Problema lui Cauchy

În matematică , problema Cauchy constă în găsirea soluției unei ecuații diferențiale de ordine $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ :

f(x,y(x),y'(x),y''(x),\dots ,y^{n}(x))=0

{\ displaystyle f (x, y (x), y '(x), y' '(x), \ dots, y ^ {n} (x)) = 0}

{\ displaystyle f (x, y (x), y '(x), y' '(x), \ dots, y ^ {n} (x)) = 0}

astfel încât să îndeplinească condițiile inițiale:

y(a)=y_{0}

{\ displaystyle y (a) = y_ {0}}

{\ displaystyle y (a) = y_ {0}}

y'(a)=y_{1}

{\ displaystyle y '(a) = y_ {1}}

{\ displaystyle y '(a) = y_ {1}}

y''(a)=y_{2}

{\ displaystyle y '' (a) = y_ {2}}

{\ displaystyle y '' (a) = y_ {2}}

\dots

{\ displaystyle \ dots}

{\ displaystyle \ dots}

y^{n-1}(a)=y_{n-1}

{\ displaystyle y ^ {n-1} (a) = y_ {n-1}}

{\ displaystyle y ^ {n-1} (a) = y_ {n-1}}

Teorema existenței și unicității pentru o problemă Cauchy arată că soluția există și este locală unică, dacă $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ respectați ipotezele corespunzătoare. Este întotdeauna posibilă reducerea unei probleme de comandă $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ la un sistem de $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ ecuații diferențiale obișnuite, adică de ordinul 1, prin setarea:

z_{1}(x)=y(x)

{\ displaystyle z_ {1} (x) = y (x)}

{\ displaystyle z_ {1} (x) = y (x)}

z_{2}(x)=z_{1}'(x)=y'(x)

{\ displaystyle z_ {2} (x) = z_ {1} '(x) = y' (x)}

{\ displaystyle z_ {2} (x) = z_ {1} '(x) = y' (x)}

z_{3}(x)=z_{2}'(x)=y''(x)

{\ displaystyle z_ {3} (x) = z_ {2} '(x) = y' '(x)}

{\ displaystyle z_ {3} (x) = z_ {2} '(x) = y' '(x)}

\dots

{\ displaystyle \ dots}

{\ displaystyle \ dots}

z_{n}(x)=z_{n-1}'(x)=y^{n-1}(x)

{\ displaystyle z_ {n} (x) = z_ {n-1} '(x) = y ^ {n-1} (x)}

{\ displaystyle z_ {n} (x) = z_ {n-1} '(x) = y ^ {n-1} (x)}

Abordarea unei probleme Cauchy necesită de obicei studierea formei de graniță a domeniului definitoriu al ecuației și determinarea unei soluții care să satisfacă condițiile de graniță Cauchy .

Problema valorii inițiale

În matematică , în contextul studiului ecuațiilor diferențiale , o problemă de valoare inițială este o ecuație diferențială obișnuită împreună cu o valoare specifică a funcției necunoscute la un anumit punct din domeniul soluției, numit condiția inițială . În fizică sau alte științe, modelarea unui sistem necesită adesea rezolvarea unei probleme la valorile inițiale; în acest context, ecuația diferențială descrie evoluția în timp în funcție de condițiile inițiale.

Este o ecuație diferențială:

y'(t)=f(t,y(t))

{\ displaystyle y '(t) = f (t, y (t))}

{\ displaystyle y '(t) = f (t, y (t))}

cu $f:\mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} \ times \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} \ times \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$ , care are un punct asociat în domeniul $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ :

(t_{0},y_{0})\in \mathbb {R} \times \mathbb {R}

{\ displaystyle (t_ {0}, y_ {0}) \ in \ mathbb {R} \ times \ mathbb {R}}

{\ displaystyle (t_ {0}, y_ {0}) \ in \ mathbb {R} \ times \ mathbb {R}}

numită condiție inițială .

O soluție la o problemă de valoare inițială este o funcție $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ care este soluția ecuației diferențiale și îndeplinește condiția $y(t_{0})=y_{0}$ ${\ displaystyle y (t_ {0}) = y_ {0}}$ $y (t_ {0}) = y_ {0}$ .

În problemele de ordin superior este luat în considerare $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ ca vector , ale cărui variabile corespund derivatelor de ordinul doi sau superior. Mai general, funcția necunoscută $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ poate presupune valori în spații de dimensiune infinită, cum ar fi spațiile Banach sau spațiile de distribuție .

Existența și unicitatea soluției

Același subiect în detaliu: Teorema existenței și unicității pentru o problemă Cauchy .

Existența și unicitatea soluției pot fi demonstrate pentru o tipologie largă a problemelor de valoare inițială.

Teorema existenței și unicității pentru o problemă Cauchy (teorema Picard-Lindelöf) garantează existența unei soluții unice într-un anumit interval conținând $t_{0}$ ${\ displaystyle t_ {0}}$ $t_ {0}$ de sine $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ și derivatul său parțial $\partial f/\partial y$ ${\ displaystyle \ partial f / \ partial y}$ ${\ displaystyle \ partial f / \ partial y}$ sunt continue într-o regiune care conține $t_{0}$ ${\ displaystyle t_ {0}}$ $t_ {0}$ Și $y_{0}$ ${\ displaystyle y_ {0}}$ $y_ {0}$ . Dovada acestei teoreme se bazează pe reformularea problemei într-o ecuație integrală . Integrala poate fi considerată un operator care „mapează” o funcție la alta, astfel încât soluția să fie un punct fix al operatorului. Apoi folosim teorema contracției pentru a demonstra că există un singur punct fix, care este soluția problemei valorii inițiale.

Există, de asemenea, o dovadă mai veche a teoremei Picard-Lindelöf, care se bazează pe construcția unei secvențe de funcții care converg la soluția ecuației integrale și, prin urmare, la soluția problemei valorii inițiale. Această construcție este uneori numită „metoda lui Picard” sau „metodă de aproximare succesivă”. Această versiune este practic un caz special al teoremei contracției.

Hiroshi Okamura a trasat o condiție necesară și suficientă pentru ca soluția unei probleme de valoare inițială să fie unică. Această condiție este legată de existența unei funcții Lyapunov pentru sistem.

În unele cazuri, funcția $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ nu este elegant $C_{1}$ ${\ displaystyle C_ {1}}$ $C_ {1}$ , sau chiar Lipschitz , prin urmare existența locală a unei singure soluții nu este garantată. Teorema existenței lui Peano asigură că chiar și pentru $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ continuă pur și simplu, existența soluțiilor este garantată local; problema este că nu există nicio garanție de unicitate.

Exemple

Soluția generală a:

y'+3y=6t+5\qquad y(0)=3

{\ displaystyle y '+ 3y = 6t + 5 \ qquad y (0) = 3}

{\ displaystyle y '+ 3y = 6t + 5 \ qquad y (0) = 3}

se poate dovedi a fi:

y(t)=2e^{-3t}+2t+1

{\ displaystyle y (t) = 2e ^ {- 3t} + 2t + 1}

{\ displaystyle y (t) = 2e ^ {- 3t} + 2t + 1}

Intr-adevar:

{\begin{aligned}y'+3y&=(d/dt)(2e^{-3t}+2t+1)+3(2e^{-3t}+2t+1)\\&=(-6e^{-3t}+2)+(6e^{-3t}+6t+3)\\&=6t+5\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} y '+ 3y & = (d / dt) (2e ^ {- 3t} + 2t + 1) +3 (2e ^ {- 3t} + 2t + 1) \\ & = (-6e ^ {- 3t} +2) + (6e ^ {- 3t} + 6t + 3) \\ & = 6t + 5 \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} y '+ 3y & = (d / dt) (2e ^ {- 3t} + 2t + 1) +3 (2e ^ {- 3t} + 2t + 1) \\ & = (-6e ^ {- 3t} +2) + (6e ^ {- 3t} + 6t + 3) \\ & = 6t + 5 \ end {align}}}

Legea mișcării

Să luăm în considerare mișcarea rectilinie accelerată uniform a unui punct material; se caracterizează prin ${\vec {a}}=costante$ ${\ displaystyle {\ vec {a}} = constant}$ ${\ displaystyle {\ vec {a}} = constant}$ .

Legea mișcării ${\vec {s}}(t)=s(t,{\vec {v}}(t),{\vec {a}}(t))$ ${\ displaystyle {\ vec {s}} (t) = s (t, {\ vec {v}} (t), {\ vec {a}} (t))}$ ${\ displaystyle {\ vec {s}} (t) = s (t, {\ vec {v}} (t), {\ vec {a}} (t))}$ , cu condițiile inițiale

${\vec {s}}(t_{0})={\vec {s}}_{0}$ ${\ displaystyle {\ vec {s}} (t_ {0}) = {\ vec {s}} _ {0}}$ ${\ vec s} (t_ {0}) = {\ vec s} _ {0}$ (poziția inițială, instantaneu $t_{0}$ ${\ displaystyle t_ {0}}$ $t_ {0}$ ),
${\vec {v}}(t_{0})={\vec {v}}_{0}$ ${\ displaystyle {\ vec {v}} (t_ {0}) = {\ vec {v}} _ {0}}$ ${\ displaystyle {\ vec {v}} (t_ {0}) = {\ vec {v}} _ {0}}$ (viteza inițială),

Și

{\vec {s}}(t)={\vec {s}}_{0}+{\vec {v}}_{0}t+{\frac {1}{2}}{\vec {a}}t^{2}

{\ displaystyle {\ vec {s}} (t) = {\ vec {s}} _ {0} + {\ vec {v}} _ {0} t + {\ frac {1} {2}} { \ old {a}} t ^ {2}}

{\ vec s} (t) = {\ vec s} _ {0} + {\ vec v} _ {0} t + {\ frac {1} {2}} {\ vec a} t ^ {2}

care este soluția problemei Cauchy.

