Seminorma

În algebra liniară , o seminormă este o generalizare a conceptului de normă care, spre deosebire de aceasta din urmă, poate atribui lungimea zero chiar și unui vector diferit de zero.

Noțiunea de seminormă este utilizată în diverse domenii ale analizei funcționale . O familie numărabilă de seminorme, de exemplu, ne permite să inducem o topologie pe un spațiu Fréchet .

Definiție

O seminormă definită pe un spațiu vector $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ pe teren $\mathbb {K}$ ${\ displaystyle \ mathbb {K}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {K}}$ , care poate fi cel al numerelor reale sau complexe , este o funcție :

{\begin{matrix}\|\cdot \|:&X&\longrightarrow &[0,+\infty )\\&x&\mapsto &\|x\|\end{matrix}}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} \ | \ cdot \ |: & X & \ longrightarrow & [0, + \ infty) \\ & x & \ mapsto & \ | x \ | \ end {matrix}}}

{\ begin {matrix} \ | \ cdot \ |: & X & \ longrightarrow & [0, + \ infty) \\ & x & \ mapsto & \ | x \ | \ end {matrix}}

care verifică condiția de omogenitate :

\|\lambda x\|=|\lambda |\|x\|\qquad \forall \lambda \in \mathbb {K}

{\ displaystyle \ | \ lambda x \ | = | \ lambda | \ | x \ | \ qquad \ forall \ lambda \ in \ mathbb {K}}

{\ displaystyle \ | \ lambda x \ | = | \ lambda | \ | x \ | \ qquad \ forall \ lambda \ in \ mathbb {K}}

și inegalitatea triunghiulară : ^[1]

\|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|\qquad \forall x,y\in X

{\ displaystyle \ | x + y \ | \ leq \ | x \ | + \ | y \ | \ qquad \ forall x, y \ în X}

{\ displaystyle \ | x + y \ | \ leq \ | x \ | + \ | y \ | \ qquad \ forall x, y \ în X}

Spațiu local convex

Un spațiu vector topologic $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ în care este definită o familie $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ seminorm este un spațiu convex local dacă:

\cap _{p\in P}\{x\in X|p(x)=0\}=\{0_{X}\}

{\ displaystyle \ cap _ {p \ in P} \ {x \ in X | p (x) = 0 \} = \ {0_ {X} \}}

{\ displaystyle \ cap _ {p \ in P} \ {x \ in X | p (x) = 0 \} = \ {0_ {X} \}}

Un spațiu local convex este de fapt definit ca un spațiu vector $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ în care este definită o familie de seminorme $\{\|\cdot \|_{\alpha }\}_{\alpha \in A}$ ${\ displaystyle \ {\ | \ cdot \ | _ {\ alpha} \} _ {\ alpha \ în A}}$ ${\ displaystyle \ {\ | \ cdot \ | _ {\ alpha} \} _ {\ alpha \ în A}}$ . Topologia naturală care caracterizează un spațiu local convex este cea mai slabă topologie, astfel încât seminormele familiei sunt funcții continue, iar operația de adăugare este continuă.

O bază a cartierelor punctului $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ pentru această topologie se obține definind pentru fiecare subset finit $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ din $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ :

U_{B,\varepsilon }(x_{0})=\{x\in V:\|x-x_{0}\|_{\alpha }<\varepsilon \ \alpha \in B\}\qquad \forall \epsilon >0

{\ displaystyle U_ {B, \ varepsilon} (x_ {0}) = \ {x \ in V: \ | x-x_ {0} \ | _ {\ alpha} <\ varepsilon \ \ alpha \ in B \} \ qquad \ forall \ epsilon> 0}

{\ displaystyle U_ {B, \ varepsilon} (x_ {0}) = \ {x \ in V: \ | x-x_ {0} \ | _ {\ alpha} <\ varepsilon \ \ alpha \ in B \} \ qquad \ forall \ epsilon> 0}

Se arată că, dacă un spațiu convex local este metrizabil , atunci este posibil să se definească o topologie generată de o familie numărabilă de semi-normale și punctul 0 are o bază numărabilă de vecinătăți. ^[2] Un spațiu convex local complet și metrizabil se numește spațiu Fréchet . ^[3]

Notă

^ Reed, Simon , pagina 125 .
^ Reed, Simon , Pagina 131 .
^ Reed, Simon , Pagina 132 .

Bibliografie

( EN ) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis , ed. A II-a, San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6 .
( EN ) Walter Rudin,Analiza funcțională , ediția a doua, New York, McGraw-Hill inc., 1991, ISBN 0-07-054236-8 .

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Reed, Simon , pagina 125 .

[2] Reed, Simon , Pagina 131 .

[3] Reed, Simon , Pagina 132 .

[1]

[2]

[3]