Impartirea cu zero

Functia

{\textstyle {\frac {1}{x}}}

{\ textstyle {\ frac {1} {x}}}

{\ textstyle \ frac {1} {x}}

are o asimptotă pentru x = 0 .

În matematică , o diviziune cu zero este o diviziune a formei ${\textstyle {\frac {a}{0}}}$ ${\ textstyle {\ frac {a} {0}}}$ ${\ textstyle \ frac {a} {0}}$ . Rezultatul nu există (adică expresia nu are sens) în aritmetică și algebră .

Concepția greșită că valoarea ${\textstyle {\frac {a}{0}}}$ ${\ textstyle {\ frac {a} {0}}}$ ${\ textstyle \ frac {a} {0}}$ va fi $\infty$ ${\ displaystyle \ infty}$ $\ infty$ ( infinit ). Această afirmație se referă, nu destul de corect, la o interpretare a divizării în termenii teoriei limitelor analizei matematice .

O primă referință înregistrată la imposibilitatea de a atribui un rezultat diviziunii cu zero se găsește în critica calculului infinitesimal conținută în Analistul lui George Berkeley. ^[1]

Cu toate acestea, există structuri matematice particulare în cadrul cărora împărțirea la zero ar putea fi definită în mod consecvent (de exemplu, sfera Riemann ).

În informatică , și în special în implementarea electronică a aritmeticii în ALU-urile procesorului , o divizare la zero determină o excepție hardware (sau capcană ) și, în consecință (în general) încetarea programului care a încercat operațiunea. În limbile interpretate ca Python , o încercare de a efectua o împărțire la zero este, în general, interceptată de interpret, care semnalează anomalia (de exemplu printr-o excepție ) fără a încerca să efectueze operația. Pe JavaScript, pe de altă parte, rezultatul este Infinity.

Originea problemei

Brahmagupta lui brahmasphutasiddhanta este cel mai vechi text cunoscut faptul că tratează zero , ca un număr real și încearcă să definească operațiunile pe care le afectează. Autorul dă totuși împărțirii cu zero un sens pe care l-am considera incorect; potrivit lui Brahmagupta, de fapt:

"Un număr pozitiv sau negativ împărțit la zero este o fracție având zero la numitor. Zero împărțit la un număr negativ sau pozitiv este echivalent atât cu zero, cât și cu o fracție având zero în numărător și o cantitate finită în numitor. Zero împărțit la zero este zero. " ^[2]

În 830 , Mahavira a încercat fără succes să corecteze eroarea lui Brahmagupta în cartea sa Ganita Sara Samgraha :

"Un număr nu este modificat atunci când este împărțit la zero."

Bhaskara II a încercat să rezolve problema definind ${\begin{matrix}{\frac {n}{0}}=\infty \end{matrix}}$ ${\ displaystyle {\ begin {matrix} {\ frac {n} {0}} = \ infty \ end {matrix}}}$ $\ begin {matrix} \ frac {n} {0} = \ infty \ end {matrix}$ . Această definiție nu este lipsită de sens, dar poate duce la paradoxuri dacă nu este tratată cu atenție. Este dificil pentru Bhaskara II să înțeleagă toate problemele implicate, astfel încât soluția sa nu este considerată corectă. ^[3]

Interpretarea algebrică

În general, este convenit în rândul matematicienilor că un mod natural de a interpreta împărțirea la zero este de a defini mai întâi împărțirea în termeni de alte operații aritmetice. Conform regulilor normale pentru aritmetica numerelor întregi , numere raționale , numere reale și numere complexe , valoarea unei diviziuni cu zero este nedefinită , la fel ca în orice domeniu . Motivul este că diviziunea este definită ca fiind inversul înmulțirii . Aceasta înseamnă că valoarea ${\textstyle {a \over b}}$ ${\ textstyle {a \ over b}}$ ${\ textstyle {a \ over b}}$ este soluția $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ ecuaţie

b\,x=a

{\ displaystyle b \, x = a}

b \, x = a

dacă o astfel de valoare există și este unică. Altfel expresia ${\textstyle {a \over b}}$ ${\ textstyle {a \ over b}}$ ${\ textstyle {a \ over b}}$ este nedefinit. Pentru ${\textstyle b=0}$ ${\ textstyle b = 0}$ ${\ textstyle b = 0}$ , ecuația ${\textstyle b\,x=a}$ ${\ textstyle b \, x = a}$ ${\ textstyle b \, x = a}$ poate fi rescris ca ${\textstyle 0\,x=a}$ ${\ textstyle 0 \, x = a}$ ${\ textstyle 0 \, x = a}$ sau pur și simplu ${\textstyle 0=a}$ ${\ textstyle 0 = a}$ ${\ textstyle 0 = a}$ . Deci, în acest caz, ecuația ${\textstyle b\,x=a}$ ${\ textstyle b \, x = a}$ ${\ textstyle b \, x = a}$ nu are nici o soluție $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ este diferit de și are ifs infinit ${\textstyle a}$ ${\ textstyle a}$ ${\ textstyle a}$ Este egal cu. În ambele cazuri, ${\textstyle {a \over b}}$ ${\ textstyle {a \ over b}}$ ${\ textstyle {a \ over b}}$ este nedefinit. În schimb, în seturile numerice menționate mai sus, expresia ${\textstyle {a \over b}}$ ${\ textstyle {a \ over b}}$ ${\ textstyle {a \ over b}}$ este întotdeauna definit dacă ${\textstyle b}$ ${\ textstyle b}$ ${\ textstyle b}$ nu este egal cu zero.

Dovezi eronate bazate pe împărțirea la zero

Este posibil să ascundem diviziunea la zero într-o dovadă algebrică , ducând la un sofism algebric similar cu 2 = 1 după cum urmează:

Pentru orice număr real $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ :

x^{2}-x^{2}=x^{2}-x^{2}.

{\ displaystyle x ^ {2} -x ^ {2} = x ^ {2} -x ^ {2}.}

x ^ 2 - x ^ 2 = x ^ 2 - x ^ 2.

Prin descompunerea diferită a ambilor membri:

(x-x)(x+x)=x(x-x).

{\ displaystyle (xx) (x + x) = x (xx).}

(x - x) (x + x) = x (x - x).

(Termenul din stânga este obținut ca un caz special al binecunoscutei reguli ( a + b ) ( a - b ) = a ² - b ² ; cel corect prin colectarea x a unui factor comun)

Prin împărțirea ambilor membri la $x-x$ ${\ displaystyle xx}$ ${\ displaystyle x-x}$ :

x+x=x.

{\ displaystyle x + x = x.}

x + x = x.

Deoarece acest lucru este valabil pentru orice valoare reală a $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ putem înlocui $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ cu 1, de exemplu, de aici rezultatul eronat:

2=1.

{\ displaystyle 2 = 1.}

2 = 1.

Eroarea constă în asumarea acestei diviziuni $x-x$ ${\ displaystyle xx}$ ${\ displaystyle x-x}$ , deci pentru zero, este definit. În practică, împărțirea cu un termen în orice dovadă algebrică necesită fie o presupunere explicită că termenul nu este niciodată zero, fie o justificare separată care arată că acest termen nu poate fi niciodată zero.

Algebra abstractă

Astfel de propoziții sunt adevărate în structuri algebrice mai generale, cum ar fi într-un inel sau într-un câmp . Într-un câmp, fiecare element diferit de zero este inversabil sub multiplicare, deci, ca mai sus, diviziunea pune probleme doar atunci când se împarte la zero. Cu toate acestea, în alte inele, chiar împărțirea prin elemente diferite de zero poate pune probleme. Să luăm în considerare, de exemplu, inelul $\mathbb {Z} /6\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} / 6 \ mathbb {Z}}$ $\ Z / 6 \ Z$ a numărului întreg modulo 6. Ce semnificație ar trebui să acordăm expresiei ${\textstyle {2 \over 2}}$ ${\ textstyle {2 \ over 2}}$ ${\ textstyle {2 \ over 2}}$ .

Aceasta ar trebui să fie soluția $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ ecuaţie

2\,x\equiv 2{\pmod {6}}.

{\ displaystyle 2 \, x \ equiv 2 {\ pmod {6}}.}

2 \, x \ equiv 2 \ pmod 6.

Dar ecuația are două soluții distincte, x ≡ 1 (mod 6) și x ≡ 4 (mod 6) pentru care expresia este nedefinită. Problema apare deoarece 2 nu este inversabil în ceea ce privește multiplicarea.

Limite și împărțire la zero

La prima vedere, ar putea părea posibil de definit ${\textstyle {a \over 0}}$ ${\ textstyle {a \ over 0}}$ ${\ textstyle {a \ over 0}}$ având în vedere limita de ${\textstyle {a \over b}}$ ${\ textstyle {a \ over b}}$ ${\ textstyle {a \ over b}}$ cu $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ care tinde spre.

Cu $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ care tinde spre dreapta (pozitiv), pentru fiecare $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ mai mare decât zero (pozitiv), se știe că:

\lim _{b\to 0^{+}}{a \over b}=+\infty

{\ displaystyle \ lim _ {b \ to 0 ^ {+}} {a \ over b} = + \ infty}

\ lim_ {b \ to 0 ^ +} {a \ over b} = + \ infty

în schimb pentru fiecare $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ mai mic decât zero (negativ),

\lim _{b\to 0^{+}}{a \over b}=-\infty .

{\ displaystyle \ lim _ {b \ to 0 ^ {+}} {a \ over b} = - \ infty.}

\ lim_ {b \ to 0 ^ +} {a \ over b} = - \ infty.

În schimb, studiind limita cu $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ care tinde spre stânga (negativ), pentru $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ pozitiv

\lim _{b\to 0^{-}}{a \over b}=-\infty ,

{\ displaystyle \ lim _ {b \ to 0 ^ {-}} {a \ over b} = - \ infty,}

\ lim_ {b \ to 0 ^ -} {a \ over b} = - \ infty,

si pentru $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ negativ

\lim _{b\to 0^{-}}{a \over b}=+\infty .

{\ displaystyle \ lim _ {b \ to 0 ^ {-}} {a \ over b} = + \ infty.}

\ lim_ {b \ to 0 ^ -} {a \ over b} = + \ infty.

Cu toate acestea, folosind ecuația

+\infty ={\frac {1}{0}}={\frac {1}{-0}}=-{\frac {1}{0}}=-\infty ,

{\ displaystyle + \ infty = {\ frac {1} {0}} = {\ frac {1} {- 0}} = - {\ frac {1} {0}} = - \ infty,}

+ \ infty = \ frac {1} {0} = \ frac {1} {- 0} = - \ frac {1} {0} = - \ infty,

se obține rezultatul greșit $+\infty =-\infty$ ${\ displaystyle + \ infty = - \ infty}$ ${\ displaystyle + \ infty = - \ infty}$ (care a luat naștere din a nu lua în considerare diferența dintre limita dreaptă și cea stângă în). Un studiu ar putea fi realizat, de asemenea, considerând un „infinit nesemnat”, dar definiția rezultată nu ar fi utilă în acest context, deoarece nu ar fi compatibilă cu structura numerelor reale de câmp ordonate .

Ecuația

0x=a,

{\ displaystyle 0x = a,}

0x = a,

încă nu are nicio soluție pentru fiecare $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ totul este gata. În plus, nu există o definiție evidentă a ${\textstyle {0 \over 0}}$ ${\ textstyle {0 \ peste 0}}$ ${\ textstyle {0 \ peste 0}}$ care poate fi derivată luând în considerare limita unei diviziuni. Limita

\lim _{(a,b)\to (0,0)}{a \over b}

{\ displaystyle \ lim _ {(a, b) \ to (0,0)} {a \ over b}}

\ lim _ {(a, b) \ to (0,0)} {a \ peste b}

nu exista. Limite în formă

\lim _{x\to 0}{f(x) \over g(x)}

{\ displaystyle \ lim _ {x \ to 0} {f (x) \ over g (x)}}

\ lim_ {x \ to 0} {f (x) \ over g (x)}

în care se află $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ Și $g(x)$ ${\ displaystyle g (x)}$ $g (x)$ tind spre când $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ tinde, poate converge la orice valoare sau nu converge deloc. A se vedea regula lui De L'Hôpital pentru discuții și exemple de limite ale relației.

În analiza matematică

În teoria distribuțiilor funcția poate fi extinsă ${\textstyle {1 \over x}}$ ${\ textstyle {1 \ over x}}$ ${\ textstyle {1 \ over x}}$ la o distribuție spațială întreagă a numerelor reale (folosind valoarea principală Cauchy ). Cu toate acestea, nu are sens să cereți „valoarea” acestei distribuții cu $x=0$ ${\ displaystyle x = 0}$ $x = 0$ ; un răspuns sofisticat se sprijină pe suportul singular al distribuției.

