Aproape peste tot

În matematică , termenul aproape peste tot (adesea prescurtat în qo , sau ae din engleză aproape peste tot ) definește o proprietate care se află în toate punctele unui set , cu excepția cel mult într-un subset de măsură zero . Bineînțeles, pentru ca această noțiune să fie bine pusă, un spațiu de măsurare trebuie definit pe ansamblul în cauză. În teoria probabilității , termenul aproape sigur (sau ca din engleză aproape sigur ) este folosit și pentru a indica același concept. În literatura științifică mai veche, termenul francez presque partout (uneori abreviat pp ) este de asemenea frecvent utilizat (cu același sens).

De obicei, proprietățile verificate aproape peste tot, deși mai puțin restrictive decât proprietățile verificate peste tot, caracterizează anumite regularități, cum ar fi derivabilitatea .

Exemple

Potrivit lui Riemann, o funcție continuă aproape peste tot poate fi integrată.
O funcție care deține toată linia reală, cu excepția unui set de puncte numărabil (acest set are măsură zero conform lui Lebesgue ) are o integrală nulă, exact ca o funcție identică nulă în toate R.
Funcția Cantor-Vitali , definită în intervalul închis $[0,1]$ ${\ displaystyle [0,1]}$ $[0,1]$ , este derivabil în orice $[0,1]$ ${\ displaystyle [0,1]}$ $[0,1]$ cu excepția faptului că în setul Cantor , al lui Lebesgue măsoară zero și, acolo unde există, are derivată identică 0.
Pentru a remedia unele ambiguități, vorbim adesea despre proprietăți valabile aproape peste tot și proprietăți valabile pentru mai puțin decât echivalența aproape peste tot . Să luăm un exemplu. Să luăm în considerare cele două funcții reale:
$f(x)={\begin{cases}0\quad {\mbox{se}}\,x\neq 0\\1\quad {\mbox{se}}\,x=0\end{cases}}$ ${\ displaystyle f (x) = {\ begin {cases} 0 \ quad {\ mbox {se}} \, x \ neq 0 \\ 1 \ quad {\ mbox {se}} \, x = 0 \ end { cazuri}}}$ $f (x) = {\ begin {cases} 0 \ quad {\ mbox {se}} \, x \ neq 0 \\ 1 \ quad {\ mbox {se}} \, x = 0 \ end {cases}}$
$g(x)={\begin{cases}0\quad {\mbox{se}}\,x<0\\1\quad {\mbox{se}}\,x\geq 0\end{cases}}$ ${\ displaystyle g (x) = {\ begin {cases} 0 \ quad {\ mbox {se}} \, x <0 \\ 1 \ quad {\ mbox {se}} \, x \ geq 0 \ end { cazuri}}}$ $g (x) = {\ begin {cases} 0 \ quad {\ mbox {se}} \, x <0 \\ 1 \ quad {\ mbox {se}} \, x \ geq 0 \ end {cases}}$
Primul, $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ , este continuu până la echivalență aproape peste tot , în sensul că există o funcție continuă (în acest caz funcția identică nulă), care este egală cu $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ în afara unui set de măsuri zero (setul constând din punctul unic $x=0$ ${\ displaystyle x = 0}$ $x = 0$ ). In schimb $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ este aproape peste tot continuu: ansamblul de puncte pe care nu este continuu are măsură zero (fiind constituit doar din punct $x=0$ ${\ displaystyle x = 0}$ $x = 0$ ), dar nu există o funcție continuă care să fie egală cu $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ aproape peste tot!

Aplicații

În setul de funcții măsurabile pe un spațiu de măsurare dat, proprietatea de a fi egal aproape peste tot definește o relație de echivalență . Aceasta este utilizată pentru a defini unele dintre cele mai importante spații de analiză matematică , cum ar fi spațiile Lebesgue și spațiile Sobolev .
În teoria ergodică , teorema lui Birkhoff stabilește veridicitatea unor proprietăți pentru aproape toate punctele unui sistem dinamic conservator . Acest rezultat, foarte general, dar nu constructiv, a făcut obiectul observațiilor multor matematicieni celebri, precum Aleksandr Yakovlevich Khinchin , care vizează reducerea valorii rezultatelor valabile aproape peste tot în acest domeniu. De exemplu, aceste rezultate stabilesc în general că o proprietate dată este valabilă în afara unui anumit set nul, dar totuși - având în vedere un punct dat - nu va fi posibil să se decidă dacă aparține sau nu acelui set nul. Rezultă că, atunci când sunt necesare calcule explicite, cum ar fi analiza numerică , rezultatele valabile aproape peste tot (și nu peste tot) au o valoare utilizabilă mică. Să luăm un exemplu concret; să presupunem că avem o secvență $\{f_{n}\}$ ${\ displaystyle \ {f_ {n} \}}$ $\ {f_ {n} \}$ a funcțiilor reale (și cu valori explicit calculabile) definite pe interval $[0,1]$ ${\ displaystyle [0,1]}$ $[0,1]$ ; să presupunem că știm că acestea converg aproape peste tot la o constantă $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ , de care suntem interesați să cunoaștem valoarea numerică. O abordare naivă este următoarea: să fixăm un punct $x_{0}\in [0,1]$ ${\ displaystyle x_ {0} \ in [0,1]}$ $x_ {0} \ in [0,1]$ și, cu ajutorul unui calculator , calculăm valorile secvenței $f_{n}(x_{0})$ ${\ displaystyle f_ {n} (x_ {0})}$ $f_ {n} (x_ {0})$ . Ne așteptăm să convergă mai departe $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ și, prin urmare, oferă o aproximare. Acest lucru este, desigur, fals, deoarece $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ ar putea apartine multimii de masura zero pe care proprietatea de convergenta a $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ nu este verificat. De exemplu, deoarece un calculator va putea lucra numai cu numere raționale (care au o măsură nulă Lebesgue), este chiar posibil să se obțină un rezultat incorect indiferent de valoarea $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ cu care construim succesiunea $f_{n}(x_{0})$ ${\ displaystyle f_ {n} (x_ {0})}$ $f_ {n} (x_ {0})$ . În acest caz simplu, problema este ușor de rezolvat dacă facem ipoteze suplimentare, cum ar fi cea a integrabilității funcțiilor $f_{n}$ ${\ displaystyle f_ {n}}$ $f_n$ . De fapt succesiunea numerică $\int _{[0,1]}f_{n}(x)\,dx$ ${\ displaystyle \ int _ {[0,1]} f_ {n} (x) \, dx}$ $\ int _ {{[0,1]}} f_ {n} (x) \, dx$ va converge la constantă $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ căutat (rețineți, totuși, că, în general, acest lucru va necesita un efort de calcul mult mai mare decât calcularea secvenței $f_{n}(x_{0})$ ${\ displaystyle f_ {n} (x_ {0})}$ $f_ {n} (x_ {0})$ ).

Bibliografie

Patrick Billingsley, Probabilitate și măsură , ediția a 3-a, New York, John Wiley & Sons , 1995, ISBN 0-471-00710-2 , ..

Carl B. Boyer, History of Mathematics , 2nd edition, New York, John Wiley & Sons , 1989, ISBN 0-471-54397-7 .

Paul R. Halmos , The Measure Theory , New York, Springer-Verlag, 1974, ISBN 0-387-90088-8 .

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) Aproape peste tot , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică