Regula lui de l'Hôpital

În analiza matematică, regula Bernoulli-De l'Hôpital sau, de asemenea, regula De l'Hôpital , este o procedură care permite calcularea diferitelor limite ale coeficienților funcțiilor reale ale unei variabile reale care converg către forme nedeterminate ale formelor ${\frac {0}{0}}$ ${\ displaystyle {\ frac {0} {0}}}$ $\ frac {0} {0}$ Și ${\frac {\infty }{\infty }}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ infty} {\ infty}}}$ $\ frac {\ infty} {\ infty}$ ^[1] cu ajutorul derivatei numărătorului și derivatei numitorului. Regula poate fi extinsă pentru a încerca să calculeze limitele funcțiilor aparținând altor forme nedeterminate.

Regula este numită după Guillaume François Antoine marchiz de l'Hôpital sau De l'Hospital (nume original), un matematician francez din secolul al XVII-lea , care a publicat-o pentru prima dată în cartea sa Analyze des infiniment petits pour intelligence des lignes courbes ( 1696 ). Ulterior s-a dovedit că regula este atribuibilă lui Johann Bernoulli , profesorul și corespondentul său; în consecință este uneori numită regula Bernoulli .

Teorema

Lasa-i sa fie $f,g:[a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ ${\ displaystyle f, g: [a, b] \ rightarrow \ mathbb {R}}$ $f, g: [a, b] \ rightarrow \ mathbb {R}$ două funcții reale continue ale variabilei reale în $[a,b]$ ${\ displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$ și derivabil în $(a,b)$ ${\ displaystyle (a, b)}$ $(a, b)$ cu excepția cel mult în $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ , cu $-\infty \leq a<b\leq +\infty$ ${\ displaystyle - \ infty \ leq a <b \ leq + \ infty}$ $- \ infty \ leq a <b \ leq + \ infty$ ; este $g^{\prime }(x)$ ${\ displaystyle g ^ {\ prime} (x)}$ $g ^ {\ prime} (x)$ diferit de pentru $x\not =x_{0}$ ${\ displaystyle x \ not = x_ {0}}$ ${\ displaystyle x \ not = x_ {0}}$ . De asemenea, să fie

\lim _{x\to x_{0}}{f(x)}=\lim _{x\to x_{0}}g(x)=0

{\ displaystyle \ lim _ {x \ to x_ {0}} {f (x)} = \ lim _ {x \ to x_ {0}} g (x) = 0}

{\ displaystyle \ lim _ {x \ to x_ {0}} {f (x)} = \ lim _ {x \ to x_ {0}} g (x) = 0}

sau

\lim _{x\to x_{0}}{|f(x)|}=\lim _{x\to x_{0}}{|g(x)|}=\infty ,

{\ displaystyle \ lim _ {x \ to x_ {0}} {| f (x) |} = \ lim _ {x \ to x_ {0}} {| g (x) |} = \ infty,}

{\ displaystyle \ lim _ {x \ to x_ {0}} {| f (x) |} = \ lim _ {x \ to x_ {0}} {| g (x) |} = \ infty,}

și există

\lim _{x\to x_{0}}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=L\in \mathbb {\bar {R}}

{\ displaystyle \ lim _ {x \ to x_ {0}} {\ frac {f '(x)} {g' (x)}} = L \ in \ mathbb {\ bar {R}}}

{\ displaystyle \ lim _ {x \ to x_ {0}} {\ frac {f '(x)} {g' (x)}} = L \ in \ mathbb {\ bar {R}}}

.

Atunci

\lim _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)}{g(x)}}=L

{\ displaystyle \ lim _ {x \ to x_ {0}} {\ frac {f (x)} {g (x)}} = L}

{\ displaystyle \ lim _ {x \ to x_ {0}} {\ frac {f (x)} {g (x)}} = L}

.

Prin urmare, dacă căutați o limită a unui coeficient al cărui numărător și numitor converg atât la zero, fie ambii diverg la infinit, poate fi util să încercați să calculați coeficientul derivatelor numărătorului și numitorului. Dacă există o limită $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ din acest nou coeficient, atunci va exista și limita coeficientului inițial și va coincide cu $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ . Dacă, pe de altă parte, noul coeficient aparține la rândul său unei forme nedeterminate, operația poate fi repetată, adică să încercați să calculați limita coeficientului celei de-a doua derivate și așa mai departe.

Cu toate acestea, eventuala inexistență a limitei coeficientului derivatelor nu implică inexistența limitei coeficientului inițial.

Demonstrație

Dovada obișnuită folosește teorema lui Cauchy și este supusă variațiilor în funcție de care $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ Și $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ sunt finite sau infinite, adică $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ Și $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ converg la zero sau la infinit și că limitele luate în considerare sunt dreapta, stânga sau bilaterală. Toate aceste variante urmează cele două versiuni principale prezentate mai jos, cu clarificări adecvate, dar fără a fi nevoie să introducă noi argumente. Mai mult, trebuie amintit că fiecare formă de nedeterminare de tipul „zero pe zero” sau „infinit pe infinit” este atribuibilă celeilalte; de aceea este suficient să demonstrați unul dintre cei doi pentru a-l obține automat și pe celălalt.

Zero pe zero

Consideră-se pe ei înșiși $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ și $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ real și $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ Și $g(x)$ ${\ displaystyle g (x)}$ $g (x)$ funcții convergente la zero pentru $x\to x_{0}$ ${\ displaystyle x \ to x_ {0}}$ ${\ displaystyle x \ to x_ {0}}$ .

Prin urmare, este posibil să se definească faptul că este $f(x_{0})=0$ ${\ displaystyle f (x_ {0}) = 0}$ $f (x_ {0}) = 0$ Și $g(x_{0})=0$ ${\ displaystyle g (x_ {0}) = 0}$ ${\ displaystyle g (x_ {0}) = 0}$ .

Aceasta implică abilitatea de a lua în considerare ambele $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ acea $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ continuați în $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ , fără a modifica limita (de fapt, prin definiție, limita nu depinde de evaluarea din punct $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ ).

De vreme ce există $\lim _{x\to x_{0}}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$ ${\ displaystyle \ lim _ {x \ to x_ {0}} {\ frac {f '(x)} {g' (x)}}}$ ${\ displaystyle \ lim _ {x \ to x_ {0}} {\ frac {f '(x)} {g' (x)}}}$ , există o gamă $(x_{0}-\delta ,x_{0}+\delta )$ ${\ displaystyle (x_ {0} - \ delta, x_ {0} + \ delta)}$ $(x_ {0} - \ delta, x_ {0} + \ delta)$ astfel încât pentru fiecare $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ în interval, cu excepția cel mult $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ la fel, fie $f'(x)$ ${\ displaystyle f '(x)}$ $f '(x)$ acea $g'(x)$ ${\ displaystyle g '(x)}$ $g '(x)$ exista si $g'(x)\neq 0$ ${\ displaystyle g '(x) \ neq 0}$ $g '(x) \ neq 0$ .

De sine $x\in (x_{0},x_{0}+\delta )$ ${\ displaystyle x \ in (x_ {0}, x_ {0} + \ delta)}$ ${\ displaystyle x \ in (x_ {0}, x_ {0} + \ delta)}$ , pot fi aplicate atât teorema lui Rolle , cât și teorema intervalului lui Cauchy $[x_{0},x]$ ${\ displaystyle [x_ {0}, x]}$ ${\ displaystyle [x_ {0}, x]}$ (același lucru este adevărat, cu argumente similare, în interval $(x_{0}-\delta ,x_{0})$ ${\ displaystyle (x_ {0} - \ delta, x_ {0})}$ ${\ displaystyle (x_ {0} - \ delta, x_ {0})}$ ). Teorema lui Rolle implică faptul că pe acest interval este $g(x)\neq 0$ ${\ displaystyle g (x) \ neq 0}$ $g (x) \ neq 0$ (altfel ar exista $y\in (x_{0},x)$ ${\ displaystyle y \ in (x_ {0}, x)}$ ${\ displaystyle y \ in (x_ {0}, x)}$ cu $g'(y)=0$ ${\ displaystyle g '(y) = 0}$ $g '(y) = 0$ ). Teorema lui Cauchy afirmă că există un punct $\xi _{x}$ ${\ displaystyle \ xi _ {x}}$ $\ xi_x$ în $(x_{0},x)$ ${\ displaystyle (x_ {0}, x)}$ ${\ displaystyle (x_ {0}, x)}$ astfel încât

{\frac {f(x)-f(x_{0})}{g(x)-g(x_{0})}}={\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {f'(\xi _{x})}{g'(\xi _{x})}}.

{\ displaystyle {\ frac {f (x) -f (x_ {0})} {g (x) -g (x_ {0})}} = {\ frac {f (x)} {g (x) }} = {\ frac {f '(\ xi _ {x})} {g' (\ xi _ {x})}}.}

{\ displaystyle {\ frac {f (x) -f (x_ {0})} {g (x) -g (x_ {0})}} = {\ frac {f (x)} {g (x) }} = {\ frac {f '(\ xi _ {x})} {g' (\ xi _ {x})}}.}

De sine $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Tinde să $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ , asa de $\xi _{x}<x$ ${\ displaystyle \ xi _ {x} <x}$ ${\ displaystyle \ xi _ {x} <x}$ Tinde să $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ . Atâta timp cât $\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$ ${\ displaystyle \ displaystyle \ lim _ {x \ to x_ {0}} {\ frac {f '(x)} {g' (x)}}}$ ${\ displaystyle \ displaystyle \ lim _ {x \ to x_ {0}} {\ frac {f '(x)} {g' (x)}}}$ există, rezultă că

\lim _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to x_{0}}{\frac {f'(\xi _{x})}{g'(\xi _{x})}}=\lim _{x\to x_{0}}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}.

{\ displaystyle \ lim _ {x \ to x_ {0}} {\ frac {f (x)} {g (x)}} = \ lim _ {x \ to x_ {0}} {\ frac {f ' (\ xi _ {x})} {g '(\ xi _ {x})}} = \ lim _ {x \ to x_ {0}} {\ frac {f' (x)} {g '(x )}}.}

{\ displaystyle \ lim _ {x \ to x_ {0}} {\ frac {f (x)} {g (x)}} = \ lim _ {x \ to x_ {0}} {\ frac {f ' (\ xi _ {x})} {g '(\ xi _ {x})}} = \ lim _ {x \ to x_ {0}} {\ frac {f' (x)} {g '(x )}}.}

Infinit peste infinit

Considera $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ terminat și $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ Și $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ tinde să $+\infty$ ${\ displaystyle + \ infty}$ $+ \ infty$ pentru $x\to c=+\infty$ ${\ displaystyle x \ to c = + \ infty}$ $x \ to c = + \ infty$ .

Pentru fiecare $\varepsilon >0$ ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$ $\ varepsilon> 0$ , există $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ astfel încât

\left|{\frac {f'(x)}{g'(x)}}-L\right|<\varepsilon \quad {\text{per }}x\geq m.

{\ displaystyle \ left | {\ frac {f '(x)} {g' (x)}} - L \ right | <\ varepsilon \ quad {\ text {per}} x \ geq m.}

\ left | \ frac {f '(x)} {g' (x)} - L \ right | <\ varepsilon \ quad \ text {for} x \ geq m.

Teorema valorii medii implică faptul că dacă $x>m$ ${\ displaystyle x> m}$ $x> m$ , asa de $g(x)\neq g(m)$ ${\ displaystyle g (x) \ neq g (m)}$ $g (x) \ neq g (m)$ (altfel ar exista $y\in (m,x)$ ${\ displaystyle y \ in (m, x)}$ $y \ in (m, x)$ cu $g'(y)=0$ ${\ displaystyle g '(y) = 0}$ $g '(y) = 0$ ). Teorema lui Cauchy s-a aplicat intervalului $[m,x]$ ${\ displaystyle [m, x]}$ $[m, x]$ garantează că

\left|{\frac {f(x)-f(m)}{g(x)-g(m)}}-L\right|<\varepsilon \quad {\text{per }}x>m.

{\ displaystyle \ left | {\ frac {f (x) -f (m)} {g (x) -g (m)}} - L \ right | <\ varepsilon \ quad {\ text {per}} x > m.}

\ left | \ frac {f (x) -f (m)} {g (x) -g (m)} - L \ right | <\ varepsilon \ quad \ text {for} x> m.

Atâta timp cât $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ divergă la $+\infty$ ${\ displaystyle + \ infty}$ $+ \ infty$ , de sine $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ este suficient de mare atunci $f(x)\neq f(m)$ ${\ displaystyle f (x) \ neq f (m)}$ $f (x) \ neq f (m)$ . Așa că poți scrie

{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {f(x)-f(m)}{g(x)-g(m)}}\cdot {\frac {f(x)}{f(x)-f(m)}}\cdot {\frac {g(x)-g(m)}{g(x)}}.

{\ displaystyle {\ frac {f (x)} {g (x)}} = {\ frac {f (x) -f (m)} {g (x) -g (m)}} \ cdot {\ frac {f (x)} {f (x) -f (m)}} \ cdot {\ frac {g (x) -g (m)} {g (x)}}.}

\ frac {f (x)} {g (x)} = \ frac {f (x) -f (m)} {g (x) -g (m)} \ cdot \ frac {f (x)} { f (x) -f (m)} \ cdot \ frac {g (x) -g (m)} {g (x)}.

Considera,

{\begin{aligned}\left|{\frac {f(x)}{g(x)}}-{\frac {f(x)-f(m)}{g(x)-g(m)}}\right|&=\\&=\left|{\frac {f(x)-f(m)}{g(x)-g(m)}}\cdot {\frac {f(x)}{f(x)-f(m)}}\cdot {\frac {g(x)-g(m)}{g(x)}}-{\frac {f(x)-f(m)}{g(x)-g(m)}}\right|\\&\leq \left|{\frac {f(x)-f(m)}{g(x)-g(m)}}\right|\left|{\frac {f(x)}{f(x)-f(m)}}\cdot {\frac {g(x)-g(m)}{g(x)}}-1\right|\\&<(|L|+\varepsilon )\left|{\frac {f(x)}{f(x)-f(m)}}\cdot {\frac {g(x)-g(m)}{g(x)}}-1\right|.\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ left | {\ frac {f (x)} {g (x)}} - {\ frac {f (x) -f (m)} {g (x) -g (m)}} \ right | & = \\ & = \ left | {\ frac {f (x) -f (m)} {g (x) -g (m)}} \ cdot {\ frac {f (x)} {f (x) -f (m)}} \ cdot {\ frac {g (x) -g (m)} {g (x)}} - {\ frac {f (x) -f (m)} {g (x) -g (m)}} \ right | \\ & \ leq \ left | {\ frac {f (x) -f (m)} {g (x) -g (m )}} \ right | \ left | {\ frac {f (x)} {f (x) -f (m)}} \ cdot {\ frac {g (x) -g (m)} {g (x )}} - 1 \ right | \\ & <(| L | + \ varepsilon) \ left | {\ frac {f (x)} {f (x) -f (m)}} \ cdot {\ frac { g (x) -g (m)} {g (x)}} - 1 \ right |. \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ left | {\ frac {f (x)} {g (x)}} - {\ frac {f (x) -f (m)} {g (x) -g (m)}} \ right | & = \\ & = \ left | {\ frac {f (x) -f (m)} {g (x) -g (m)}} \ cdot {\ frac {f (x)} {f (x) -f (m)}} \ cdot {\ frac {g (x) -g (m)} {g (x)}} - {\ frac {f (x) -f (m)} {g (x) -g (m)}} \ right | \\ & \ leq \ left | {\ frac {f (x) -f (m)} {g (x) -g (m )}} \ right | \ left | {\ frac {f (x)} {f (x) -f (m)}} \ cdot {\ frac {g (x) -g (m)} {g (x )}} - 1 \ right | \\ & <(| L | + \ varepsilon) \ left | {\ frac {f (x)} {f (x) -f (m)}} \ cdot {\ frac { g (x) -g (m)} {g (x)}} - 1 \ right |. \ end {align}}}

Pentru $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ suficient de mare, aceasta este mai mică decât oricare $\varepsilon$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ Așadar

{\begin{aligned}&\left|{\frac {f(x)}{g(x)}}-L\right|\leq \left|{\frac {f(x)}{g(x)}}-{\frac {f(x)-f(m)}{g(x)-g(m)}}+{\frac {f(x)-f(m)}{g(x)-g(m)}}-L\right|\leq \left|{\frac {f(x)}{g(x)}}-{\frac {f(x)-f(m)}{g(x)-g(m)}}\right|+\left|{\frac {f(x)-f(m)}{g(x)-g(m)}}-L\right|<2\varepsilon .\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} & \ left | {\ frac {f (x)} {g (x)}} - L \ right | \ leq \ left | {\ frac {f (x)} {g (x)}} - {\ frac {f (x) -f (m)} {g (x) -g (m)}} + {\ frac {f (x) -f (m)} {g ( x) -g (m)}} - L \ right | \ leq \ left | {\ frac {f (x)} {g (x)}} - {\ frac {f (x) -f (m)} {g (x) -g (m)}} \ right | + \ left | {\ frac {f (x) -f (m)} {g (x) -g (m)}} - L \ right | <2 \ varepsilon. \ End {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} & \ left | {\ frac {f (x)} {g (x)}} - L \ right | \ leq \ left | {\ frac {f (x)} {g (x)}} - {\ frac {f (x) -f (m)} {g (x) -g (m)}} + {\ frac {f (x) -f (m)} {g ( x) -g (m)}} - L \ right | \ leq \ left | {\ frac {f (x)} {g (x)}} - {\ frac {f (x) -f (m)} {g (x) -g (m)}} \ right | + \ left | {\ frac {f (x) -f (m)} {g (x) -g (m)}} - L \ right | <2 \ varepsilon. \ End {align}}}

Ceea ce implică faptul că: $\lim _{x\to +\infty }{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to +\infty }{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=L.$ ${\ displaystyle \ lim _ {x \ to + \ infty} {\ frac {f (x)} {g (x)}} = \ lim _ {x \ to + \ infty} {\ frac {f '(x )} {g '(x)}} = L.}$ $\ lim_ {x \ to + \ infty} \ frac {f (x)} {g (x)} = \ lim_ {x \ to + \ infty} \ frac {f '(x)} {g' (x) } = L.$

Exemple

Aplicații unice

Considera:

{\begin{aligned}\lim _{x\to +\infty }{\frac {\sqrt {x}}{\ln(x)}}{\overset {\text{l'Hopital}}{=}}\lim _{x\to +\infty }{\frac {\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}{\frac {1}{x}}}=\lim _{x\to +\infty }{\frac {\sqrt {x}}{2}}=+\infty \end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ lim _ {x \ to + \ infty} {\ frac {\ sqrt {x}} {\ ln (x)}} {\ overset {\ text {l'Hopital}} {=}} \ lim _ {x \ to + \ infty} {\ frac {\ frac {1} {2 {\ sqrt {x}}}} {\ frac {1} {x}}} = \ lim _ {x \ to + \ infty} {\ frac {\ sqrt {x}} {2}} = + \ infty \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ lim _ {x \ to + \ infty} {\ frac {\ sqrt {x}} {\ ln (x)}} {\ overset {\ text {l'Hopital}} {=}} \ lim _ {x \ to + \ infty} {\ frac {\ frac {1} {2 {\ sqrt {x}}}} {\ frac {1} {x}}} = \ lim _ {x \ to + \ infty} {\ frac {\ sqrt {x}} {2}} = + \ infty \ end {align}}}

Aplicații iterate

Având de a face cu funcții diferențiate de mai multe ori și având grijă să verificăm dacă ipotezele teoremei sunt valabile la fiecare pas, va fi posibilă aplicarea teoremei de mai multe ori, ca în cazurile raportate mai jos.

{\begin{aligned}&\lim _{x\to 0}{\frac {e^{x}-e^{-x}-2x}{x-\operatorname {sen} (x)}}{\overset {\text{l'Hopital}}{=}}\lim _{x\to 0}{\frac {e^{x}-(-e^{-x})-2}{1-\operatorname {cos} (x)}}\\&{\overset {\text{l'Hopital}}{=}}\lim _{x\to 0}{\frac {e^{x}-e^{-x}}{\operatorname {sen} (x)}}{\overset {\text{l'Hopital}}{=}}\lim _{x\to 0}{\frac {e^{x}-(-e^{-x})}{\cos(x)}}\\&={\frac {e^{0}+e^{-0}}{\cos(0)}}={\frac {1+1}{1}}=2\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} & \ lim _ {x \ to 0} {\ frac {e ^ {x} -e ^ {- x} -2x} {x- \ operatorname {sen} (x)} } {\ overset {\ text {l'Hopital}} {=}} \ lim _ {x \ to 0} {\ frac {e ^ {x} - (- e ^ {- x}) - 2} {1 - \ operatorname {cos} (x)}} \\ & {\ overset {\ text {l'Hopital}} {=}} \ lim _ {x \ to 0} {\ frac {e ^ {x} -e ^ {- x}} {\ operatorname {sen} (x)}} {\ overset {\ text {l'Hopital}} {=}} \ lim _ {x \ to 0} {\ frac {e ^ {x } - (- e ^ {- x})} {\ cos (x)}} \\ & = {\ frac {e ^ {0} + e ^ {- 0}} {\ cos (0)}} = {\ frac {1 + 1} {1}} = 2 \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} & \ lim _ {x \ to 0} {\ frac {e ^ {x} -e ^ {- x} -2x} {x- \ operatorname {sen} (x)} } {\ overset {\ text {l'Hopital}} {=}} \ lim _ {x \ to 0} {\ frac {e ^ {x} - (- e ^ {- x}) - 2} {1 - \ operatorname {cos} (x)}} \\ & {\ overset {\ text {l'Hopital}} {=}} \ lim _ {x \ to 0} {\ frac {e ^ {x} -e ^ {- x}} {\ operatorname {sen} (x)}} {\ overset {\ text {l'Hopital}} {=}} \ lim _ {x \ to 0} {\ frac {e ^ {x } - (- e ^ {- x})} {\ cos (x)}} \\ & = {\ frac {e ^ {0} + e ^ {- 0}} {\ cos (0)}} = {\ frac {1 + 1} {1}} = 2 \ end {align}}}

Pentru fiecare $n>0$ ${\ displaystyle n> 0}$ $n> 0$ întreg, avem că:

{\begin{aligned}&\lim _{x\to +\infty }{\frac {x^{n}}{e^{x}}}{\overset {\text{l'Hopital}}{=}}\lim _{x\to +\infty }{\frac {n\cdot x^{n-1}}{e^{x}}}\\&{\overset {\text{l'Hopital}}{=}}\lim _{x\to +\infty }{\frac {n\cdot (n-1)x^{n-2}}{e^{x}}}{\overset {\text{l'Hopital}}{=}}\ldots {\overset {\text{l'Hopital}}{=}}\lim _{x\to +\infty }{\frac {n!}{e^{x}}}=0\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} & \ lim _ {x \ to + \ infty} {\ frac {x ^ {n}} {e ^ {x}}} {\ overset {\ text {l'Hopital} } {=}} \ lim _ {x \ to + \ infty} {\ frac {n \ cdot x ^ {n-1}} {e ^ {x}}} \\ & {\ overset {\ text {l 'Hopital}} {=}} \ lim _ {x \ to + \ infty} {\ frac {n \ cdot (n-1) x ^ {n-2}} {e ^ {x}}} {\ overset {\ text {l'Hopital}} {=}} \ ldots {\ overset {\ text {l'Hopital}} {=}} \ lim _ {x \ to + \ infty} {\ frac {n!} { e ^ {x}}} = 0 \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} & \ lim _ {x \ to + \ infty} {\ frac {x ^ {n}} {e ^ {x}}} {\ overset {\ text {l'Hopital} } {=}} \ lim _ {x \ to + \ infty} {\ frac {n \ cdot x ^ {n-1}} {e ^ {x}}} \\ & {\ overset {\ text {l 'Hopital}} {=}} \ lim _ {x \ to + \ infty} {\ frac {n \ cdot (n-1) x ^ {n-2}} {e ^ {x}}} {\ overset {\ text {l'Hopital}} {=}} \ ldots {\ overset {\ text {l'Hopital}} {=}} \ lim _ {x \ to + \ infty} {\ frac {n!} { e ^ {x}}} = 0 \ end {align}}}

Alte forme de incertitudine

Regula de l'Hopital poate fi, de asemenea, utilă pentru tratarea formelor nedeterminate de acest tip $0\cdot \infty$ ${\ displaystyle 0 \ cdot \ infty}$ ${\ displaystyle 0 \ cdot \ infty}$ , deoarece acestea pot fi ușor urmărite înapoi la cele două considerate anterior. Acest lucru se întâmplă, de exemplu, pentru limită

\lim _{x\to 0^{+}}x\ln x=0\cdot (-\infty )

{\ displaystyle \ lim _ {x \ to 0 ^ {+}} x \ ln x = 0 \ cdot (- \ infty)}

{\ displaystyle \ lim _ {x \ to 0 ^ {+}} x \ ln x = 0 \ cdot (- \ infty)}

;

de fapt, rescrieți doar:

{\begin{aligned}\lim _{x\to 0^{+}}x\ln x&=\lim _{x\to 0^{+}}{\frac {\ln x}{\frac {1}{x}}}={\frac {-\infty }{+\infty }}\\&{\overset {\text{l'Hopital}}{=}}\lim _{x\to 0^{+}}{\frac {\frac {1}{x}}{-{\frac {1}{x^{2}}}}}=\lim _{x\to 0^{+}}-x=0\\\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ lim _ {x \ to 0 ^ {+}} x \ ln x & = \ lim _ {x \ to 0 ^ {+}} {\ frac {\ ln x} { \ frac {1} {x}}} = {\ frac {- \ infty} {+ \ infty}} \\ & {\ overset {\ text {l'Hopital}} {=}} \ lim _ {x \ to 0 ^ {+}} {\ frac {\ frac {1} {x}} {- {\ frac {1} {x ^ {2}}}}} = \ lim _ {x \ to 0 ^ {+ }} -x = 0 \\\ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ lim _ {x \ to 0 ^ {+}} x \ ln x & = \ lim _ {x \ to 0 ^ {+}} {\ frac {\ ln x} { \ frac {1} {x}}} = {\ frac {- \ infty} {+ \ infty}} \\ & {\ overset {\ text {l'Hopital}} {=}} \ lim _ {x \ to 0 ^ {+}} {\ frac {\ frac {1} {x}} {- {\ frac {1} {x ^ {2}}}}} = \ lim _ {x \ to 0 ^ {+ }} -x = 0 \\\ end {align}}}

