Semi-continuitate

În analiza matematică , semicontinuitatea unei funcții reale este o proprietate mai slabă decât continuitatea . Intuitiv, dacă o funcție continuă într-un punct este limitată local, o funcție semicontinuă inferior (sau superior) la un punct va fi limitată doar local inferior (sau superior).

Definiția semicontinuității, ca și cea a continuității, poate fi plasată și într-un spațiu abstract, cum ar fi un spațiu topologic .

Definiție

Funcția semi-continuă de mai jos. Nu este semicontinuu mai sus, deoarece limita sa maximă în

x_{0}

{\ displaystyle x_ {0}}

x_0

este egal cu limita dreaptă

Funcție semi-continuă în partea de sus

O functie $f:X\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle f: X \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle f: X \ to \ mathbb {R}}$ definit într-un spațiu topologic se numește semicontinuu inferior (sci) în $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ dacă pentru fiecare $\varepsilon >0$ ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$ $\ varepsilon> 0$ există un cartier $U(x_{0})$ ${\ displaystyle U (x_ {0})}$ $U (x_ {0})$ astfel încât:

f(x)>f(x_{0})-\varepsilon \

{\ displaystyle f (x)> f (x_ {0}) - \ varepsilon \}

{\ displaystyle f (x)> f (x_ {0}) - \ varepsilon \}

pentru fiecare $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ în $U(x_{0})$ ${\ displaystyle U (x_ {0})}$ $U (x_ {0})$ . Echivalent, $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ se spune semicontinuu mai jos în $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ de sine:

\liminf _{x\to x_{0}}f(x)\geq f(x_{0})

{\ displaystyle \ liminf _ {x \ to x_ {0}} f (x) \ geq f (x_ {0})}

{\ displaystyle \ liminf _ {x \ to x_ {0}} f (x) \ geq f (x_ {0})}

unde este $\liminf$ ${\ displaystyle \ liminf}$ $\ liminf$ este limita inferioară a $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ în $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ ^[1] . O funcție semicontinuă de mai jos are, prin urmare, toate imaginile cu siguranță peste sau aproape de valoare $f(x_{0})$ ${\ displaystyle f (x_ {0})}$ $f (x_0)$ .

O functie $f:X\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle f: X \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle f: X \ to \ mathbb {R}}$ se spune semicontinuu mai sus în $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ (SCS) dacă pentru fiecare $\varepsilon >0$ ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$ $\ varepsilon> 0$ există un cartier $U(x_{0})$ ${\ displaystyle U (x_ {0})}$ $U (x_ {0})$ astfel încât:

f(x)<f(x_{0})+\varepsilon \

{\ displaystyle f (x) <f (x_ {0}) + \ varepsilon \}

{\ displaystyle f (x) <f (x_ {0}) + \ varepsilon \}

pentru fiecare $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ în $U(x_{0})$ ${\ displaystyle U (x_ {0})}$ $U (x_ {0})$ . Echivalent, $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ se spune semicontinuu mai sus în $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ de sine:

\limsup _{x\to x_{0}}f(x)\leq f(x_{0})

{\ displaystyle \ limsup _ {x \ to x_ {0}} f (x) \ leq f (x_ {0})}

{\ displaystyle \ limsup _ {x \ to x_ {0}} f (x) \ leq f (x_ {0})}

unde este $\limsup$ ${\ displaystyle \ limsup}$ $\ limsup$ este limita superioară a $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ în $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ . O funcție semi-continuă în partea de sus are astfel toate imaginile cu siguranță sub sau aproape de valoare $f(x_{0})$ ${\ displaystyle f (x_ {0})}$ $f (x_0)$ .

Exemple

Funcția număr întreg , $f(x)=\lfloor x\rfloor$ ${\ displaystyle f (x) = \ lfloor x \ rfloor}$ ${\ displaystyle f (x) = \ lfloor x \ rfloor}$ este semi-continuu în vârf.
Întreaga caracteristică de top $f(x)=\lceil x\rceil$ ${\ displaystyle f (x) = \ lceil x \ rceil}$ ${\ displaystyle f (x) = \ lceil x \ rceil}$ este semi-continuu dedesubt.
Funcția Dirichlet $f(x)=\left\{{\begin{matrix}1&x\in \mathbb {Q} \\0&x\in \mathbb {R} -\mathbb {Q} \end{matrix}}\right.$ ${\ displaystyle f (x) = \ left \ {{\ begin {matrix} 1 & x \ in \ mathbb {Q} \\ 0 & x \ in \ mathbb {R} - \ mathbb {Q} \ end {matrix }} \ dreapta.}$ ${\ displaystyle f (x) = \ left \ {{\ begin {matrix} 1 & x \ in \ mathbb {Q} \\ 0 & x \ in \ mathbb {R} - \ mathbb {Q} \ end {matrix }} \ dreapta.}$ este semicontinuu mai jos în fiecare punct irațional și semicontinuu mai sus în fiecare punct rațional .
Funcția indicator a unui set deschis este semicontinuă mai jos; cea a unui set închis este semicontinuă în partea de sus

Proprietate

O funcție este continuă dacă și numai dacă este atât semicontinuă dedesubt, cât și semicontinuă deasupra.

O funcție semicontinuă de mai jos într-un set compact acceptă un minim . În mod similar, o funcție semi-continuă de mai sus într-un set compact admite un maxim .

De sine $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ Și $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ sunt semi-continue în partea de sus, atunci este și el $f+g$ ${\ displaystyle f + g}$ $f + g$ și dacă ambele sunt și ele non-negative $f g$ ${\ displaystyle fg}$ $fg$ . De asemenea, dacă $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este semicontinuu la vârf, atunci $k f$ ${\ displaystyle kf}$ ${\ displaystyle kf}$ (cu $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ <0) este semicontinuu mai jos.

O funcție este semicontinuă mai jos dacă și numai dacă există o succesiune de funcții pas $(g_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ ${\ displaystyle (g_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ ${\ displaystyle (g_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ astfel încât:

$g_{n}$ ${\ displaystyle g_ {n}}$ $g_ {n}$ este semicontinuu mai jos pentru fiecare $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ ;
$g_{n}(x)\leq g_{n+1}(x)$ ${\ displaystyle g_ {n} (x) \ leq g_ {n + 1} (x)}$ ${\ displaystyle g_ {n} (x) \ leq g_ {n + 1} (x)}$ pentru fiecare $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ Și $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ ;
$\lim _{n\to \infty }g_{n}(x)=f(x)$ ${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} g_ {n} (x) = f (x)}$ ${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} g_ {n} (x) = f (x)}$ , acesta este $g_{n}$ ${\ displaystyle g_ {n}}$ $g_ {n}$ converge punctual la $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ .

De sine $(f_{i})_{i\in I}$ ${\ displaystyle (f_ {i}) _ {i \ în I}}$ ${\ displaystyle (f_ {i}) _ {i \ în I}}$ este o secvență de funcții semi-continue de mai jos, apoi funcția definită ca $f(x)=\sup _{i\in I}f_{i}(x)$ ${\ displaystyle f (x) = \ sup _ {i \ in I} f_ {i} (x)}$ ${\ displaystyle f (x) = \ sup _ {i \ in I} f_ {i} (x)}$ este semi-continuu dedesubt.

Plicul inferior $f_{*}$ ${\ displaystyle f _ {*}}$ $f _ {*}$ al oricărei funcții este semicontinuu în partea de sus; avem asta $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este semicontinuu în partea de sus dacă și numai dacă $f=f_{*}$ ${\ displaystyle f = f _ {*}}$ ${\ displaystyle f = f _ {*}}$ .

Notă

^ H. Brezis , pagina 11 .

Bibliografie

Haïm Brezis , Analiza funcțională - Teorie și aplicații , Napoli, Liguori, 1990, ISBN 88-207-1501-5 .

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere în semi-continuitate

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] H. Brezis , pagina 11 .

[1]

V · D · M Analiza matematică
Calcul infinitesimal	Număr real · infinitesimal · O mare · Succesiune ( de funcții ) · Succesiunea lui Cauchy · teorema Bolzano-Weierstrass · estimare asimptotică · Limită ( o funcție · o succesiune · formă nedeterminată ) · Teorema a doi polițiști · Limită considerabilă · punct de acumulare · punct izolat · În jurul valorii · Serie ( funcție ) · criterii de convergență · limită a funcțiilor multivariate
Studiul continuității	Funcție Continuu · Punct de discontinuitate · uniform continuitate · Lipschitz Function · Bolzano Teorema · Weierstrass Teorema · Teorema valorilor intermediare · Heine-Cantor teorema · Modul continuitate · Functia semicontinuă · separa continuitate ·Piatra-Weierstrass Teorema
Calcul diferențial	Derivată · Differential · reguli de derivare · Fermat Teorema · teorema lui Rolle · Lagrange Teorema · Cauchy Teorema · Teorema lui Darboux · teorema lui Taylor · serie Taylor · functia diferențiabilă · Gradient · Jacobian · Hessiană · formă Differential · Generalizari de derivate · derivat parțial · derivat amestecat
Grâu integral	Primitive · Riemann integral · improprie Integral · Lebesgue Integral · Teorema fundamentala · Integrare Metode · Tabele · Integral multiple , linie ( 1ª specii · 2ª specii ) și suprafața ( volum )
Studiul funcției	Funcție · Variabilă · domeniul si · funcții par și impar · Funcția periodică · Funcția monotonă · funcției convexe · maxim și minim al unei funcții · unghiulară Punct · cuspid · punct de inflexiune · Asymptote · graficul unei funcții · injecție Funcție
Inegalități	Inegalitate triunghiulară · Inegalitate Cauchy-Schwarz · Bernoulli · Jensen · Hölder · Young · Minkowski
Alte	Apropierea Stirling · produs Wallis · Funcție Domeniu · Implicite funcție teorema · Teorema funcției inverse · Portduză cu funcții · Metric spațiu · normata spațiu · gama · Împreună neglijabile · închis Împreună · Împreună deschis · Ball · homeomorphism · homeomorphism locale · Difeomorfism · Locale Diffeomorfism · Clasa C a unei funcții · Ecuație diferențială · Problemă Cauchy