Teorema lui Lagrange

În analiza matematică , teorema lui Lagrange (sau a valorii medii sau a creșterii finite ) este un rezultat care se aplică funcțiilor unei variabile reale și afirmă, din punct de vedere geometric, că dat graficul unei funcții între două extreme, există cel puțin un punct în care tangenta la grafic este paralelă cu secanta care trece prin extreme.

Această teoremă este utilizată pentru a demonstra proprietățile unei funcții într-un interval pornind de la ipoteze locale despre derivatele din punctele acelui interval. Este unul dintre cele mai importante rezultate ale analizei matematice .

Istorie

Un caz special al acestei teoreme a fost descris pentru prima dată de Parameshvara (1370–1460), de la Școala Kerala din India, în comentariile sale despre Govindasvāmi și Bhāskara II . ^[1] O formă restricționată a teoremei a fost mai târziu dovedită de Rolle în 1691; rezultatul său a fost ceea ce este acum cunoscut sub numele de teorema lui Rolle și a fost dovedit doar pentru polinoame, fără nicio tehnică de analiză. Teorema valorii medii în forma sa modernă a fost formulată și dovedită de Cauchy în 1823. ^[2]

Afirmație

Este $f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ ${\ displaystyle f: [a, b] \ rightarrow \ mathbb {R}}$ $f: [a, b] \ rightarrow \ mathbb {R}$ o funcție continuă în intervalul închis $[a,b]$ ${\ displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$ și diferențiat în intervalul deschis $(a,b)$ ${\ displaystyle (a, b)}$ $(a, b)$ . Apoi, există cel puțin un punct $c\in (a,b):f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}.$ ${\ displaystyle c \ in (a, b): f '(c) = {\ frac {f (b) -f (a)} {ba}}.}$ $c \ in (a, b): f '(c) = \ frac {f (b) -f (a)} {b-a}.$ ^[3]

Semnificație geometrică

Imagine care explică semnificația geometrică a teoremei lui Lagrange

Să presupunem că avem o funcție $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ variabilei reale cu valori reale definite în interval $[a,b]$ ${\ displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$ , ca în imagine. Să presupunem că este continuu și că în fiecare punct al graficului său - exclus $(a,f(a))$ ${\ displaystyle (a, f (a))}$ $(a, f (a))$ Și $(b,f(b))$ ${\ displaystyle (b, f (b))}$ $(b, f (b))$ - linia tangentă este bine definită, aceasta din urmă nu paralelă cu axa ordonată (adică să presupunem că funcția $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ fi diferențiat în $]a,b[$ ${\ displaystyle] a, b [}$ $] a, b [$ ). Tragem linia secantă graficul, trecând prin puncte $(a,f(a))$ ${\ displaystyle (a, f (a))}$ $(a, f (a))$ Și $(b,f(b))$ ${\ displaystyle (b, f (b))}$ $(b, f (b))$ .

Teorema lui Lagrange afirmă că, conform ipotezelor de regularitate enunțate mai sus, există cel puțin un punct $c\in ]a,b[$ ${\ displaystyle c \ in] a, b [}$ $c \ in] a, b [$ , ca în exemplu, astfel încât tangenta la graficul lui $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ în sens $(c,f(c))$ ${\ displaystyle (c, f (c))}$ $(c, f (c))$ are aceeași pantă ca linia dreaptă care trece prin puncte $(a,f(a))$ ${\ displaystyle (a, f (a))}$ $(a, f (a))$ Și $(b,f(b))$ ${\ displaystyle (b, f (b))}$ $(b, f (b))$ .

Observații

Teorema lui Lagrange poate fi, de asemenea, considerată un caz special al teoremei lui Cauchy .

Este $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ funcția de identitate ( $g(x)=x\quad \forall x$ ${\ displaystyle g (x) = x \ quad \ forall x}$ ${\ displaystyle g (x) = x \ quad \ forall x}$ ). Aplicăm teorema lui Cauchy $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ Și $g(x)$ ${\ displaystyle g (x)}$ $g (x)$ :

$\exists c\in (a,b)\colon {\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}={\frac {f'(c)}{g'(c)}}={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$ ${\ displaystyle \ există c \ in (a, b) \ colon {\ frac {f (b) -f (a)} {g (b) -g (a)}} = {\ frac {f '(c )} {g '(c)}} = {\ frac {f (b) -f (a)} {ba}}}$ $\ există c \ in (a, b) \ colon \ frac {f (b) -f (a)} {g (b) -g (a)} = \ frac {f '(c)} {g' ( c)} = \ frac {f (b) -f (a)} {ba}$

Atâta timp cât $\forall x\in (a,b)\quad g'(x)=1$ ${\ displaystyle \ forall x \ in (a, b) \ quad g '(x) = 1}$ ${\ displaystyle \ forall x \ in (a, b) \ quad g '(x) = 1}$ , avem asta $f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$ ${\ displaystyle f '(c) = {\ frac {f (b) -f (a)} {ba}}}$ ${\ displaystyle f '(c) = {\ frac {f (b) -f (a)} {b-a}}}$

Teorema lui Lagrange este, de asemenea, o generalizare a teoremei lui Rolle .

Este $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ o funcție continuă în interval $[a,b]$ ${\ displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$ , derivabil în $(a,b)$ ${\ displaystyle (a, b)}$ $(a, b)$ și astfel încât $f(a)=f(b)$ ${\ displaystyle f (a) = f (b)}$ $f (a) = f (b)$ . Aplicând teorema lui Lagrange avem asta

\exists c\in (a,b)\colon f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}=0

{\ displaystyle \ există c \ in (a, b) \ colon f '(c) = {\ frac {f (b) -f (a)} {ba}} = 0}

\ există c \ in (a, b) \ colon f '(c) = \ frac {f (b) -f (a)} {b-a} = 0

Rețineți că teorema, așa cum sa afirmat, este falsă dacă o funcție diferențiată este mai degrabă complexă decât reală. De exemplu, se definește pe sine $f(x)=e^{xi}$ ${\ displaystyle f (x) = e ^ {xi}}$ ${\ displaystyle f (x) = e ^ {xi}}$ pentru toți $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ real. Atunci

f(2\pi )-f(0)=0=0(2\pi -0)

{\ displaystyle f (2 \ pi) -f (0) = 0 = 0 (2 \ pi -0)}

{\ displaystyle f (2 \ pi) -f (0) = 0 = 0 (2 \ pi -0)}

in timp ce $f'(x)\neq 0$ ${\ displaystyle f '(x) \ neq 0}$ ${\ displaystyle f '(x) \ neq 0}$ pentru fiecare $x\in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle x \ in \ mathbb {R}}$ $x \ in {\ mathbb {R}}$ .

Demonstrație

Este posibil să se demonstreze afirmația prin aplicarea teoremei lui Rolle .

Este $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ următoarea funcție auxiliară:

$g(x)=f(a)+{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}(x-a)$ ${\ displaystyle g (x) = f (a) + {\ frac {f (b) -f (a)} {ba}} (xa)}$ $g (x) = f (a) + \ frac {f (b) -f (a)} {b-a} (x-a)$

Aceasta este linia care trece prin puncte $(a,f(a))$ ${\ displaystyle (a, f (a))}$ $(a, f (a))$ Și $(b,f(b))$ ${\ displaystyle (b, f (b))}$ $(b, f (b))$ a figurii.

Să fie acum $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ diferența dintre cele două funcții $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ Și $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ :

$\,h(x)=(f-g)(x)=f(x)-g(x)$ ${\ displaystyle \, h (x) = (fg) (x) = f (x) -g (x)}$ $\, h (x) = (f-g) (x) = f (x) - g (x)$ .

Imediat se întâmplă că

$h(a)=f(a)-g(a)=0\qquad \qquad h(b)=f(b)-g(b)=0$ ${\ displaystyle h (a) = f (a) -g (a) = 0 \ qquad \ qquad h (b) = f (b) -g (b) = 0}$ $h (a) = f (a) - g (a) = 0 \ qquad \ qquad h (b) = f (b) - g (b) = 0$

Functia $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ este continuu deoarece este suma funcțiilor continue (una pentru ipoteză și una pentru că este un polinom de gradul I); în plus, este derivabil, deoarece este suma funcțiilor diferențiabile (prima prin ipoteză, a doua ca polinom de gradul I).

Prin teorema lui Rolle , dacă o funcție este continuă într-un interval $[a,b]$ ${\ displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$ , derivabil în $]a,b[$ ${\ displaystyle] a, b [}$ $] a, b [$ și își asumă valori egale cu extremele intervalului, există cel puțin un punct $c\in ]a,b[$ ${\ displaystyle c \ in] a, b [}$ $c \ in] a, b [$ unde este derivata sa.

Apoi aplicăm teorema lui Rolle funcției $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ , deoarece își îndeplinește toate ipotezele:

$\exists \ c\in ]a,b[\;\mid h'(c)=0$ ${\ displaystyle \ există \ c \ in] a, b [\; \ mid h '(c) = 0}$ $\ există \ c \ în] a, b [\; \ mid h '(c) = 0$ .

Rezultă că

$h'(c)=f'(c)-g'(c)=0$ ${\ displaystyle h '(c) = f' (c) -g '(c) = 0}$ $h '(c) = f' (c) -g '(c) = 0$

Acum observăm că

$g'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$ ${\ displaystyle g '(c) = {\ frac {f (b) -f (a)} {ba}}}$ $g '(c) = \ frac {f (b) - f (a)} {b-a}$

Prin urmare

$f'(c)=g'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$ ${\ displaystyle f '(c) = g' (c) = {\ frac {f (b) -f (a)} {ba}}}$ $f '(c) = g' (c) = \ frac {f (b) - f (a)} {b-a}$

iar teorema este astfel dovedită.

Extensii

Funcții definite în R ⁿ

Teorema rămâne valabilă având în vedere funcțiile definite în $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ .

Este $\,f$ ${\ displaystyle \, f}$ $\, f$ o funcție real diferențiată pe un open $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle U \ subseteq \ mathbb {R} ^ {n}}$ $U \ subseteq \ R ^ n$ , sunt $\,\mathbf {x} ,\mathbf {y}$ ${\ displaystyle \, \ mathbf {x}, \ mathbf {y}}$ $\, \ mathbf x, \ mathbf y$ colon de $\,U$ ${\ displaystyle \, U}$ $\, U$ astfel încât segmentul $[\mathbf {x} ,\mathbf {y} ]=\{t\mathbf {x} +(1-t)\mathbf {y} :t\in [0,1]\}\subseteq U$ ${\ displaystyle [\ mathbf {x}, \ mathbf {y}] = \ {t \ mathbf {x} + (1-t) \ mathbf {y}: t \ in [0,1] \} \ subseteq U }$ $[\ mathbf x, \ mathbf y] = \ {t \ mathbf x + (1-t) \ mathbf y: t \ in [0,1] \} \ subseteq U$

atunci există $\,\mathbf {\xi } \in [\mathbf {x} ,\mathbf {y} ]$ ${\ displaystyle \, \ mathbf {\ xi} \ în [\ mathbf {x}, \ mathbf {y}]}$ $\, \ mathbf \ xi \ in [\ mathbf x, \ mathbf y]$ astfel încât

$f(\mathbf {y} )-f(\mathbf {x} )=\langle \mathbf {D} f(\mathbf {\xi } ),(\mathbf {y} -\mathbf {x} )\mathbf {\rangle }$ ${\ displaystyle f (\ mathbf {y}) -f (\ mathbf {x}) = \ langle \ mathbf {D} f (\ mathbf {\ xi}), (\ mathbf {y} - \ mathbf {x} ) \ mathbf {\ rangle}}$ $f (\ mathbf y) -f (\ mathbf x) = \ langle \ mathbf Df (\ mathbf \ xi), (\ mathbf y - \ mathbf x) \ mathbf \ rangle$

unde cu $D. f$ ${\ displaystyle Df}$ $Df$ notăm gradientul lui f.

Pentru dovadă este suficient să se ia în considerare funcția

$\varphi (t)=f(\mathbf {x} +t(\mathbf {y} -\mathbf {x} ))$ ${\ displaystyle \ varphi (t) = f (\ mathbf {x} + t (\ mathbf {y} - \ mathbf {x}))}$ $\ varphi (t) = f (\ mathbf x + t (\ mathbf y - \ mathbf x))$ cu $t\in [0,1]$ ${\ displaystyle t \ in [0,1]}$ $t \ in [0, 1]$

derivabil pe intervalul unitar deoarece este o compoziție a două funcții diferențiabile.

Funcții cu valori în R ^m

Teorema nu mai este valabilă în această formă pentru funcții cu valori în $\mathbb {R} ^{m}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {m}}$ $\ R ^ m$ . De fapt, deși se aplică fiecărei componente, nu este posibil să se garanteze că fiecare dintre egalitățile teoremei apare simultan pentru aceeași valoare a variabilei independente. În acest caz, teorema este valabilă dacă se acceptă următoarea formulare:

Este $\,f$ ${\ displaystyle \, f}$ $\, f$ o funcție reală diferențiată pe un set deschis $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}$ ${\ displaystyle U \ subseteq \ mathbb {R} ^ {n} \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {m}}$ $U \ subseteq \ R ^ n \ rightarrow \ R ^ m$ , care conține segmentul $[\mathbf {x} ,\mathbf {y} ]$ ${\ displaystyle [\ mathbf {x}, \ mathbf {y}]}$ $[\ mathbf x, \ mathbf y]$ , asa de:

$\|f(\mathbf {y} )-f(\mathbf {x} )\|\leq \sup _{\mathbf {\mathbf {\xi } } \in U}\left\|Df(\mathbf {\xi } )\right\|\left\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \right\|$ ${\ displaystyle \ | f (\ mathbf {y}) -f (\ mathbf {x}) \ | \ leq \ sup _ {\ mathbf {\ mathbf {\ xi}} \ în U} \ left \ | Df ( \ mathbf {\ xi}) \ right \ | \ left \ | \ mathbf {x} - \ mathbf {y} \ right \ |}$ $\ | f (\ mathbf y) -f (\ mathbf x) \ | \ leq \ sup _ {\ mathbf {\ mathbf \ xi} \ în U} \ left \ | Df (\ mathbf \ xi) \ right \ | \ left \ | \ mathbf x - \ mathbf y \ right \ |$

Exemple de utilizare (corolarii)

Funcții având o derivată identică nulă pe un interval

Este $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ o funcție continuă și diferențiată definită pe un interval $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ , este $f^{'}$ ${\ displaystyle f '}$ $f '$ derivatul de $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ . De sine $f'(x)=0$ ${\ displaystyle f '(x) = 0}$ ${\ displaystyle f '(x) = 0}$ pentru fiecare $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ reclama interna $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ , asa de $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este constantă în acest interval, adică:

f(x)=k\quad \forall x\in I

{\ displaystyle f (x) = k \ quad \ forall x \ in I}

{\ displaystyle f (x) = k \ quad \ forall x \ in I}

Demonstrație

Să luăm două puncte distincte, $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ Și $\beta$ ${\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$ aparținând gamei $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ .

Putem aplica teorema Lagrange la interval $[\alpha ,\beta ]$ ${\ displaystyle [\ alpha, \ beta]}$ ${\ displaystyle [\ alpha, \ beta]}$ obținând asta

\exists c\in (\alpha ,\beta ):{\frac {f(\beta )-f(\alpha )}{\beta -\alpha }}=f^{\prime }(c)

{\ displaystyle \ există c \ in (\ alpha, \ beta): {\ frac {f (\ beta) -f (\ alpha)} {\ beta - \ alpha}} = f ^ {\ prime} (c) }

\ există c \ in (\ alpha, \ beta): \ frac {f (\ beta) -f (\ alpha)} {\ beta - \ alpha} = f ^ {\ prime} (c)

Având în vedere că prin ipoteză $f'(x)=0$ ${\ displaystyle f '(x) = 0}$ ${\ displaystyle f '(x) = 0}$ pentru fiecare $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ , rezultă că

{\frac {f(\beta )-f(\alpha )}{\beta -\alpha }}=0\;{\text{e quindi}}\;\ f(\beta )=f(\alpha )

{\ displaystyle {\ frac {f (\ beta) -f (\ alpha)} {\ beta - \ alpha}} = 0 \; {\ text {și prin urmare}} \; \ f (\ beta) = f ( \ alpha)}

{\ frac {f (\ beta) -f (\ alpha)} {\ beta - \ alpha}} = 0 \; {\ text {și deci}} \; \ f (\ beta) = f (\ alpha)

Având în vedere că $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ Și $\beta$ ${\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$ sunt două puncte arbitrare ale intervalului, acesta este valabil pentru fiecare pereche de puncte și, prin urmare $f(x)=k$ ${\ displaystyle f (x) = k}$ ${\ displaystyle f (x) = k}$ pentru fiecare $x\in I$ ${\ displaystyle x \ in I}$ ${\ displaystyle x \ in I}$ (acesta este $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ este constantă în interval).

Funcții având derivată egală într-un interval

Lasa-i sa fie $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ Și $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ două funcții diferențiate într-un interval $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ și fie $f'(x)=g'(x)$ ${\ displaystyle f '(x) = g' (x)}$ ${\ displaystyle f '(x) = g' (x)}$ pentru fiecare $x\in I$ ${\ displaystyle x \ in I}$ ${\ displaystyle x \ in I}$ . Atunci cele două funcții diferă printr-o constantă $c\in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle c \ in \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle c \ in \ mathbb {R}}$ , acesta este

f(x)=g(x)+c\quad \forall x\in I

{\ displaystyle f (x) = g (x) + c \ quad \ forall x \ in I}

{\ displaystyle f (x) = g (x) + c \ quad \ forall x \ in I}

Demonstrație

Ia-l $h(x)=f(x)-g(x)$ ${\ displaystyle h (x) = f (x) -g (x)}$ ${\ displaystyle h (x) = f (x) -g (x)}$ . Prin ipoteză avem $h'(x)=f'(x)-g'(x)=0$ ${\ displaystyle h '(x) = f' (x) -g '(x) = 0}$ ${\ displaystyle h '(x) = f' (x) -g '(x) = 0}$ pentru fiecare $x\in I$ ${\ displaystyle x \ in I}$ ${\ displaystyle x \ in I}$ . Apoi, prin corolarul anterior asupra funcțiilor cu derivată zero, funcția $h(x)$ ${\ displaystyle h (x)}$ $h (x)$ este constantă în interval $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ , acesta este $h(x)=f(x)-g(x)=c$ ${\ displaystyle h (x) = f (x) -g (x) = c}$ ${\ displaystyle h (x) = f (x) -g (x) = c}$ pentru un dat $c\in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle c \ in \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle c \ in \ mathbb {R}}$ , și apoi

f(x)=g(x)+c\quad \forall x\in I

{\ displaystyle f (x) = g (x) + c \ quad \ forall x \ in I}

{\ displaystyle f (x) = g (x) + c \ quad \ forall x \ in I}

Monotonia începând de la derivat

Teorema lui Lagrange ne permite să stabilim monotonia unei funcții diferențiabile într-un anumit interval, pe baza semnului derivatei.

Derivat non-negativ

Este $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ o funcție diferențiată în $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ . De sine $f'(x)\geq 0$ ${\ displaystyle f '(x) \ geq 0}$ ${\ displaystyle f '(x) \ geq 0}$ $\forall x\in I$ ${\ displaystyle \ forall x \ in I}$ ${\ displaystyle \ forall x \ in I}$ , apoi pentru fiecare $x_{1},x_{2}\in I$ ${\ displaystyle x_ {1}, x_ {2} \ în I}$ ${\ displaystyle x_ {1}, x_ {2} \ în I}$ , cu $x_{1}<x_{2}$ ${\ displaystyle x_ {1} <x_ {2}}$ ${\ displaystyle x_ {1} <x_ {2}}$ , avem asta $f(x_{1})\leq f(x_{2})$ ${\ displaystyle f (x_ {1}) \ leq f (x_ {2})}$ ${\ displaystyle f (x_ {1}) \ leq f (x_ {2})}$ .

Demonstrație

Să luăm două puncte generale $x_{1}$ ${\ displaystyle x_ {1}}$ $x_1$ Și $x_{2}$ ${\ displaystyle x_ {2}}$ $x_2$ aparținând gamei $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ , cu $x_{1}<x_{2}$ ${\ displaystyle x_ {1} <x_ {2}}$ ${\ displaystyle x_ {1} <x_ {2}}$ .

Deoarece funcția de ipoteză este diferențiată în toate punctele intervalului și, prin urmare, este continuă, ne putem gândi să aplicăm teorema lui Lagrange la $[x_{1},x_{2}]$ ${\ displaystyle [x_ {1}, x_ {2}]}$ ${\ displaystyle [x_ {1}, x_ {2}]}$ obținând asta

\exists c\in (x_{1},x_{2}):{\frac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}=f^{\prime }(c)

{\ displaystyle \ există c \ in (x_ {1}, x_ {2}): {\ frac {f (x_ {2}) - f (x_ {1})} {x_ {2} -x_ {1} }} = f ^ {\ prime} (c)}

{\ displaystyle \ există c \ in (x_ {1}, x_ {2}): {\ frac {f (x_ {2}) - f (x_ {1})} {x_ {2} -x_ {1} }} = f ^ {\ prime} (c)}

De cand $f'(x)\geq 0$ ${\ displaystyle f '(x) \ geq 0}$ ${\ displaystyle f '(x) \ geq 0}$ $\forall x\in I$ ${\ displaystyle \ forall x \ in I}$ ${\ displaystyle \ forall x \ in I}$ avem asta

{\frac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}\geq 0

{\ displaystyle {\ frac {f (x_ {2}) - f (x_ {1})} {x_ {2} -x_ {1}}} \ geq 0}

{\ displaystyle {\ frac {f (x_ {2}) - f (x_ {1})} {x_ {2} -x_ {1}}} \ geq 0}

Acum, de atunci $x_{1}<x_{2}$ ${\ displaystyle x_ {1} <x_ {2}}$ ${\ displaystyle x_ {1} <x_ {2}}$ , pentru a fi adevărat, formula care tocmai a fost scrisă trebuie să fie $f(x_{1})\leq f(x_{2})$ ${\ displaystyle f (x_ {1}) \ leq f (x_ {2})}$ ${\ displaystyle f (x_ {1}) \ leq f (x_ {2})}$ și întrucât acest lucru este valabil pentru fiecare pereche de puncte aparținând $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ , putem concluziona că funcția este monotonă crescând în interval.

Derivată pozitivă

Este $f'(x)>0$ ${\ displaystyle f '(x)> 0}$ ${\ displaystyle f '(x)> 0}$ pentru fiecare $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ aparținând gamei $[a,b]$ ${\ displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$ . Apoi pentru fiecare $x_{1},x_{2}$ ${\ displaystyle x_ {1}, x_ {2}}$ ${\ displaystyle x_ {1}, x_ {2}}$ aparținând gamei $[a,b]$ ${\ displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$ cu $x_{1}<x_{2}$ ${\ displaystyle x_ {1} <x_ {2}}$ ${\ displaystyle x_ {1} <x_ {2}}$ avem asta $f(x_{1})<f(x_{2})$ ${\ displaystyle f (x_ {1}) <f (x_ {2})}$ ${\ displaystyle f (x_ {1}) <f (x_ {2})}$ .

Demonstrație

Să luăm două puncte generale $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ Și $\beta$ ${\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$ aparținând gamei închise $[a,b]$ ${\ displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$ cu $\alpha <\beta$ ${\ displaystyle \ alpha <\ beta}$ ${\ displaystyle \ alpha <\ beta}$ .

Deoarece funcția de ipoteză este diferențiată în toate punctele intervalului și, prin urmare, este continuă, ne putem gândi să aplicăm teorema lui Lagrange la un interval având ca extreme $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ Și $\beta$ ${\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$ obținând asta

\exists c\in (\alpha ,\beta )\colon {\frac {f(\beta )-f(\alpha )}{\beta -\alpha }}=f'(c)

{\ displaystyle \ există c \ in (\ alpha, \ beta) \ colon {\ frac {f (\ beta) -f (\ alpha)} {\ beta - \ alpha}} = f '(c)}

\ există c \ in (\ alpha, \ beta) \ colon \ frac {f (\ beta) -f (\ alpha)} {\ beta - \ alpha} = f '(c)

De cand $f'(x)>0$ ${\ displaystyle f '(x)> 0}$ ${\ displaystyle f '(x)> 0}$ pentru fiecare $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ avem asta

{\frac {f(\beta )-f(\alpha )}{\beta -\alpha }}>0

{\ displaystyle {\ frac {f (\ beta) -f (\ alpha)} {\ beta - \ alpha}}> 0}

\ frac {f (\ beta) -f (\ alpha)} {\ beta - \ alpha}> 0

Acum de atunci $\alpha <\beta$ ${\ displaystyle \ alpha <\ beta}$ ${\ displaystyle \ alpha <\ beta}$ pentru a fi adevărat, formula care tocmai a fost scrisă trebuie să fie $f(\alpha )<f(\beta )$ ${\ displaystyle f (\ alpha) <f (\ beta)}$ ${\ displaystyle f (\ alpha) <f (\ beta)}$ și întrucât acest lucru este valabil pentru fiecare $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ Și $\beta$ ${\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$ aparținând $[a,b]$ ${\ displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$ putem concluziona că funcția este monotonă în creștere.

Derivat non-pozitiv și derivat negativ

Proprietățile relative sunt inverse față de cele obținute în cele două puncte anterioare și se obțin pur și simplu inversând semnele inegalităților.

Studiul funcțiilor pe un interval cu derivată mărginită

Dacă f este o funcție continuă și diferențiată în interval $[a,b]$ ${\ displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$ și primul său derivat $f^{'}$ ${\ displaystyle f '}$ $f '$ este limitat în $[a,b]$ ${\ displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$ , adică există $k>0:|f'(x)|\leq k$ ${\ displaystyle k> 0: | f '(x) | \ leq k}$ ${\ displaystyle k> 0: | f '(x) | \ leq k}$ , avem asta $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este Lipschitz pe $[a,b]$ ${\ displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$ .

Demonstrație

Să luăm în considerare două puncte generice $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ Și $\beta$ ${\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$ aparținând gamei $[a,b]$ ${\ displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$ astfel încât $\alpha <\beta$ ${\ displaystyle \ alpha <\ beta}$ ${\ displaystyle \ alpha <\ beta}$ .

Deoarece ipoteza ne garantează că funcția este diferențiată în toate punctele intervalului, ceea ce garantează și continuitatea, putem aplica teorema lui Lagrange la un interval având cele două puncte ca extreme, obținând că

\exists c\in (\alpha ,\beta )\colon {\frac {f(\beta )-f(\alpha )}{\beta -\alpha }}=f'(c)

{\ displaystyle \ există c \ in (\ alpha, \ beta) \ colon {\ frac {f (\ beta) -f (\ alpha)} {\ beta - \ alpha}} = f '(c)}

\ există c \ in (\ alpha, \ beta) \ colon \ frac {f (\ beta) -f (\ alpha)} {\ beta - \ alpha} = f '(c)

Acum să adăugăm aceste informații la limitarea derivatei, dată de ipoteză, astfel încât să putem scrie:

\left|{\frac {f(\beta )-f(\alpha )}{\beta -\alpha }}\right|\leq k

{\ displaystyle \ left | {\ frac {f (\ beta) -f (\ alpha)} {\ beta - \ alpha}} \ right | \ leq k}

\ left | \ frac {f (\ beta) -f (\ alpha)} {\ beta - \ alpha} \ right | \ l și k

Dar, din moment ce putem alege punctele la voința noastră completă dintre toți cei prezenți în interval, atunci panta funcției va fi limitată și, prin urmare, funcția va satisface condiția Lipschitz.

