Limita ordinală

Un ordinal limitativ este un ordinal care nu este nici un ordinal succesor și nici setul gol . Intuitiv, acestea sunt ordinale la care nu se poate ajunge prin operația de succesiune S. În termeni precisi spunem că λ este un ordinal limită dacă pentru toate α <λ, S (α) <λ. Afirmat încă un alt mod, un ordinal este un ordinal limită dacă și numai dacă este egal cu limita superioară a tuturor ordinalelor minore ale acestuia.

Deoarece clasa numerelor ordinale este bine ordonată, există un ordinal limită infinit minim; o notăm cu ω. ω este, de asemenea, cel mai mic ordinal infinit, deoarece este limita superioară a numerelor naturale . Prin urmare, ω este tipul de ordine al naturilor. Următorul ordinal limită este ω + ω = ω2, iar apoi avem ω n pentru fiecare număr natural n . Luând uniunea tuturor ω n obținem ωω = ω ² (pentru mai multe informații despre aritmetica ordinală a se vedea elementul număr ordinal ). Puteți continua cu

\omega ^{3},\omega ^{4},\ldots ,\omega ^{\omega },\omega ^{\omega ^{\omega }},\ldots ,\varepsilon _{0}=\omega ^{\omega ^{\omega ^{\ldots }}},\ldots

{\ displaystyle \ omega ^ {3}, \ omega ^ {4}, \ ldots, \ omega ^ {\ omega}, \ omega ^ {\ omega ^ {\ omega}}, \ ldots, \ varepsilon _ {0} = \ omega ^ {\ omega ^ {\ omega ^ {\ ldots}}}, \ ldots}

{\ displaystyle \ omega ^ {3}, \ omega ^ {4}, \ ldots, \ omega ^ {\ omega}, \ omega ^ {\ omega ^ {\ omega}}, \ ldots, \ varepsilon _ {0} = \ omega ^ {\ omega ^ {\ omega ^ {\ ldots}}}, \ ldots}

În general, toate aceste definiții recursive care utilizează multiplicarea, exponențierea etc. furnizați limite ordinale. Și acestea sunt doar ordinali numărați ; este un fapt cunoscut că nu există o schemă recursiv enumerabilă care să genereze toate ordinalele numărabile. Primul ordinal nenumărat este de obicei notat cu ω ₁ și este, de asemenea, un ordinal limită. Putem continua obținând seturi cu cardinalitate crescând treptat:

\omega _{2},\omega _{3},\ldots ,\omega _{\omega },\omega _{\omega _{\omega }},\dots

{\ displaystyle \ omega _ {2}, \ omega _ {3}, \ ldots, \ omega _ {\ omega}, \ omega _ {\ omega _ {\ omega}}, \ dots}

{\ displaystyle \ omega _ {2}, \ omega _ {3}, \ ldots, \ omega _ {\ omega}, \ omega _ {\ omega _ {\ omega}}, \ dots}

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică