Algebra Borel

În matematică , algebra lui Borel , sau mai adecvat σ-algebra lui Borel , este cea mai mică σ-algebră pe un set cu o structură topologică care este compatibilă cu topologia însăși, adică conține toate seturile deschise ale topologie .

Spațiu măsurabil astfel definit ia numele de spațiu Borelian, seturile conținute în σ-algebra Borel sunt numite seturi Borelian sau seturi Borel și o măsură definită pe un Borel σ-algebra se numește măsură Borel.

Noțiunea de algebră a lui Borel a fost introdusă de Émile Borel în domeniul numerelor reale și mai târziu generalizată în spații topologice arbitrare. ^[1]

Definiție

Este $(X,{\mathcal {\mathrm {T} }})$ ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {\ mathrm {T}}})}$ $(X, {\ mathcal {\ mathrm {T}}})$ un spațiu topologic. Algebra lui Borel de $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ în comparație cu ${\mathcal {\mathrm {T} }}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {\ mathrm {T}}}}$ ${\ mathcal {\ mathrm {T}}}$ este cea mai mică σ-algebră ${\mathfrak {F}}:=\sigma ({\mathcal {\mathrm {T} }})$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {F}}: = \ sigma ({\ mathcal {\ mathrm {T}}})}$ ${\ mathfrak {F}}: = \ sigma ({\ mathcal {\ mathrm {T}}})$ care conține topologia ${\mathcal {\mathrm {T} }}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {\ mathrm {T}}}}$ ${\ mathcal {\ mathrm {T}}}$ , adică conținând fiecare subset deschis de $(X,{\mathcal {\mathrm {T} }})$ ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {\ mathrm {T}}})}$ $(X, {\ mathcal {\ mathrm {T}}})$ . ^[2]

Definiția dată este motivată de faptul că, întrucât intersecția unei familii de σ-algebre este încă o σ-algebră, dată fiind o colecție generică de seturi, se arată că există o σ-algebră mai mică care conține colecția. Mai exact, dacă $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este un set ne-gol și ${\mathfrak {G}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {G}}}$ ${\ mathfrak {G}}$ o familie de subseturi de $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ , atunci este bine definit $\sigma ({\mathfrak {G}})$ ${\ displaystyle \ sigma ({\ mathfrak {G}})}$ $\ sigma ({\ mathfrak {G}})$ , cea mai mică σ-algebră de pe $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ conținând ${\mathfrak {G}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {G}}}$ ${\ mathfrak {G}}$ . ^[2]

Având în vedere două spații topologice $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ Și $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ și o funcție continuă $f:X\mapsto Y$ ${\ displaystyle f: X \ mapsto Y}$ $f: X \ mapsto Y$ , atunci această funcție este măsurabilă în raport cu algebra sigma a lui Borel. Intr-adevar $f^{-1}(V)$ ${\ displaystyle f ^ {- 1} (V)}$ $f ^ {{- 1}} (V)$ este cuprins în σ-algebra lui Borel pentru orice set deschis $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ din $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ . De sine $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ este axa reală a planului complex , funcțiile măsurabile în raport cu algebra sigma a lui Borel se numesc funcții Borel . ^[3]

Orice măsură definită pe o algebră Borel se numește măsură Borel , iar unii autori necesită acest lucru $\mu (K)<\infty$ ${\ displaystyle \ mu (K) <\ infty}$ $\ mu (K) <\ infty$ pentru fiecare compact $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ . O măsură caracterizată prin regularitate internă și externă se spune că este regulată , în timp ce dacă este caracterizată prin regularitate internă și este local finită, se numește măsură Radon .

Terminologie

În unele cazuri, termenul "algebra lui Borel" este folosit pentru a indica σ-algebra generată de compacte ale topologiei ${\mathcal {\mathrm {T} }}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {\ mathrm {T}}}}$ ${\ mathcal {\ mathrm {T}}}$ din $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ . Deoarece într-un spațiu Hausdorff fiecare compact este închis, în acest caz σ-algebra Borel definită în el este mai fină decât cea generată de compacte. Se pare că acestea coincid dacă punctul de pornire al spațiului topologic este un spațiu metrizabil separabil și compact local . Această a doua definiție a algebrei lui Borel este utilizată de exemplu pentru a construi măsura Haar .

Uneori, „algebra Borel” identifică și algebra mulțimilor generate de seturile deschise ale unui spațiu topologic, și nu σ-algebra. Cu toate acestea, acest termen este mai puțin comun. De exemplu, înțeleasă cu acest sens, algebra de numere reale a lui Borel, echipată cu topologia euclidiană obișnuită, este constituită pur și simplu din uniunile finite ale intervalelor.

Termenul „spațiu borelian” este, de asemenea, folosit uneori ca prescurtare pentru spațiul borelian standard. Un spațiu borelian se numește standard dacă spațiul topologic $(X,{\mathcal {\mathrm {T} }})$ ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {\ mathrm {T}}})}$ $(X, {\ mathcal {\ mathrm {T}}})$ , care generează spațiul borelian în sine, este un spațiu polonez .

Principalele rezultate

În teoria categoriei , spațiile boreliene formează o categorie ale cărei morfisme sunt funcții măsurabile . Este o subcategorie a categoriei spațiilor măsurabile .

Două spații boreliene $(X,{\mathfrak {F}})$ ${\ displaystyle (X, {\ mathfrak {F}})}$ $(X, {\ mathfrak {F}})$ Și $(Y,{\mathfrak {G}})$ ${\ displaystyle (Y, {\ mathfrak {G}})}$ $(Y, {\ mathfrak {G}})$ se spune că sunt izomorfe dacă există o funcție $f:X\mapsto Y$ ${\ displaystyle f: X \ mapsto Y}$ $f: X \ mapsto Y$ bijectiv astfel încât $f,\,f^{-1}$ ${\ displaystyle f, \, f ^ {- 1}}$ $f, \, f ^ {{- 1}}$ ambele sunt măsurabile.

Lema de măsurabilitate a funcțiilor continue

Lasa-i sa fie $(\Omega ,{\mathcal {\mathrm {T} }})$ ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {\ mathrm {T}}})}$ $(\ Omega, {\ mathcal {\ mathrm {T}}})$ Și $(\Psi ,\Upsilon )$ ${\ displaystyle (\ Psi, \ Upsilon)}$ $(\ Psi, \ Upsilon)$ două spații topologice și sunt $(\Omega ,{\mathfrak {F}})$ ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathfrak {F}})}$ $(\ Omega, {\ mathfrak {F}})$ Și $(\Psi ,{\mathfrak {G}})$ ${\ displaystyle (\ Psi, {\ mathfrak {G}})}$ $(\ Psi, {\ mathfrak {G}})$ spațiile boreliene aferente. Dacă o cerere $f:\Omega \mapsto \Psi$ ${\ displaystyle f: \ Omega \ mapsto \ Psi}$ $f: \ Omega \ mapsto \ Psi$ este continuă în ceea ce privește ${\mathcal {\mathrm {T} }}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {\ mathrm {T}}}}$ ${\ mathcal {\ mathrm {T}}}$ Și $\Upsilon$ ${\ displaystyle \ Upsilon}$ $\ Upsilon$ atunci este măsurabilă în raport cu ${\mathfrak {F}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {F}}}$ ${\ mathfrak {F}}$ Și ${\mathfrak {G}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {G}}}$ ${\ mathfrak {G}}$ .

Acest rezultat este important și este folosit, de exemplu, pentru a arăta că funcțiile continue pe un compact de $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ ele pot fi integrate în raport cu măsura Lebesgue sau, mai general, pentru compacte de grupuri topologice compacte local cu privire la măsura Haar . De asemenea, rezultă că, dacă două spații topologice sunt homeomorfe , atunci spațiile Boreliene aferente sunt izomorfe.

Teorema lui Kuratowski

Este $(X,{\mathcal {\mathrm {T} }})$ ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {\ mathrm {T}}})}$ $(X, {\ mathcal {\ mathrm {T}}})$ un spațiu polonez , e ${\mathfrak {F}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {F}}}$ ${\ mathfrak {F}}$ relativul Borel σ-algebră. Apoi, spațiul borelian $(X,{\mathfrak {F}})$ ${\ displaystyle (X, {\ mathfrak {F}})}$ $(X, {\ mathfrak {F}})$ este izomorf la unul dintre următoarele seturi:

Ansamblul numerelor reale $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ echipat cu algebra Borel obișnuită.
Setul de numere întregi echipate cu σ-algebră a setului de părți, care este pur și simplu Borel σ-algebră generată de topologia discretă.
Un set finit echipat cu σ-algebră a setului de piese, care este pur și simplu Borel σ-algebră generat de topologia discretă.

Această teoremă, importantă în multe domenii ale matematicii și în special în teoria descriptivă a mulțimilor și teoria probabilității , se datorează matematicianului polonez Kazimierz Kuratowski .

Construcția explicită a σ-algebrei lui Borel

În cazul în care $(X,{\mathcal {\mathrm {T} }})$ ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {\ mathrm {T}}})}$ $(X, {\ mathcal {\ mathrm {T}}})$ este metrizabil (adică, în cazul în care topologia poate fi luată în considerare ${\mathcal {\mathrm {T} }}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {\ mathrm {T}}}}$ ${\ mathcal {\ mathrm {T}}}$ cum este indus de o distanță ), poate fi dată o descriere destul de explicită a σ-algebrei lui Borel.

Având o familie ${\mathfrak {T}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {T}}}$ ${\ mathfrak {T}}$ de subseturi de $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ , se definesc singuri:

${\mathfrak {T}}_{\sigma }$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {T}} _ {\ sigma}}$ ${\ mathfrak {T}} _ {\ sigma}$ familia subseturilor de $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ format din toate unirile numărabile de elemente ale ${\mathfrak {T}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {T}}}$ ${\ mathfrak {T}}$ .
${\mathfrak {T}}_{\delta }$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {T}} _ {\ delta}}$ ${\ mathfrak {T}} _ {\ delta}$ familia subseturilor de $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ format din toate intersecțiile numărabile ale elementelor din ${\mathfrak {T}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {T}}}$ ${\ mathfrak {T}}$ .

unde cu notația ${\mathfrak {T}}_{\delta ,\sigma }$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {T}} _ {\ delta, \ sigma}}$ ${\ mathfrak {T}} _ {{\ delta, \ sigma}}$ înseamnă pur și simplu $({\mathfrak {T}}_{\delta })_{\sigma }$ ${\ displaystyle ({\ mathfrak {T}} _ {\ delta}) _ {\ sigma}}$ $({\ mathfrak {T}} _ {\ delta}) _ {\ sigma}$ .

Σ-algebra lui Borel este construită prin inducție transfinită prin definirea unei familii de mulțimi ${\mathfrak {G}}^{i}\subset \mathbf {2} ^{X}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {G}} ^ {i} \ subset \ mathbf {2} ^ {X}}$ ${\ mathfrak {G}} ^ {i} \ subset {\ mathbf {2}} ^ {X}$ , parametrizat prin numere ordinale $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ .

Baza inducției: este definită ${\mathfrak {G}}^{0}:={\mathcal {\mathrm {T} }}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {G}} ^ {0}: = {\ mathcal {\ mathrm {T}}}}$ ${\ mathfrak {G}} ^ {0}: = {\ mathcal {\ mathrm {T}}}$ , topologia lui $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ .
Pas inductiv: se disting cele două cazuri, cel în care $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ este un ordinal limită și în care nu este. De sine $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ nu este un ordinal limită, deci admite un ordinal $i-1$ ${\ displaystyle i-1}$ $i-1$ care o precedă și apare:

{\mathfrak {G}}^{i}:={\mathfrak {G}}_{\delta ,\sigma }^{i-1}.

{\ displaystyle {\ mathfrak {G}} ^ {i}: = {\ mathfrak {G}} _ {\ delta, \ sigma} ^ {i-1}.}

{\ displaystyle {\ mathfrak {G}} ^ {i}: = {\ mathfrak {G}} _ {\ delta, \ sigma} ^ {i-1}.}

De sine

the

{\ displaystyle i}

the

este un ordinal limită, apoi stabilim:

{\mathfrak {G}}^{i}:=\bigcup _{j<i}{\mathfrak {G}}^{j}.

{\ displaystyle {\ mathfrak {G}} ^ {i}: = \ bigcup _ {j <i} {\ mathfrak {G}} ^ {j}.}

{\ displaystyle {\ mathfrak {G}} ^ {i}: = \ bigcup _ {j <i} {\ mathfrak {G}} ^ {j}.}

Cu aceste definiții, σ-algebra lui Borel este dată de ${\mathfrak {F}}={\mathfrak {G}}^{\omega _{1}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {F}} = {\ mathfrak {G}} ^ {\ omega _ {1}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {F}} = {\ mathfrak {G}} ^ {\ omega _ {1}}}$ , unde este $\omega _{1}$ ${\ displaystyle \ omega _ {1}}$ $\ omega _ {1}$ este primul ordinal nenumărat. De fapt, într-un spațiu metric fiecare deschidere este uniunea celor închise conținute în el, din care rezultă cu ușurință asta ${\mathfrak {G}}^{\omega _{1}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {G}} ^ {\ omega _ {1}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {G}} ^ {\ omega _ {1}}}$ este o σ-algebră. Proprietatea de minimalitate a ${\mathfrak {G}}^{\omega _{1}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {G}} ^ {\ omega _ {1}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {G}} ^ {\ omega _ {1}}}$ (adică faptul că este cea mai mică σ-algebră care conține seturile deschise) rezultă în schimb dintr-o observație mai subtilă. Într-adevăr, este posibil să arătăm acest lucru pentru orice set borelian $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ există un ordinal numărabil $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ astfel încât $B\in {\mathfrak {G}}^{i}$ ${\ displaystyle B \ in {\ mathfrak {G}} ^ {i}}$ $B \ in {\ mathfrak {G}} ^ {i}$ . Cu toate acestea, pe măsură ce Borelianul se schimbă $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ acest indice numărabil devine în mod arbitrar mare și se apropie de primul ordinal nenumărat.

Exemple

Majoritatea spațiilor măsurabile utilizate în analiza matematică sunt boreliene.

Este $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ un set ne-gol și lăsați-i să fie ${\mathfrak {F}}_{0}=\{\varnothing ,X\}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {F}} _ {0} = \ {\ varnothing, X \}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {F}} _ {0} = \ {\ varnothing, X \}}$ topologie banală e ${\mathfrak {F}}_{\mathcal {P}}=\mathbf {2} ^{X}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {F}} _ {\ mathcal {P}} = \ mathbf {2} ^ {X}}$ ${\ mathfrak {F}} _ {{{\ mathcal {P}}}} = {\ mathbf {2}} ^ {X}$ topologia discretă a $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ (aici și jos $\mathbf {2} ^{X}$ ${\ displaystyle \ mathbf {2} ^ {X}}$ ${\ mathbf {2}} ^ {X}$ indică ansamblul părților din $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ ). ${\mathfrak {F}}_{0}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {F}} _ {0}}$ ${\ mathfrak {F}} _ {{0}}$ Și ${\mathfrak {F}}_{\mathcal {P}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {F}} _ {\ mathcal {P}}}$ ${\ mathfrak {F}} _ {{{\ mathcal {P}}}}$ sunt, de asemenea, două σ-algebre, ^[4] și, prin urmare , σ-algebre generate de acestea ${\mathfrak {F}}_{0}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {F}} _ {0}}$ ${\ mathfrak {F}} _ {{0}}$ Și ${\mathfrak {F}}_{\mathcal {P}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {F}} _ {\ mathcal {P}}}$ ${\ mathfrak {F}} _ {{{\ mathcal {P}}}}$ . Rezultă că acestea sunt algebre Borel și $(X,{\mathfrak {F}}_{0})$ ${\ displaystyle (X, {\ mathfrak {F}} _ {0})}$ $(X, {\ mathfrak {F}} _ {0})$ Și $(X,{\mathfrak {F}}_{\mathcal {P}})$ ${\ displaystyle (X, {\ mathfrak {F}} _ {\ mathcal {P}})}$ $(X, {\ mathfrak {F}} _ {{{\ mathcal {P}}}})$ sunt cele mai simple exemple de spații boreliene.
Având în vedere orice set ne-gol $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ , familia formată din toate subseturile de $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ care au cardinalitate numărabilă sau a cărei complementaritate are cardinalitate numărabilă este o σ-algebră. Este imediat să verificăm dacă această σ-algebră este cea generată de topologia menționată mai sus $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ și, prin urmare, este o algebră boreliană.
Algebra Borel utilizată cel mai frecvent în matematică este σ-algebra lui Borel pe numere reale (sau mai general pe spații euclidiene ). Aceasta este cea mai mică σ-algebră care conține toate intervalele reale și este utilizată în general pentru a defini funcții măsurabile și variabile aleatorii cu valoare reală, măsura Borel și în unele dintre posibilele construcții ale măsurii Lebesgue . Poate fi construit inductiv urmând procedura generală indicată mai jos. Se poate arăta că această σ-algebră are cardinalitatea continuumului și, prin urmare, doar câteva subseturi ale numerelor reale sunt borelieni. Cu toate acestea, toate subseturile din $R.$ {\ displaystyle \ mathbb {R}} $\ mathbb {R}$ care apar cel mai des sunt borelieni, de exemplu:
- Seturi numărabile, cum ar fi numere întregi , raționale sau subseturile lor.
- Intervalele deschise și închise, dar și semi-deschise , iar semiliniile deschise și închise. De exemplu intervalul $[0,1)$ ${\ displaystyle [0,1)}$ $[0,1)$ este borelian.
- Uniunile și intersecțiile seturilor de tipuri descrise mai jos.
Un exemplu de σ-algebră neboreliană este dat de σ-algebra lui Lebesgue . Aceasta poate fi, de exemplu, definită ca completarea σ-algebrei boreliene a realilor în raport cu măsura Borel (finalizarea unei σ-algebre se obține prin adăugarea seturilor de măsură zero la seturile care o compun).

Notă

^ O scurtă descriere a dezvoltării istorice a teoriei măsurătorilor și a structurilor ei de seturi se găsește în Boyer, History of Mathematics , cap. 28.
^ ^a ^b W. Rudin , Pagina 12 .
^ W. Rudin , Pagina 13 .
^ Aceste două σ-algebre sunt numite improprii .

Bibliografie

( EN ) Walter Rudin, Analiză reală și complexă , Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0-07-054234-1 .
( EN ) Carl B. Boyer, History of Mathematics , ediția a II-a, New York, John Wiley & Sons , 1989, ISBN 0-471-54397-7 .
(EN) Donald L. Cohn, The Measure Theory, Boston, Birkhäuser, 1980 ISBN 0-8493-7157-0 .
( EN ) Paul R. Halmos , Measure Theory , New York, Springer-Verlag, 1974, ISBN 0-387-90088-8 .

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) VA Skvortsov, Borel set , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] O scurtă descriere a dezvoltării istorice a teoriei măsurătorilor și a structurilor ei de seturi se găsește în Boyer, History of Mathematics , cap. 28.

[def-2] W. Rudin , Pagina 12 .

[3] W. Rudin , Pagina 13 .

[4] Aceste două σ-algebre sunt numite improprii .

[1]

[2]

[3]

[4]