Teorema comparației

Teorema comparației este o teoremă de analiză matematică . Acesta ia forme diferite în funcție de context și vă permite să calculați limita unei secvențe sau a unei funcții comparând-o cu alte două obiecte similare care „strâng tot mai mult” în jurul celei date.

Se numește informal teorema celor doi carabinieri , pentru o alegorie : teorema ar fi reprezentată de doi carabinieri (două funcții sau secvențe) $la, c$ ${\ displaystyle a, c}$ $B.C$ care strânge din ce în ce mai tare) ducând un prizonier la arestare (o funcție sau o succesiune $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ ): acest lucru „tinde” cu siguranță în același punct în care tind carabinierii (limita comună a $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ ). Pe baza unor considerații similare, teorema este uneori numită și teorema sandwich sau teorema compresiei .

Succesiuni

Teorema comparației pentru secvențe afirmă că dacă $\{a_{n}\},\{b_{n}\}$ ${\ displaystyle \ {a_ {n} \}, \ {b_ {n} \}}$ $\ {a_ {n} \}, \ {b_ {n} \}$ Și $\{c_{n}\}$ ${\ displaystyle \ {c_ {n} \}}$ $\ {c_ {n} \}$ sunt trei secvențe de numere reale astfel încât definitiv :

a_{n}\leq b_{n}\leq c_{n}

{\ displaystyle a_ {n} \ leq b_ {n} \ leq c_ {n}}

a_ {n} \ leq b_ {n} \ leq c_ {n}

și dacă aveți:

\lim _{n\to +\infty }a_{n}=\lim _{n\to +\infty }c_{n}=l

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to + \ infty} a_ {n} = \ lim _ {n \ to + \ infty} c_ {n} = l}

\ lim _ {{n \ to + \ infty}} a_ {n} = \ lim _ {{n \ to + \ infty}} c_ {n} = l

apoi și:

\lim _{n\to +\infty }b_{n}=l

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to + \ infty} b_ {n} = l}

\ lim _ {{n \ to + \ infty}} b_ {n} = l

Demonstrație

Din definiția limitei unei succesiuni , rezultă că pentru fiecare $\varepsilon >0$ ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$ $\ varepsilon> 0$ exista $Nu., {Nu.}^{'}$ ${\ displaystyle N, N '}$ $N, N '$ astfel încât:

l-\varepsilon <a_{n}<l+\varepsilon \qquad \forall n>N

{\ displaystyle l- \ varepsilon <a_ {n} <l + \ varepsilon \ qquad \ forall n> N}

l- \ varepsilon <a_ {n} <l + \ varepsilon \ qquad \ forall n> N

l-\varepsilon <c_{n}<l+\varepsilon \qquad \forall n>N'

{\ displaystyle l- \ varepsilon <c_ {n} <l + \ varepsilon \ qquad \ forall n> N '}

l- \ varepsilon <c_ {n} <l + \ varepsilon \ qquad \ forall n> N '

Deci pentru fiecare $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ mai mare ca $M=\max\{N,N'\}$ ${\ displaystyle M = \ max \ {N, N '\}}$ $M = \ max \ {N, N '\}$ primesti:

l-\varepsilon <a_{n}\leq b_{n}\leq c_{n}<l+\varepsilon

{\ displaystyle l- \ varepsilon <a_ {n} \ leq b_ {n} \ leq c_ {n} <l + \ varepsilon}

l- \ varepsilon <a_ {n} \ leq b_ {n} \ leq c_ {n} <l + \ varepsilon

Deci pentru fiecare $\varepsilon >0$ ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$ $\ varepsilon> 0$ este un $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ astfel încât:

l-\varepsilon <b_{n}<l+\varepsilon \qquad \forall n>M

{\ displaystyle l- \ varepsilon <b_ {n} <l + \ varepsilon \ qquad \ forall n> M}

l- \ varepsilon <b_ {n} <l + \ varepsilon \ qquad \ forall n> M

Cu alte cuvinte, succesiunea $b_{n}$ ${\ displaystyle b_ {n}}$ $b_ {n}$ Tinde să $L$ ${\ displaystyle l}$ $L$ .

Exemple

Succesiunea:

b_{n}={\sin n\cos n \over n^{2}}

{\ displaystyle b_ {n} = {\ sin n \ cos n \ over n ^ {2}}}

b_ {n} = {\ sin n \ cos n \ peste n ^ {2}}

este „stoars” între secvențe:

a_{n}=-{\frac {1}{n^{2}}}\qquad \ c_{n}={\frac {1}{n^{2}}}

{\ displaystyle a_ {n} = - {\ frac {1} {n ^ {2}}} \ qquad \ c_ {n} = {\ frac {1} {n ^ {2}}}}

a_ {n} = - {\ frac 1 {n ^ {2}}} \ qquad \ c_ {n} = {\ frac 1 {n ^ {2}}}

atâta timp cât:

-1\leq \sin n\cos n\leq 1

{\ displaystyle -1 \ leq \ sin n \ cos n \ leq 1}

-1 \ leq \ sin n \ cos n \ leq 1

implica:

-{\frac {1}{n^{2}}}\leq {\sin n\cos n \over n^{2}}\leq {\frac {1}{n^{2}}}

{\ displaystyle - {\ frac {1} {n ^ {2}}} \ leq {\ sin n \ cos n \ over n ^ {2}} \ leq {\ frac {1} {n ^ {2}} }}

- {\ frac 1 {n ^ {2}}} \ leq {\ sin n \ cos n \ over n ^ {2}} \ leq {\ frac 1 {n ^ {2}}}

pentru fiecare $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ . Ambii $a_{n}$ ${\ displaystyle a_ {n}}$ $a_ {n}$ Și $c_{n}$ ${\ displaystyle c_ {n}}$ $c_ {n}$ ele sunt infinitesimale (adică converg la zero) și, prin urmare, și prin teorema comparației $b_{n}$ ${\ displaystyle b_ {n}}$ $b_ {n}$ este infinitesimal.

Corolar

Teoremele de comparație pot fi aplicate și pentru limite infinite. De sine $\{a_{n}\},\{b_{n}\}$ ${\ displaystyle \ {a_ {n} \}, \ {b_ {n} \}}$ $\ {a_ {n} \}, \ {b_ {n} \}$ sunt două secvențe astfel încât:

a_{n}\leq b_{n}

{\ displaystyle a_ {n} \ leq b_ {n}}

a_ {n} \ leq b_ {n}

pentru fiecare $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ , si daca:

\lim _{n\to +\infty }a_{n}=+\infty

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to + \ infty} a_ {n} = + \ infty}

\ lim _ {{n \ to + \ infty}} a_ {n} = + \ infty

apoi și:

\lim _{n\to +\infty }b_{n}=+\infty

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to + \ infty} b_ {n} = + \ infty}

\ lim _ {{n \ to + \ infty}} b_ {n} = + \ infty

Sau daca:

a_{n}\leq b_{n}

{\ displaystyle a_ {n} \ leq b_ {n}}

a_ {n} \ leq b_ {n}

pentru fiecare $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ , si daca:

\lim _{n\to +\infty }b_{n}=-\infty

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to + \ infty} b_ {n} = - \ infty}

\ lim _ {{n \ to + \ infty}} b_ {n} = - \ infty

apoi și:

\lim _{n\to +\infty }a_{n}=-\infty

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to + \ infty} a_ {n} = - \ infty}

\ lim _ {{n \ to + \ infty}} a_ {n} = - \ infty

Dovada corolarului

Prin ipoteză $\lim _{n\to +\infty }a_{n}=+\infty$ ${\ displaystyle \ lim _ {n \ to + \ infty} a_ {n} = + \ infty}$ $\ lim _ {{n \ to + \ infty}} a_ {n} = + \ infty$ și, prin urmare, din definiția limitei unei succesiuni , pentru fiecare $M>0$ ${\ displaystyle M> 0}$ $M> 0$ există un număr natural $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ astfel încât $a_{n}>M$ ${\ displaystyle a_ {n}> M}$ $a_ {n}> M$ pentru fiecare $n>N$ ${\ displaystyle n> N}$ $n> N$ .

De cand $b_{n}\geq a_{n}$ ${\ displaystyle b_ {n} \ geq a_ {n}}$ $b_ {n} \ geq a_ {n}$ pentru fiecare $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ :

obținem că:

b_{n}\geq a_{n}>M

{\ displaystyle b_ {n} \ geq a_ {n}> M}

b_ {n} \ geq a_ {n}> M

Prin urmare:

\lim _{n\to +\infty }b_{n}=+\infty

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to + \ infty} b_ {n} = + \ infty}

\ lim _ {{n \ to + \ infty}} b_ {n} = + \ infty

.

Funcții

Teorema de comparație pentru funcții afirmă că, date fiind trei funcții $f,g,h:X\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle f, g, h: X \ to \ mathbb {R}}$ $f, g, h: X \ to \ mathbb {R}$ definit pe un domeniu $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ din $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ , și a primit un punct de acumulare $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ pentru $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ , de sine:

\lim _{x\to x_{0}}f(x)=\lim _{x\to x_{0}}h(x)=l

{\ displaystyle \ lim _ {x \ to x_ {0}} f (x) = \ lim _ {x \ to x_ {0}} h (x) = l}

\ lim _ {{x \ to x_ {0}}} f (x) = \ lim _ {{x \ to x_ {0}}} h (x) = l

și există un cartier $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ din $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ astfel încât:

f(x)\leq g(x)\leq h(x)\qquad \forall x\in U\cap X\backslash \left\{x_{0}\right\}

{\ displaystyle f (x) \ leq g (x) \ leq h (x) \ qquad \ forall x \ in U \ cap X \ backslash \ left \ {x_ {0} \ right \}}

f (x) \ leq g (x) \ leq h (x) \ qquad \ forall x \ in U \ cap X \ backslash \ left \ {x_ {0} \ right \}

asa de:

\lim _{x\to x_{0}}g(x)=l

{\ displaystyle \ lim _ {x \ to x_ {0}} g (x) = l}

\ lim _ {{x \ to x_ {0}}} g (x) = l

Demonstrație

Pentru definirea limitei, pentru fiecare $\varepsilon >0$ ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$ $\ varepsilon> 0$ sunt două cartiere $U_{1}$ ${\ displaystyle U_ {1}}$ $U_ {1}$ Și $U_{2}$ ${\ displaystyle U_ {2}}$ $U_ {2}$ din $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ astfel încât:

l-\varepsilon <f(x)<l+\varepsilon \quad \forall x\in U_{1}\setminus \{x_{0}\}

{\ displaystyle l- \ varepsilon <f (x) <l + \ varepsilon \ quad \ forall x \ în U_ {1} \ setminus \ {x_ {0} \}}

l- \ varepsilon <f (x) <l + \ varepsilon \ quad \ forall x \ in U_ {1} \ setminus \ {x_ {0} \}

l-\varepsilon <h(x)<l+\varepsilon \quad \forall x\in U_{2}\setminus \{x_{0}\}

{\ displaystyle l- \ varepsilon <h (x) <l + \ varepsilon \ quad \ forall x \ în U_ {2} \ setminus \ {x_ {0} \}}

l- \ varepsilon <h (x) <l + \ varepsilon \ quad \ forall x \ in U_ {2} \ setminus \ {x_ {0} \}

Prin urmare:

l-\varepsilon <f(x)\leqslant g(x)\leqslant h(x)<l+\varepsilon \quad \forall x\in U_{1}\cap U_{2}\cap U\setminus \{x_{0}\}

{\ displaystyle l- \ varepsilon <f (x) \ leqslant g (x) \ leqslant h (x) <l + \ varepsilon \ quad \ forall x \ in U_ {1} \ cap U_ {2} \ cap U \ setminus \ {x_ {0} \}}

{\ displaystyle l- \ varepsilon <f (x) \ leqslant g (x) \ leqslant h (x) <l + \ varepsilon \ quad \ forall x \ in U_ {1} \ cap U_ {2} \ cap U \ setminus \ {x_ {0} \}}

Deci pentru fiecare $\varepsilon >0$ ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$ $\ varepsilon> 0$ există un cartier $U_{1}\cap U_{2}\cap U$ ${\ displaystyle U_ {1} \ cap U_ {2} \ cap U}$ ${\ displaystyle U_ {1} \ cap U_ {2} \ cap U}$ astfel încât:

l-\varepsilon <g(x)<l+\varepsilon \quad \forall x\in U_{1}\cap U_{2}\cap U\setminus \{x_{0}\}

{\ displaystyle l- \ varepsilon <g (x) <l + \ varepsilon \ quad \ forall x \ in U_ {1} \ cap U_ {2} \ cap U \ setminus \ {x_ {0} \}}

{\ displaystyle l- \ varepsilon <g (x) <l + \ varepsilon \ quad \ forall x \ in U_ {1} \ cap U_ {2} \ cap U \ setminus \ {x_ {0} \}}

Cu alte cuvinte:

\lim _{x\to x_{0}}g(x)=l

{\ displaystyle \ lim _ {x \ to x_ {0}} g (x) = l}

\ lim _ {{x \ to x_ {0}}} g (x) = l

Exemplu

Dovada geometrică a limitei cu teorema comparației

O aplicație importantă a acestei teoreme este verificarea limitei:

\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1

{\ displaystyle \ lim _ {x \ to 0} {\ frac {\ sin x} {x}} = 1}

\ lim _ {{x \ to 0}} {\ frac {\ sin x} {x}} = 1

Vă rugăm să consultați imaginea din dreapta. Este $0<x<\pi /2$ ${\ displaystyle 0 <x <\ pi / 2}$ $0 <x <\ pi / 2$ măsura în radiani a arcului unei circumferințe cu centrul O și raza unitară.

Atunci:

{\overline {PH}}=\sin x\qquad {\overline {QA}}=\tan x

{\ displaystyle {\ overline {PH}} = \ sin x \ qquad {\ overline {QA}} = \ tan x}

\ overline {PH} = \ sin x \ qquad \ overline {QA} = \ tan x

Rezultă că:

\sin x<x<\tan x

{\ displaystyle \ sin x <x <\ tan x}

\ sin x <x <\ tan x

din care, împărțind la $\sin x$ ${\ displaystyle \ sin x}$ $\ sin x$ :

1<{\frac {x}{\sin x}}<{\frac {1}{\cos x}}

{\ displaystyle 1 <{\ frac {x} {\ sin x}} <{\ frac {1} {\ cos x}}}

1 <{\ frac {x} {\ sin x}} <{\ frac {1} {\ cos x}}

luând reciprocele :

\cos x<{\frac {\sin x}{x}}<1

{\ displaystyle \ cos x <{\ frac {\ sin x} {x}} <1}

\ cos x <{\ frac {\ sin x} {x}} <1

știind că inegalitatea nu se schimbă pentru $-x$ ${\ displaystyle -x}$ $-X$ este asta:

\lim _{x\to 0}\cos x=1,

{\ displaystyle \ lim _ {x \ to 0} \ cos x = 1,}

\ lim _ {{x \ to 0}} \ cos x = 1,

exploatând teorema comparației obținem:

\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1

{\ displaystyle \ lim _ {x \ to 0} {\ frac {\ sin x} {x}} = 1}

\ lim _ {{x \ to 0}} {\ frac {\ sin x} {x}} = 1

Bibliografie

GC Barozzi, Primul curs de analiză matematică , Bologna, Zanichelli, 1998. ISBN 88-080-1169-0 .
(EN) Stewart, James (2008). Calcul multivariabil (ediția a 6-a). pp. 909–910. ISBN 0495011630 .

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere pe teorema comparației

linkuri externe

( EN ) Squeeze Theorem de Bruce Atwood (Colegiul Beloit) după lucrarea de, Selwyn Hollis (Armstrong Atlantic State University), Wolfram Demonstrations Project .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

V · D · M Analiza matematică
Calcul infinitesimal	Număr real · infinitesimal · O mare · Succesiune ( de funcții ) · Succesiunea lui Cauchy · teorema Bolzano-Weierstrass · estimare asimptotică · Limită ( o funcție · o succesiune · formă nedeterminată ) · Teorema a doi polițiști · Limită considerabilă · punct de acumulare · punct izolat · În jurul valorii · Serie ( funcție ) · criterii de convergență · limită a funcțiilor multivariate
Studiul continuității	Funcție Continuu · Punct de discontinuitate · uniform continuitate · Lipschitz Function · Bolzano Teorema · Weierstrass Teorema · Teorema valorilor intermediare · Heine-Cantor teorema · Modul continuitate · Functia semicontinuă · separa continuitate ·Piatra-Weierstrass Teorema
Calcul diferențial	Derivată · Differential · reguli de derivare · Fermat Teorema · teorema lui Rolle · Lagrange Teorema · Cauchy Teorema · Teorema lui Darboux · teorema lui Taylor · serie Taylor · functia diferențiabilă · Gradient · Jacobian · Hessiană · formă Differential · Generalizari de derivate · derivat parțial · derivat amestecat
Grâu integral	Primitive · Riemann integral · improprie Integral · Lebesgue Integral · Teorema fundamentala · Integrare Metode · Tabele · Integral multiple , linie ( 1ª specii · 2ª specii ) și suprafața ( volum )
Studiul funcției	Funcție · Variabilă · domeniul si · funcții par și impar · Funcția periodică · Funcția monotonă · funcției convexe · maxim și minim al unei funcții · unghiulară Punct · cuspid · punct de inflexiune · Asymptote · graficul unei funcții · injecție Funcție
Inegalități	Inegalitate triunghiulară · Inegalitate Cauchy-Schwarz · Bernoulli · Jensen · Hölder · Young · Minkowski
Alte	Apropierea Stirling · produs Wallis · Funcție Domeniu · Implicite funcție teorema · Teorema funcției inverse · Portduză cu funcții · Metric spațiu · normata spațiu · gama · Împreună neglijabile · închis Împreună · Împreună deschis · Ball · homeomorphism · homeomorphism locale · Difeomorfism · Locale Diffeomorfism · Clasa C a unei funcții · Ecuație diferențială · Problemă Cauchy