Notă

^ JJ O'Connor și EF Robertson (2000). Paramesvara , arhiva MacTutor History of Mathematics .
^ A. Besenyei, Dezvoltarea istorică a teoremei valorii medii, http://abesenyei.web.elte.hu/publications/meanvalue.pdf
^ PM Soardi , p. 223 .

Bibliografie

Paolo Marcellini , Carlo Sbordone Mathematical Analysis One , Liguori Editore, Napoli, ISBN 88-207-2819-2 , 1998, paragraful 61.
Paolo Maurizio Soardi, Analiză matematică , CittàStudi, 2007, ISBN 978-88-251-7319-2 .

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre teorema Lagrange

linkuri externe

( EN ) Teorema lui Lagrange , pe Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Controlul autorității	Thesaurus BNCF 37971 · LCCN (EN) sh85082689

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] JJ O'Connor și EF Robertson (2000). Paramesvara , arhiva MacTutor History of Mathematics .

[2] A. Besenyei, Dezvoltarea istorică a teoremei valorii medii, http://abesenyei.web.elte.hu/publications/meanvalue.pdf

[3] PM Soardi , p. 223 .

[1]

[2]

[3]

V · D · M Analiza matematică
Calcul infinitesimal	Număr real · infinitesimal · O mare · Succesiune ( de funcții ) · Succesiunea lui Cauchy · teorema Bolzano-Weierstrass · estimare asimptotică · Limită ( o funcție · o succesiune · formă nedeterminată ) · Teorema a doi polițiști · Limită considerabilă · punct de acumulare · punct izolat · În jurul valorii · Serie ( funcție ) · criterii de convergență · limită a funcțiilor multivariate
Studiul continuității	Funcție Continuu · Punct de discontinuitate · uniform continuitate · Lipschitz Function · Bolzano Teorema · Weierstrass Teorema · Teorema valorilor intermediare · Heine-Cantor teorema · Modul continuitate · Functia semicontinuă · separa continuitate · Piatra-Weierstrass Teorema
Calcul diferențial	Derivată · Differential · reguli de derivare · Fermat Teorema · teorema lui Rolle · Lagrange Teorema · Cauchy Teorema · Teorema lui Darboux · teorema lui Taylor · serie Taylor · functia diferențiabilă · Gradient · Jacobian · Hessiană · formă Differential · Generalizari de derivate · derivat parțial · derivat amestecat
Grâu integral	Primitive · Riemann integral · improprie Integral · Lebesgue Integral · Teorema fundamentala · Integrare Metode · Tabele · Integral multiple , linie ( 1ª specii · 2ª specii ) și suprafața ( volum )
Studiul funcției	Funcție · Variabilă · domeniul si · funcții par și impar · Funcția periodică · Funcția monotonă · funcției convexe · maxim și minim al unei funcții · unghiulară Punct · cuspid · punct de inflexiune · Asymptote · graficul unei funcții · injecție Funcție
Inegalități	Inegalitate triunghiulară · Inegalitate Cauchy-Schwarz · Bernoulli · Jensen · Hölder · Young · Minkowski
Alte	Apropierea Stirling · produs Wallis · Funcție Domeniu · Implicite funcție teorema · Teorema funcției inverse · Portduză cu funcții · Metric spațiu · normata spațiu · gama · Împreună neglijabile · închis Împreună · Împreună deschis · Ball · homeomorphism · homeomorphism locale · Difeomorfism · Locale Diffeomorfism · Clasa C a unei funcții · Ecuație diferențială · Problemă Cauchy

Teorema lui Lagrange

Istorie

Afirmație

Semnificație geometrică

Observații

Demonstrație

Extensii

Funcții definite în R n

Funcții cu valori în R m

Exemple de utilizare (corolarii)

Funcții având o derivată identică nulă pe un interval

Demonstrație

Funcții având derivată egală într-un interval

Demonstrație

Monotonia începând de la derivat

Derivat non-negativ

Demonstrație

Derivată pozitivă

Demonstrație

Derivat non-pozitiv și derivat negativ

Studiul funcțiilor pe un interval cu derivată mărginită

Demonstrație

Notă

Bibliografie

Elemente conexe

Alte proiecte

linkuri externe

Funcții definite în R ⁿ

Funcții cu valori în R ^m