Trufe similare pot fi uneori folosite și pentru alte forme de incertitudine, cum ar fi $1^{\infty }$ ${\ displaystyle 1 ^ {\ infty}}$ ${\ displaystyle 1 ^ {\ infty}}$ , $0^{0}$ ${\ displaystyle 0 ^ {0}}$ ${\ displaystyle 0 ^ {0}}$ , $\infty ^{0}$ ${\ displaystyle \ infty ^ {0}}$ ${\ displaystyle \ infty ^ {0}}$ Și $+\infty -\infty$ ${\ displaystyle + \ infty - \ infty}$ ${\ displaystyle + \ infty - \ infty}$ . De exemplu, pentru a evalua o limită precum $+\infty -\infty$ ${\ displaystyle + \ infty - \ infty}$ ${\ displaystyle + \ infty - \ infty}$ , puteți încerca să rescrieți diferența ca un coeficient:

{\begin{aligned}&\lim _{x\to 1}{\frac {x}{x-1}}-{\frac {1}{\ln x}}=\lim _{x\to 1}{\frac {x\ln x-x+1}{(x-1)\ln x}}\\&{\overset {\text{l'Hopital}}{=}}\lim _{x\to 1}{\frac {\ln x}{{\frac {x-1}{x}}+\ln x}}=\lim _{x\to 1}{\frac {x\ln x}{x-1+x\ln x}}\\&{\overset {\text{l'Hopital}}{=}}\lim _{x\to 1}{\frac {1+\ln x}{2+\ln x}}={\frac {1}{2}},\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} & \ lim _ {x \ to 1} {\ frac {x} {x-1}} - {\ frac {1} {\ ln x}} = \ lim _ {x \ to 1} {\ frac {x \ ln xx + 1} {(x-1) \ ln x}} \\ & {\ overset {\ text {l'Hopital}} {=}} \ lim _ {x \ to 1} {\ frac {\ ln x} {{\ frac {x-1} {x}} + \ ln x}} = \ lim _ {x \ to 1} {\ frac {x \ ln x} {x-1 + x \ ln x}} \\ & {\ overset {\ text {l'Hopital}} {=}} \ lim _ {x \ to 1} {\ frac {1+ \ ln x} { 2+ \ ln x}} = {\ frac {1} {2}}, \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} & \ lim _ {x \ to 1} {\ frac {x} {x-1}} - {\ frac {1} {\ ln x}} = \ lim _ {x \ to 1} {\ frac {x \ ln xx + 1} {(x-1) \ ln x}} \\ & {\ overset {\ text {l'Hopital}} {=}} \ lim _ {x \ to 1} {\ frac {\ ln x} {{\ frac {x-1} {x}} + \ ln x}} = \ lim _ {x \ to 1} {\ frac {x \ ln x} {x-1 + x \ ln x}} \\ & {\ overset {\ text {l'Hopital}} {=}} \ lim _ {x \ to 1} {\ frac {1+ \ ln x} { 2+ \ ln x}} = {\ frac {1} {2}}, \ end {align}}}

Regula de l'Hôpital poate fi, de asemenea, utilizată pentru a evalua formele nedeterminate care implică puteri utilizând logaritmi pentru a deplasa forma nedeterminată de la o exponențială la un produs. În acest exemplu considerăm o formă nedeterminată a tipului $\left[0^{0}\right]$ ${\ displaystyle \ left [0 ^ {0} \ right]}$ ${\ displaystyle \ left [0 ^ {0} \ right]}$ :

\lim _{x\to 0^{+}}x^{x}=\lim _{x\to 0^{+}}e^{\ln x^{x}}=\lim _{x\to 0^{+}}e^{x\ln x}=e^{\lim _{x\to 0^{+}}x\ln x}.

{\ displaystyle \ lim _ {x \ to 0 ^ {+}} x ^ {x} = \ lim _ {x \ to 0 ^ {+}} e ^ {\ ln x ^ {x}} = \ lim _ {x \ to 0 ^ {+}} e ^ {x \ ln x} = e ^ {\ lim _ {x \ to 0 ^ {+}} x \ ln x}.}

\ lim_ {x \ to 0 ^ +} x ^ x = \ lim_ {x \ to 0 ^ +} e ^ {\ ln x ^ x} = \ lim_ {x \ to 0 ^ +} e ^ {x \ ln x} = e ^ {\ lim_ {x \ to 0 ^ +} x \ ln x}.

Deoarece funcția exponențială este continuă , este de fapt posibilă trecerea limitei la exponent și apoi operați ca în exemplul de mai sus pentru a obține:

\lim _{x\to 0^{+}}x^{x}=e^{0}=1.

{\ displaystyle \ lim _ {x \ to 0 ^ {+}} x ^ {x} = e ^ {0} = 1.}

\ lim_ {x \ to 0 ^ +} x ^ x = e ^ 0 = 1.

Corolar

O consecință simplă, dar foarte utilă a teoremei lui L'Hopital este un bine-cunoscut criteriu de diferențialitate, care exprimă următoarele: să presupunem că $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este continuu în $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ , este asta $f'(x)$ ${\ displaystyle f '(x)}$ $f '(x)$ există pentru fiecare $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ într-un interval care conține $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ , cu excepția poate pentru $x=a$ ${\ displaystyle x = a}$ $x = a$ . Să presupunem în plus că $\lim _{x\rightarrow a}f'(x)$ ${\ displaystyle \ lim _ {x \ rightarrow a} f '(x)}$ $\ lim_ {x \ rightarrow a} f '(x)$ exista terminat. Atunci $f'(a)$ ${\ displaystyle f '(a)}$ $face)$ există, de asemenea, și

f'(a)=\lim _{x\rightarrow a}f'(x)

{\ displaystyle f '(a) = \ lim _ {x \ rightarrow a} f' (x)}

f '(a) = \ lim_ {x \ rightarrow a} f' (x)

.

Demonstrație

Este suficient să luați în considerare funcțiile $h(x)=f(x)-f(a)$ ${\ displaystyle h (x) = f (x) -f (a)}$ $h (x) = f (x) - f (a)$ Și $g(x)=x-a$ ${\ displaystyle g (x) = xa}$ $g (x) = x - a$ . Continuitatea $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ în $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ ne spune că $\lim _{x\rightarrow a}h(x)=0$ ${\ displaystyle \ lim _ {x \ rightarrow a} h (x) = 0}$ $\ lim_ {x \ rightarrow a} h (x) = 0$ ; evident, de asemenea $\lim _{x\rightarrow a}g(x)=0$ ${\ displaystyle \ lim _ {x \ rightarrow a} g (x) = 0}$ $\ lim_ {x \ rightarrow a} g (x) = 0$ , deoarece o funcție polinomială este întotdeauna continuă peste tot. Prin aplicarea regulii de l'Hopital ajungem la concluzia că $f'(a):=\lim _{x\rightarrow a}{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}=\lim _{x\rightarrow a}{\frac {h(x)}{g(x)}}=\lim _{x\rightarrow a}f'(x)$ ${\ displaystyle f '(a): = \ lim _ {x \ rightarrow a} {\ frac {f (x) -f (a)} {xa}} = \ lim _ {x \ rightarrow a} {\ frac {h (x)} {g (x)}} = \ lim _ {x \ rightarrow a} f '(x)}$ $f '(a): = \ lim_ {x \ rightarrow a} \ frac {f (x) - f (a)} {x - a} = \ lim_ {x \ rightarrow a} \ frac {h (x)} {g (x)} = \ lim_ {x \ rightarrow a} f '(x)$ .

Notă

^ Forma " ${\frac {\infty }{\infty }}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ infty} {\ infty}}}$ $\ frac {\ infty} {\ infty}$ "este de citit:" ${\frac {+\infty }{+\infty }}$ ${\ displaystyle {\ frac {+ \ infty} {+ \ infty}}}$ $\ frac {+ \ infty} {+ \ infty}$ sau ${\frac {+\infty }{-\infty }}$ ${\ displaystyle {\ frac {+ \ infty} {- \ infty}}}$ $\ frac {+ \ infty} {- \ infty}$ sau ${\frac {-\infty }{+\infty }}$ ${\ displaystyle {\ frac {- \ infty} {+ \ infty}}}$ $\ frac {- \ infty} {+ \ infty}$ sau ${\frac {-\infty }{-\infty }}$ ${\ displaystyle {\ frac {- \ infty} {- \ infty}}}$ $\ frac {- \ infty} {- \ infty}$ Sau cu altă simbolologie ${\frac {\pm \infty }{\pm \infty }}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ pm \ infty} {\ pm \ infty}}}$ $\ frac {\ pm \ infty} {\ pm \ infty}$ .