Bibliografie

Nicola Fusco , Paolo Marcellini , Carlo Sbordone , Lecții de analiză matematică două , Zanichelli, 2020, ISBN 9788808520203 , Capitolul 4.
(EN) Coddington, Earl A. și Levinson, Norman,Teoria ecuațiilor diferențiale ordinare , New York-Toronto-Londra, McGraw-Hill Book Company, Inc., 1955.
( EN ) Hirsch, Morris W. și Smale, Stephen, Ecuații diferențiale, sisteme dinamice și algebră liniară , New York-Londra, Academic Press [O filială a lui Harcourt Brace Jovanovich, Publishers], 1974.
( EN , FR ) Hirosi Okamura, Condition nécessaire et suffisante remplie par les équations différentielles ordinaires sans points de Peano , in Mem. Coll. Sci. Univ. Kyoto Ser. A. , vol. 24, 1942, pp. 21-28.
( EN ) Polyanin, Andrei D. și Zaitsev, Valentin F., Manual de soluții exacte pentru ecuații diferențiale obișnuite , ediția a II-a, Boca Raton, FL, Chapman & Hall / CRC, 2003, ISBN 1-58488-297-2 .
( EN ) James C. Robinson, Sisteme dinamice cu dimensiuni infinite: o introducere în PDE parabolice disipative și teoria atrăgătorilor globali , Cambridge, Cambridge University Press, 2001, xviii + 461, ISBN 0-521-63204-8 .

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) AP Soldatov, Cauchy problem , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.
(EN) Eric W. Weisstein, Cauchy Problem , în MathWorld Wolfram Research.
Applet pe problema lui Cauchy pentru ecuații diferențiale ordinare de ordinul întâi.

Controlul autorității	Tezaur BNCF 37804 · LCCN (EN) sh85021438 · BNF (FR) cb121249087 (data)

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

V · D · M Analiza matematică
Calcul infinitesimal	Număr real · infinitesimal · O mare · Succesiune ( de funcții ) · Succesiunea lui Cauchy · teorema Bolzano-Weierstrass · estimare asimptotică · Limită ( o funcție · o succesiune · formă nedeterminată ) · Teorema a doi polițiști · Limită considerabilă · punct de acumulare · punct izolat · În jurul valorii · Serie ( funcție ) · criterii de convergență · limită a funcțiilor multivariate
Studiul continuității	Funcție Continuu · Punct de discontinuitate · uniform continuitate · Lipschitz Function · Bolzano Teorema · Weierstrass Teorema · Teorema valorilor intermediare · Heine-Cantor teorema · Modul continuitate · Functia semicontinuă · separa continuitate ·Piatra-Weierstrass Teorema
Calcul diferențial	Derivată · Differential · reguli de derivare · Fermat Teorema · teorema lui Rolle · Lagrange Teorema · Cauchy Teorema · Teorema lui Darboux · teorema lui Taylor · serie Taylor · functia diferențiabilă · Gradient · Jacobian · Hessiană · formă Differential · Generalizari de derivate · derivat parțial · derivat amestecat
Grâu integral	Primitive · Riemann integral · improprie Integral · Lebesgue Integral · Teorema fundamentala · Integrare Metode · Tabele · Integral multiple , linie ( 1ª specii · 2ª specii ) și suprafața ( volum )
Studiul funcției	Funcție · Variabilă · domeniul si · funcții par și impar · Funcția periodică · Funcția monotonă · funcției convexe · maxim și minim al unei funcții · unghiulară Punct · cuspid · punct de inflexiune · Asymptote · graficul unei funcții · injecție Funcție
Inegalități	Inegalitate triunghiulară · Inegalitate Cauchy-Schwarz · Bernoulli · Jensen · Hölder · Young · Minkowski
Alte	Apropierea Stirling · produs Wallis · Funcție Domeniu · Implicite funcție teorema · Teorema funcției inverse · Portduză cu funcții · Metric spațiu · normata spațiu · gama · Împreună neglijabile · închis Împreună · Împreună deschis · Ball · homeomorphism · homeomorphism locale · Difeomorfism · Locale Diffeomorfism · Clasa C a unei funcții · Ecuație diferențială · Problemă Cauchy