Alte sisteme numerice

Chiar dacă împărțirea la zero este nedeterminată cu numere reale și numere întregi, este posibil să o definim în mod consecvent în alte structuri matematice, de exemplu pe sfera Riemann (vezi și poli în analiza complexă). În numerele hiperreale și numerele suprarealiste , este posibilă împărțirea prin infinitesimale . Dacă un sistem numeric formează un inel comutativ , cum ar fi numere întregi, numere reale și numere complexe, de exemplu, acesta poate fi extins la o roată în care împărțirea cu zero este întotdeauna posibilă, chiar dacă împărțirea are un sens ușor diferit.

Aritmetica computerelor

Încercarea de a împărți la zero pe un calculator grafic .

În standardul IEEE 754 în virgulă mobilă, acceptat de practic toate procesoarele moderne, se specifică faptul că fiecare operație aritmetică în virgulă mobilă , inclusiv divizarea la zero, are un rezultat bine definit. În aritmetica IEEE 754, ${\textstyle {a \over 0}}$ ${\ textstyle {a \ over 0}}$ ${\ textstyle {a \ over 0}}$ este infinit pozitiv când $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ este pozitiv, infinit negativ când $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ este negativ, iar NaN ( nu un număr ) când $a=0$ ${\ displaystyle a = 0}$ $a = 0$ . ^[4] Aceste definiții derivă din proprietățile limitelor relației, așa cum s-a discutat mai sus.

Împărțirea numărului întreg la zero este, în general, tratată diferit, deoarece nu există o reprezentare întreagă pentru rezultat. Majoritatea procesoarelor aruncă o excepție atunci când se încearcă împărțirea întregi la zero. Rezultatul este de obicei terminarea programului, deși în unele cazuri (în special cele care folosesc aritmetică în punct fix în cazul în care hardware-ul dedicat în virgulă mobilă nu este disponibil) se folosește un comportament asemănător IEEE, folosind numere mari pozitive și negative pentru a aproxima infinitele.

Notă

^ Florian Cajori , Absurdities due to division by zero: O notă istorică , în The Mathematics Teacher , pp. 366-368, JSTOR 27951153 .
^ Robert Kaplan, The Nothing That Is: A Natural History of Zero , New York, Oxford University Press, 1999, pp. 68-75, ISBN 0-19-514237-3 .
^ (EN) JJ O'Connor, EF Robertson, A history of Zero , of MacTutor History of Mathematics archive, School of Mathematical and Computational Sciences University of St Andrews, noiembrie 2000. Accesat la 25 iulie 2015.
^ WJ Cody, Analiza propunerilor pentru standardul în virgulă mobilă , în Computer , vol. 14, n. 3, martie 1981, p. 65, DOI : 10.1109 / CM.1981.220379 . Adus la 11 septembrie 2012 .
"Cu grija adecvată pentru a fi siguri că semnele algebrice nu sunt determinate de o eroare de rotunjire, modul afin păstrează relațiile de ordine în timp ce fixează revărsarea. Astfel, de exemplu, reciprocitatea unui număr negativ care este scăzut este încă negativă. " .

Elemente conexe

Sofism algebric

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă cu matematica

[1] Florian Cajori , Absurdities due to division by zero: O notă istorică , în The Mathematics Teacher , pp. 366-368, JSTOR 27951153 .

[Kaplan-2] Robert Kaplan, The Nothing That Is: A Natural History of Zero , New York, Oxford University Press, 1999, pp. 68-75, ISBN 0-19-514237-3 .

[3] (EN) JJ O'Connor, EF Robertson, A history of Zero , of MacTutor History of Mathematics archive, School of Mathematical and Computational Sciences University of St Andrews, noiembrie 2000. Accesat la 25 iulie 2015.

[4] WJ Cody, Analiza propunerilor pentru standardul în virgulă mobilă , în Computer , vol. 14, n. 3, martie 1981, p. 65, DOI : 10.1109 / CM.1981.220379 . Adus la 11 septembrie 2012 .
"Cu grija adecvată pentru a fi siguri că semnele algebrice nu sunt determinate de o eroare de rotunjire, modul afin păstrează relațiile de ordine în timp ce fixează revărsarea. Astfel, de exemplu, reciprocitatea unui număr negativ care este scăzut este încă negativă. " .

[1]

[2]

[3]

[4]