prin raport

m=-{\frac {a}{b}}

{\ displaystyle m = - {\ frac {a} {b}}}

{\ displaystyle m = - {\ frac {a} {b}}}

.

Două linii drepte (nu verticale) sunt paralele exact atunci când au același coeficient unghiular; în special, coeficientul unghiular al liniei drepte care trece prin origine,

y=mx

{\ displaystyle y = mx}

{\ displaystyle y = mx}

este tangenta unghiurilor formate de linia dreaptă cu axa abscisei: linia dreaptă trece prin punctul de coordonate $(x_{1},y_{1})=(\cos(\alpha ),\sin(\alpha ))$ ${\ displaystyle (x_ {1}, y_ {1}) = (\ cos (\ alpha), \ sin (\ alpha))}$ ${\ displaystyle (x_ {1}, y_ {1}) = (\ cos (\ alpha), \ sin (\ alpha))}$ , asa de

m={\frac {y_{1}}{x_{1}}}={\frac {\sin(\alpha )}{\cos(\alpha )}}=\tan(\alpha )

{\ displaystyle m = {\ frac {y_ {1}} {x_ {1}}} = {\ frac {\ sin (\ alpha)} {\ cos (\ alpha)}} = \ tan (\ alpha)}

{\ displaystyle m = {\ frac {y_ {1}} {x_ {1}}} = {\ frac {\ sin (\ alpha)} {\ cos (\ alpha)}} = \ tan (\ alpha)}

.

Coeficientul unghiular al unei linii drepte (nu vertical) este raportul dintre diferența de ordonate și diferența de abscisă între două puncte distincte ale liniei, $(x_{1},y_{1})$ ${\ displaystyle (x_ {1}, y_ {1})}$ $(x_1, y_1)$ Și $(x_{2},y_{2})$ ${\ displaystyle (x_ {2}, y_ {2})}$ $(x_2, y_2)$ :

{\begin{cases}y_{1}=mx_{1}+q\\y_{2}=mx_{2}+q\end{cases}}\Rightarrow q=y_{1}-mx_{1}=y_{2}-mx_{2}\Rightarrow m(x_{1}-x_{2})=(y_{1}-y_{2})\Rightarrow m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {\Delta y}{\Delta x}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} y_ {1} = mx_ {1} + q \\ y_ {2} = mx_ {2} + q \ end {cases}} \ Rightarrow q = y_ {1} -mx_ { 1} = y_ {2} -mx_ {2} \ Rightarrow m (x_ {1} -x_ {2}) = (y_ {1} -y_ {2}) \ Rightarrow m = {\ frac {y_ {2} -y_ {1}} {x_ {2} -x_ {1}}} = {\ frac {\ Delta y} {\ Delta x}}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} y_ {1} = mx_ {1} + q \\ y_ {2} = mx_ {2} + q \ end {cases}} \ Rightarrow q = y_ {1} -mx_ { 1} = y_ {2} -mx_ {2} \ Rightarrow m (x_ {1} -x_ {2}) = (y_ {1} -y_ {2}) \ Rightarrow m = {\ frac {y_ {2} -y_ {1}} {x_ {2} -x_ {1}}} = {\ frac {\ Delta y} {\ Delta x}}}

Pentru o linie verticală, de ecuație $x=x_{0}$ ${\ displaystyle x = x_ {0}}$ ${\ displaystyle x = x_ {0}}$ , această expresie nu are sens: două puncte distincte pe linie au coordonate diferite $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ dar coordonate egale $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ , prin urmare, pentru a calcula raportul ar trebui să se împartă la zero (dimpotrivă, în geometria proiectivă simbolul $(1:0)$ ${\ displaystyle (1: 0)}$ ${\ displaystyle (1: 0)}$ este bine definit).

Considerând linia ca grafic al unei funcții $f(x)=mx+q$ ${\ displaystyle f (x) = mx + q}$ ${\ displaystyle f (x) = mx + q}$ , coeficientul său unghiular este derivatul funcției: $f'(x)=m$ ${\ displaystyle f '(x) = m}$ ${\ displaystyle f '(x) = m}$ (linia tangentă este linia în sine).

Deoarece două linii în formă generală, $ax+by+c=0$ ${\ displaystyle ax + by + c = 0}$ $ax + cu + c = 0$ Și $a'x+b'y+c'=0$ ${\ displaystyle a'x + b'y + c '= 0}$ ${\ displaystyle a'x + b'y + c '= 0}$ , sunt perpendiculare exact când $aa'+bb'=0$ ${\ displaystyle aa '+ bb' = 0}$ ${\ displaystyle aa '+ bb' = 0}$ , rezultă că două linii drepte (nu verticale) $y=mx+q$ ${\ displaystyle y = mx + q}$ ${\ displaystyle y = mx + q}$ Și $y=m'x+q'$ ${\ displaystyle y = m'x + q '}$ ${\ displaystyle y = m'x + q '}$ sunt perpendiculare exact atunci când produsul coeficienților lor unghiulari este

mm'=-1

{\ displaystyle mm '= - 1}

{\ displaystyle mm '= - 1}

.

Această condiție poate fi rescrisă ca $m'=-{\frac {1}{m}}$ ${\ displaystyle m '= - {\ frac {1} {m}}}$ ${\ displaystyle m '= - {\ frac {1} {m}}}$ , și exprimat spunând că $m^{'}$ ${\ displaystyle m '}$ $eu$ este antireciproco (opus reciproc) al lui $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ .