Teorema lui Cauchy (analiză matematică)

Teorema incrementului finit a lui Cauchy este o generalizare a teoremei lui Lagrange .

Înțelesul geometric al teoremei lui Cauchy.

Afirmație

Lasa-i sa fie $f,g:[a,b]\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle f, g: [a, b] \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle f, g: [a, b] \ to \ mathbb {R}}$ două funcții reale ale variabilei reale continue în $[a,b]$ ${\ displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$ și derivabil în $(a,b)$ ${\ displaystyle (a, b)}$ $(a, b)$ .

Apoi, există un punct $c\in (a,b)$ ${\ displaystyle c \ in (a, b)}$ $c \ in (a, b)$ astfel încât

[g(b)-g(a)]f^{\prime }(c)=[f(b)-f(a)]g^{\prime }(c).

{\ displaystyle [g (b) -g (a)] f ^ {\ prime} (c) = [f (b) -f (a)] g ^ {\ prime} (c).}

[g (b) -g (a)] f ^ {{\ prime}} (c) = [f (b) -f (a)] g ^ {{\ prime}} (c).

^[1]

Rețineți că dacă $g'(c)\neq 0$ ${\ displaystyle g '(c) \ neq 0}$ $g '(c) \ neq 0$ (și, prin urmare, în special $g(b)\neq g(a)$ ${\ displaystyle g (b) \ neq g (a)}$ ${\ displaystyle g (b) \ neq g (a)}$ ), ecuația poate fi scrisă într-o formă echivalentă

{\frac {f^{\prime }(c)}{g^{\prime }(c)}}={\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}.

{\ displaystyle {\ frac {f ^ {\ prime} (c)} {g ^ {\ prime} (c)}} = {\ frac {f (b) -f (a)} {g (b) - g (a)}}.}

{\ displaystyle {\ frac {f ^ {\ prime} (c)} {g ^ {\ prime} (c)}} = {\ frac {f (b) -f (a)} {g (b) - g (a)}}.}

Dovada teoremei

Luați în considerare funcția $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ variabilei reale definite în interval $[a,b]$ ${\ displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$ ca

h(t)=[f(b)-f(a)]g(t)-[g(b)-g(a)]f(t)\quad

{\ displaystyle h (t) = [f (b) -f (a)] g (t) - [g (b) -g (a)] f (t) \ quad}

h (t) = [f (b) -f (a)] g (t) - [g (b) -g (a)] f (t) \ quad

Această funcție este continuă în interval $[a,b]$ ${\ displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$ și derivabil în $(a,b)$ ${\ displaystyle (a, b)}$ $(a, b)$ , Și

h(a)=[f(b)-f(a)]g(a)-[g(b)-g(a)]f(a)=f(b)g(a)-f(a)g(a)-f(a)g(b)+f(a)g(a)=f(b)g(a)-f(a)g(b).

{\ displaystyle h (a) = [f (b) -f (a)] g (a) - [g (b) -g (a)] f (a) = f (b) g (a) -f (a) g (a) -f (a) g (b) + f (a) g (a) = f (b) g (a) -f (a) g (b).}

h (a) = [f (b) -f (a)] g (a) - [g (b) -g (a)] f (a) = f (b) g (a) -f (a) g (a) -f (a) g (b) + f (a) g (a) = f (b) g (a) -f (a) g (b).

h(b)=[f(b)-f(a)]g(b)-[g(b)-g(a)]f(b)=f(b)g(b)-f(a)g(b)-f(b)g(b)+f(b)g(a)=-f(a)g(b)+f(b)g(a).

{\ displaystyle h (b) = [f (b) -f (a)] g (b) - [g (b) -g (a)] f (b) = f (b) g (b) -f (a) g (b) -f (b) g (b) + f (b) g (a) = - f (a) g (b) + f (b) g (a).}

h (b) = [f (b) -f (a)] g (b) - [g (b) -g (a)] f (b) = f (b) g (b) -f (a) g (b) -f (b) g (b) + f (b) g (a) = - f (a) g (b) + f (b) g (a).

De la care $h(a)=h(b)$ ${\ displaystyle h (a) = h (b)}$ $h (a) = h (b)$ .

Functia $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ satisface astfel ipotezele teoremei lui Rolle , pentru care există un punct $c\in (a,b)$ ${\ displaystyle c \ in (a, b)}$ $c \ in (a, b)$ in care $h'(c)=0$ ${\ displaystyle h '(c) = 0}$ $h '(c) = 0$ , acesta este

[f(b)-f(a)]g'(c)-[g(b)-g(a)]f'(c)=0.

{\ displaystyle [f (b) -f (a)] g '(c) - [g (b) -g (a)] f' (c) = 0.}

[f (b) -f (a)] g '(c) - [g (b) -g (a)] f' (c) = 0.

Aplicații

Având în vedere în special funcția $g(t)=t$ ${\ displaystyle g (t) = t}$ $g (t) = t$ , obținem afirmarea teoremei lui Lagrange.
Teorema lui Cauchy poate fi folosită pentru a demonstra regula lui De L'Hôpital .

Notă

^ PM Soardi , p. 222 .

Bibliografie

Paolo Marcellini , Carlo Sbordone Mathematical Analysis One , Liguori Editore, Napoli, ISBN 88-207-2819-2 , 1998, paragraful 67.
Paolo Maurizio Soardi, Analiză matematică , CittàStudi, 2007, ISBN 978-88-251-7319-2 .

Elemente conexe

linkuri externe

(EN) Teorema valorii medii extinse și dovada teoremei valorii medii extinse pe PlanetMath

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] PM Soardi , p. 222 .

[1]

V · D · M Analiza matematică
Calcul infinitesimal	Număr real · infinitesimal · O mare · Succesiune ( de funcții ) · Succesiunea lui Cauchy · teorema Bolzano-Weierstrass · estimare asimptotică · Limită ( o funcție · o succesiune · formă nedeterminată ) · Teorema a doi polițiști · Limită considerabilă · punct de acumulare · punct izolat · În jurul valorii · Serie ( funcție ) · criterii de convergență · limită a funcțiilor multivariate
Studiul continuității	Funcție Continuu · Punct de discontinuitate · uniform continuitate · Lipschitz Function · Bolzano Teorema · Weierstrass Teorema · Teorema valorilor intermediare · Heine-Cantor teorema · Modul continuitate · Functia semicontinuă · separa continuitate · Piatra-Weierstrass Teorema
Calcul diferențial	Derivată · Differential · reguli de derivare · Fermat Teorema · teorema lui Rolle · Lagrange Teorema · Cauchy Teorema · Teorema lui Darboux · teorema lui Taylor · serie Taylor · functia diferențiabilă · Gradient · Jacobian · Hessiană · formă Differential · Generalizari de derivate · derivat parțial · derivat amestecat
Grâu integral	Primitive · Riemann integral · improprie Integral · Lebesgue Integral · Teorema fundamentala · Integrare Metode · Tabele · Integral multiple , linie ( 1ª specii · 2ª specii ) și suprafața ( volum )
Studiul funcției	Funcție · Variabilă · domeniul si · funcții par și impar · Funcția periodică · Funcția monotonă · funcției convexe · maxim și minim al unei funcții · unghiulară Punct · cuspid · punct de inflexiune · Asymptote · graficul unei funcții · injecție Funcție
Inegalități	Inegalitate triunghiulară · Inegalitate Cauchy-Schwarz · Bernoulli · Jensen · Hölder · Young · Minkowski
Alte	Apropierea Stirling · produs Wallis · Funcție Domeniu · Implicite funcție teorema · Teorema funcției inverse · Portduză cu funcții · Metric spațiu · normata spațiu · gama · Împreună neglijabile · închis Împreună · Împreună deschis · Ball · homeomorphism · homeomorphism locale · Difeomorfism · Locale Diffeomorfism · Clasa C a unei funcții · Ecuație diferențială · Problemă Cauchy