funcţia Dirichlet

Funcția Dirichlet este o funcție de o variabilă reală , care presupune doar două valori, care diferă în funcție dacă variabila independentă este rațional sau irațional . Această funcție a fost introdusă de Peter Dirichlet ca un exemplu al unei funcții foarte departe de funcțiile tradiționale cunoscute până atunci în analiza matematică .

Definiție

Funcția Dirichlet este definită după cum urmează:

\chi (x)={\begin{cases}1&x\in \mathbb {Q} \\0&x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \end{cases}}

{\ Displaystyle \ chi (x) = {\ begin {cazuri} 1 & x \ în \ mathbb {Q} \\ 0 & x \ în \ mathbb {R} \ setminus \ mathbb {Q} \ end {cazuri}} }

\ Chi (x) = {\ begin {cazuri} 1 & x \ în {\ mathbb {Q}} \\ 0 & x \ în {\ mathbb {R}} \ setminus {\ mathbb {Q}} \ end { cazuri}}

Este funcția de indicator al setului de rationale $\mathbb {Q}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ $\ mathbb {Q}$ . Funcția definită cu valori răsturnate este numit uneori o funcție Dirichlet:

\chi (x)={\begin{cases}0&x\in \mathbb {Q} \\1&x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \end{cases}}

{\ Displaystyle \ chi (x) = {\ begin {cazuri} 0 & x \ în \ mathbb {Q} \\ 1 & x \ în \ mathbb {R} \ setminus \ mathbb {Q} \ end {cazuri}} }

\ Chi (x) = {\ begin {cazuri} 0 & x \ în {\ mathbb {Q}} \\ 1 & x \ în {\ mathbb {R}} \ setminus {\ mathbb {Q}} \ end { cazuri}}

În urma acestei din urmă funcția va fi indicată ca $1-\chi$ ${\ displaystyle 1- \ chi}$ $1- \ care$ .

Continuitate și integrabilitate

Funcția Dirichlet este un exemplu de o funcție care nu este continuă în orice punct al domeniului , de fapt , fiecare cartier din orice punct conține întotdeauna cel puțin un număr rațional și un număr irațional (de fapt , puncte infinit pentru ambele categorii) și , prin urmare , două puncte în care funcția ia valoarea 0 și 1.

Funcția nu este integrabilă în conformitate cu Riemann , dar integrabila conform Lebesgue . Deoarece funcția presupune valoarea 0 aproape peste tot (din setul de numere raționale este un set de măsuri zero , deoarece setul de numere raționale este numărabilă, în timp ce irrationals nu sunt) rezultatul operației de integrare pe orice interval de $[a,b]$ ${\ displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$ este 0. Din motive similare, integralei funcției $1-\chi$ ${\ displaystyle 1- \ chi}$ $1- \ care$ pe interval $[a,b]$ ${\ displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$ merita $b-a$ ${\ displaystyle ba}$ $b-a$ .

alte proprietăți

Graficul funcției ar apărea ca două orizontale linii , de ordonata 0 și 1, „stins“, care este format din mai multe puncte infinit de aproape și de punctul de „găuri“ infinit aproape.

Funcția Dirichlet poate fi aproximat prin functii continue conform următoarei formule:

\chi (x)=\lim _{n\rightarrow \infty }\lim _{m\rightarrow \infty }\left[\cos \left(2\pi n!x\right)\right]^{m}

{\ Displaystyle \ chi (x) = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} \ lim _ {m \ rightarrow \ infty} \ stânga [\ cos \ stânga (2 \ pi n! X \ dreapta) \ right] ^ {m}}

\ Chi (x) = \ lim _ {{n \ rightarrow \ infty}} \ lim _ {{m \ rightarrow \ infty}} \ stânga [\ cos \ stânga (2 \ pi n! X \ dreapta) \ right] ^ {m}

.

Functia $1-\chi$ ${\ displaystyle 1- \ chi}$ $1- \ care$ prezintă, de asemenea, o relativă improprie și minimă absolută pentru fiecare x rațională, și o improprie maximă relativă și absolută pentru fiecare x irațional.

Funcția Dirichlet modificată

Același subiect în detaliu: funcția Thomae .

In 1854 Bernhard Riemann a descris o variantă (numită și funcția Thomae) a funcției Dirichlet, care, deși discontinuu pe fiecare interval al liniei reale , este integrabilă conform Riemann. O definiție posibilă a acestei funcții este:

\mathrm {X} (x)={\begin{cases}{\frac {1}{q}}&x={\frac {p}{q}},{\mbox{con }}{\frac {p}{q}}{\mbox{ ridotta ai minimi termini}}\\0&x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} .\end{cases}}

{\ Displaystyle \ mathrm {X} (x) = {\ begin {cazuri} {\ frac {1} {q}} & x = {\ frac {p} {q}}, {\ mbox {con}} { \ frac {p} {q}} {\ mbox {redusă la minimum}} \\ 0 & x \ în \ mathbb {R} \ setminus \ mathbb {Q}. \ end {cazuri}}}

\ Mathrm {X} (x) = {\ begin {cazuri} {\ frac {1} {q}} & x = {\ frac {p} {q}}, {\ mbox {con}} {\ frac { p} {q}} {\ mbox {redusă la minimum}} \\ 0 & x \ în {\ mathbb {R}} \ setminus {\ mathbb {q}}. \ end {cazuri}}

Această funcție este integrabilă în conformitate cu Riemann, deoarece dat nici o valoare pozitivă $\varepsilon$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ , Funcția depășește $\varepsilon$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ numai într-un număr finit de puncte; a sumelor integrale , prin urmare , că aproximează valoarea integralei tinde la zero. În plus, funcția este, de asemenea, continuă în orice valoare nerațională $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ : De fapt luat un număr irațional $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ și a stabilit o valoare pozitivă $\varepsilon$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ , Există întotdeauna un cartier de $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ in care $\mathrm {X} (x_{0})<\varepsilon$ ${\ Displaystyle \ mathrm {X} (X_ {0}) <\ varepsilon}$ $\ Mathrm {X} (X_ {0}) <\ varepsilon$ ; rezultă, prin urmare, că: $\lim _{x\rightarrow x_{0}}\mathrm {X} (x)=0$ ${\ Displaystyle \ lim _ {x \ rightarrow X_ {0}} \ mathrm {X} (x) = 0}$ $\ Lim _ {{x \ rightarrow X_ {0}}} \ mathrm {X} (x) = 0$ .

Bibliografie

John Stillwell, Teorema fundamentală a calculului, în Claudio Bartocci și Piergiorgio Odifreddi (ed.), Matematica II - Probleme și teoreme, Torino, Einaudi, 2008, ISBN 978-88-06-16425-6 .

Elemente conexe

Măsura Lebesgue

linkuri externe

O discuție privind integrabilitatea funcției Dirichlet , pe vialattea.net.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică