Set nul (teoria măsurii)
În teoria măsurătorilor , un set nul este un set neglijabil în scopul măsurii utilizate. Clasa seturilor nule depinde de măsura luată în considerare. Deci ar trebui să vorbim despre seturi m - nul pentru măsura dată m .
Definiție
Fie X un spațiu măsurabil , fie m o măsură pe X și fie N un set măsurabil în X. Dacă m este o măsură pozitivă , atunci N este nul dacă și numai dacă măsura sa m ( N ) este zero . Dacă m nu este o măsură pozitivă, atunci N este m - nul dacă N este | m | - nul, unde | m | este variația totală a m ; acest lucru este mai puternic decât necesitatea m ( N ) = 0.
Un set nemăsurabil este considerat nul dacă este un subset al unui set nul măsurabil. Unele surse necesită ca un set nul să fie măsurabil: cu toate acestea, seturile nul sunt întotdeauna neglijabile în scopul teoriei măsurătorilor.
Apropo de mulțimi nule în spațiul n euclidian R n, se înțelege de obicei că măsura utilizată este măsura Lebesgue .
Proprietate
Setul gol este întotdeauna un set nul. Mai general, orice uniune numărabilă de seturi nule este nulă. Orice subset măsurabil al unui set nul este nul. Împreună, aceste fapte arată că seturile nule de X formează m- un sigma-ideală peste X. În mod similar, mulțimile m- nule măsurabile formează un sigma-ideal al sigmei-algebră a mulțimilor măsurabile. Prin urmare, mulțimile nule pot fi interpretate ca mulțimi neglijabile , definind o noțiune de aproape peste tot .
În măsura Lebesgue
Prin măsura lui Lebesgue pe R n , toate mulțimile unui punct sunt nule și, prin urmare, toate mulțimile numărabile sunt nule. În special, mulțimea Q a numerelor raționale este o mulțime nulă, deși este densă în R. Mulțimea Cantor este un exemplu de nenumărat set nul în R.
Mai general, un subset N al lui R este nul dacă și numai dacă:
- Având în vedere orice număr pozitiv ε, există o secvență { I n } de intervale astfel încât N este conținut în uniunea lui I n și lungimea totală a lui I n este mai mică decât ε.
Această condiție poate fi generalizată la R n , folosind n -cuburi în loc de intervale. De fapt, ideea poate avea sens în orice varietate topologică , chiar dacă o măsură Lebesgue nu este disponibilă.
Aplicații
- Seturile nule joacă un rol cheie în definiția integralei Lebesgue : dacă funcțiile f și g sunt egale peste tot, cu excepția unui set de măsuri zero, atunci f este integrabil dacă și numai dacă g este, iar integralele sunt egale.
- Un spațiu de măsurare în care toate seturile conținute într-un set nul sunt măsurabile se numește complet .
Orice măsură incompletă poate fi completată prin formarea unei măsuri complete, presupunând că seturile nule au măsura zero. Măsura Lebesgue este un exemplu de măsură completă; în unele construcții este definit ca finalizarea unei măsurări Borel incomplete.
Bibliografie
- Paul R. Halmos , The Measure Theory , New York, Springer-Verlag, 1974, ISBN 0-387-90088-8 .
Elemente conexe
linkuri externe
- ( EN ) Null set , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.
