Măsurarea radonului

În matematică , o măsură de radon este o măsură definită pe sigma-algebră a unui spațiu Hausdorff topologic care este local finit și intern regulat.

O problemă comună în cadrul teoriei măsurii este găsirea unei noțiuni de măsură compatibile cu topologia spațiului topologic în cauză. De obicei, pentru a obține acest lucru, este definită o măsură pe sigma-algebră a borelienilor din spațiu, dar aceasta implică adesea apariția unor dificultăți, cum ar fi faptul că măsura poate să nu aibă un suport bine definit. O abordare alternativă este de a se restrânge la spații Hausdorff compacte local și de a lua în considerare numai măsurile care corespund funcționalităților liniare pozitive definite pe un spațiu de funcții continue cu suport compact . Unii autori folosesc acest caz pentru definirea măsurării radonului. În general, dacă nu există restricții asupra măsurătorilor non-negative și complexe , atunci măsurătorile de radon pot fi definite ca constituind dualul continuu al spațiului funcțiilor continue cu suport compact.

Definiție

Este $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ o măsură pe σ-algebră formată din seturile Borel ale unui spațiu topologic Hausdorff $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ . Masura $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ este o măsură a Radonului dacă, pentru orice set Borel $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ , $m(B)$ ${\ displaystyle m (B)}$ ${\ displaystyle m (B)}$ este limita superioară a valorilor asumate de $m(K)$ ${\ displaystyle m (K)}$ ${\ displaystyle m (K)}$ comparativ cu toate subseturile compacte $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ din $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ (adică este o măsurare internă regulată ) și pentru fiecare punct de $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ există un cartier $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ astfel încât $m(U)$ ${\ displaystyle m (U)}$ ${\ displaystyle m (U)}$ este o măsură finită, adică este o măsură finită local .

Spațiul radon este definit ca un spațiu metric separabil $(M,d)$ ${\ displaystyle (M, d)}$ $(M, d)$ astfel încât fiecare măsură de probabilitate Borel pe $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ este intern regulat. Deoarece o măsură de probabilitate este o măsură locală finită, fiecare măsură de probabilitate pe un spațiu de radon este, de asemenea, o măsură de radon.

Spații compacte local

Când spațiul de măsurare este un spațiu topologic compact local, definiția măsurării Radon poate fi exprimată prin intermediul funcționalităților liniare continue pe spațiul funcțiilor continue cu suport compact . Acest lucru face posibilă dezvoltarea teoriei măsurării și integrării și în contextul analizei funcționale , în care putem vedea asemănări cu definiția conceptului de distribuție .

Este $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ un spațiu topologic compact local. Funcții continue cu valoare reală, care au suport compact definit $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ formează un spațiu vectorial ${\mathcal {K}}(X)=C_{C}(X)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {K}} (X) = C_ {C} (X)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {K}} (X) = C_ {C} (X)}$ , în care poate fi desigur definită o topologie convexă local . Într-adevăr, spațiul ${\mathcal {K}}(X)$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {K}} (X)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {K}} (X)}$ este uniunea spațiilor ${\mathcal {K}}(X,K)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {K}} (X, K)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {K}} (X, K)}$ compusă din funcții continue al căror suport este cuprins în compacte $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ . Fiecare dintre spații ${\mathcal {K}}(X,K)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {K}} (X, K)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {K}} (X, K)}$ este un spațiu Banach dotat cu topologia convergenței uniforme , dar ca o uniune a spațiilor topologice este un caz particular de limită directă a spațiilor topologice și, prin urmare, își asumă topologia limitei directe induse de spații ${\mathcal {K}}(X,K)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {K}} (X, K)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {K}} (X, K)}$ .

De sine $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ este o măsură de Radon pe $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ , harta:

I:f\mapsto \int f\,dm

{\ displaystyle I: f \ mapsto \ int f \, dm}

{\ displaystyle I: f \ mapsto \ int f \, dm}

este o transformare liniară continuă și pozitivă din spațiu ${\mathcal {K}}(X)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {K}} (X)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {K}} (X)}$ în $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ . Faptul că este pozitiv înseamnă că integralul $I(f)\geq 0$ ${\ displaystyle I (f) \ geq 0}$ ${\ displaystyle I (f) \ geq 0}$ cand $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este non-negativ, în timp ce continuitatea este înțeleasă cu privire la topologia limitei directe, care este echivalentă cu a spune că pentru orice subset compact $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ din $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ există o constantă $M_{K}$ ${\ displaystyle M_ {K}}$ ${\ displaystyle M_ {K}}$ astfel încât pentru fiecare funcție continuă la valori reale $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ definit pe $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ cu suport cuprins în $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ apare:

|I(f)|\leq M_{K}\sup _{x\in X}|f(x)|

{\ displaystyle | I (f) | \ leq M_ {K} \ sup _ {x \ în X} | f (x) |}

{\ displaystyle | I (f) | \ leq M_ {K} \ sup _ {x \ in X} | f (x) |}

Dimpotrivă, prin teorema Riesz-Markov , fiecare funcțională liniară pozitivă pe ${\mathcal {K}}(X)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {K}} (X)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {K}} (X)}$ poate fi definit prin intermediul unei integrări față de măsura Radonului și, prin urmare, este o funcționalitate continuă.

Mai mult decât atât, orice măsură de prim rang real Radon este definită ca fiind orice funcțională liniară continuă pe ${\mathcal {K}}(X)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {K}} (X)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {K}} (X)}$ , adică aparținând dualului de ${\mathcal {K}}(X)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {K}} (X)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {K}} (X)}$ . O măsurare cu radon adevărată nu este neapărat o măsurare semnată .

Pentru a completa caracterizarea teoriei măsurii pentru spații compacte local din punct de vedere analitic, trebuie extinsă măsura și integrarea pentru funcții care nu sunt continue și au suport compact. Acest lucru este posibil, în mai mulți pași, pentru funcții reale sau complexe:

integralul superior este inițial definit $\mu ^{*}(g)$ ${\ displaystyle \ mu ^ {*} (g)}$ ${\ displaystyle \ mu ^ {*} (g)}$ (adică sup valoarea valorii integralei $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ cu extremă de integrare superioară variabilă) pentru funcțiile care sunt inferiorly semicontinuă $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ începând cu funcții de suport compacte $h\leq g$ ${\ displaystyle h \ leq g}$ ${\ displaystyle h \ leq g}$ ca limita superioară a numerelor pozitive $\mu (h)$ ${\ displaystyle \ mu (h)}$ ${\ displaystyle \ mu (h)}$ ;
de aceea este definită integralul superior $\mu ^{*}(f)$ ${\ Displaystyle \ mu ^ {*} (f)}$ ${\ displaystyle \ mu ^ {*} (f)}$ pentru funcții pozitive reale $f\leq g$ ${\ displaystyle f \ leq g}$ ${\ displaystyle f \ leq g}$ ca limita inferioară a integralelor superioare $\mu ^{*}(g)$ ${\ Displaystyle \ mu ^ {*} (g)}$ ${\ displaystyle \ mu ^ {*} (g)}$ ;
spațiul vectorial este definit ulterior $F(X,\mu )$ ${\ displaystyle F (X, \ mu)}$ ${\ displaystyle F (X, \ mu)}$ funcții $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ pe $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ a cărei valoare absolută are o integrală mai mare $\mu ^{*}(|f|)$ ${\ displaystyle \ mu ^ {*} (| f |)}$ ${\ Displaystyle \ mu ^ {*} (| f |)}$ finită, iar această integrală definește o seminormă pe spațiu, care este completă în ceea ce privește topologia indusă de seminormă.
Apoi continuăm cu definiția spațiului vectorial $L^{1}(X,\mu )$ ${\ displaystyle L ^ {1} (X, \ mu)}$ ${\ displaystyle L ^ {1} (X, \ mu)}$ funcții integrabile, cum ar fi închiderea $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ a spațiului funcțiilor continue cu suport compact și, prin urmare, cu introducerea (prin extensie prin continuitate) a operatorului integral. Măsura unui set este deci definită prin integrala (dacă există) a funcției indicator a setului în sine.

Prin această procedură obținem o teorie identică cu cea care definește măsurătorile de radon ca funcții care atribuie un număr seturilor de spațiu Borel $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ .

Exemple

Sunt măsurători de radon:

Măsura lui Lebesgue pe un spațiu euclidian (limitată la subseturile Borel ).
Măsura Haar pe fiecare grup topologic compact local .
Măsura Dirac pe fiecare spațiu topologic.
Măsura gaussiană pe un spațiu euclidian $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ cu sigma-algebra lui Borel.

Bibliografie

( EN ) L. Ambrosio, N. Fusco, D. Pallara, "Funcțiile variațiilor mărginite și problemele de discontinuitate liberă". Monografii matematice Oxford . The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 2000. MR1857292Zbl 0957.49001
( EN ) N. Bourbaki, Elements of math. Integrare, Addison-Wesley (1975) pp. Capitolul 6; 7; 8
( EN ) Ambrosio, L., Gigli, N. & Savaré, G., Gradient Flows in Metric Spaces and in the Space of Probability Measures , Basel, ETH Zürich, Birkhäuser Verlag, 2005, ISBN 3-7643-2428-7 .

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) RA Minlos, măsură Radon , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.
(EN) Măsura radonului , în PlanetMath .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică