Distanță (matematică)

Semnificația matematică a termenului distanță are un sens similar cu cel al utilizării comune, adică acela al măsurii „distanței” dintre două puncte ale unui set căruia i se poate atribui un anumit caracter spațial . Cu toate acestea, în matematică, această noțiune ia caractere abstracte și se bazează doar pe proprietăți formale care o fac să își piardă unicitatea: există exemple chiar și de seturi comune, cum ar fi $\mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ $\ R ^ 3$ în care se pot da definiții infinite ale distanței, toate satisfăcând proprietățile generale. Se poate spune că în matematică termenul distanță caracterizează instrumentele de calcul cu unele caracteristici comune, dar utilizabile în scopuri diferite.

Conceptul de distanță și cel conectat de lungime sunt generalizate prin definirea geodeziei ca cea mai scurtă cale între două puncte ale unui „spațiu curbat”.

Definirea distanței

O distanță (sau metrică ) pe un set $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este o funcție

d:X\times X\longrightarrow \mathbb {R}

{\ displaystyle d: X \ times X \ longrightarrow \ mathbb {R}}

d: X \ times X \ longrightarrow \ mathbb {R}

care satisface următoarele proprietăți pentru fiecare alegere a $X, y, z$ ${\ displaystyle x, y, z}$ $x, y, z$ în $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ :

$d(x,y)\geq 0$ ${\ displaystyle d (x, y) \ geq 0}$ $d (x, y) \ geq 0$
$d(x,y)=0~\Longleftrightarrow ~x=y$ ${\ displaystyle d (x, y) = 0 ~ \ Longleftrightarrow ~ x = y}$ $d (x, y) = 0 ~ \ Longleftrightarrow ~ x = y$
$d(x,y)=d(y,x)\$ ${\ displaystyle d (x, y) = d (y, x) \}$ $d (x, y) = d (y, x) \$ (simetrie)
$d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)$ ${\ displaystyle d (x, y) \ leq d (x, z) + d (z, y)}$ $d (x, y) \ leq d (x, z) + d (z, y)$ ( inegalitate triunghiulară )

Cuplul $(X,d)$ ${\ displaystyle (X, d)}$ $(X, d)$ se numește spațiu metric .

În realitate, doar proprietățile 2,3,4 sunt independente una de cealaltă. Aceasta înseamnă că pot fi definite funcții care satisfac unele dintre 2,3,4, dar nu altele. De exemplu, dacă $d(a,b)=d(b,c)=d(c,a)=d(b,a)=d(c,b)=2,d(a,c)=3$ ${\ displaystyle d (a, b) = d (b, c) = d (c, a) = d (b, a) = d (c, b) = 2, d (a, c) = 3}$ ${\ displaystyle d (a, b) = d (b, c) = d (c, a) = d (b, a) = d (c, b) = 2, d (a, c) = 3}$ apoi funcția $d(x,y)$ ${\ displaystyle d (x, y)}$ $d (x, y)$ pentru aceste valori particulare, acesta satisface 2.4, dar nu 3 și, prin urmare, în general, nu satisface 3.

Dovada că 3,4 implică 1 este foarte simplă.

De fapt, prin exploatarea celor 4 pe care le avem $d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$ ${\ displaystyle d (x, z) \ leq d (x, y) + d (y, z)}$ ${\ displaystyle d (x, z) \ leq d (x, y) + d (y, z)}$ Și $d(z,y)\leq d(z,x)+d(x,y)$ ${\ displaystyle d (z, y) \ leq d (z, x) + d (x, y)}$ ${\ displaystyle d (z, y) \ leq d (z, x) + d (x, y)}$ . Acum adăugăm membru la membru pe care îl primim

$d(x,z)+d(z,y)\leq d(x,y)+d(y,z)+d(z,x)+d(x,y)$ ${\ displaystyle d (x, z) + d (z, y) \ leq d (x, y) + d (y, z) + d (z, x) + d (x, y)}$ ${\ displaystyle d (x, z) + d (z, y) \ leq d (x, y) + d (y, z) + d (z, x) + d (x, y)}$ în cele din urmă (folosind 3) expresia este simplificată la

$0\leq 2d(x,y)$ ${\ displaystyle 0 \ leq 2d (x, y)}$ ${\ displaystyle 0 \ leq 2d (x, y)}$ care este exact 1, după împărțirea la 2 (și schimbarea membrilor).

Distanța indusă de o normă

Având în vedere un standard $||\cdot ||:X\rightarrow \mathbb {R}$ ${\ displaystyle || \ cdot ||: X \ rightarrow \ mathbb {R}}$ $|| \ cdot ||: X \ rightarrow {\ mathbb {R}}$ , puteți defini o distanță $d:X\times X\rightarrow R$ ${\ displaystyle d: X \ times X \ rightarrow R}$ $d: X \ times X \ rightarrow R$ definire

d(x,y)=||x-y||\

{\ displaystyle d (x, y) = || xy || \}

d (x, y) = || x-y || \

.

Se verifică că funcția astfel definită este o distanță, de fapt:

$d(x,y)=||x-y||\geq 0$ ${\ displaystyle d (x, y) = || xy || \ geq 0}$ $d (x, y) = || x-y || \ geq 0$

$d(x,y)=||x-y||=0~\Longleftrightarrow ~||x-y||=||0||~\Longleftrightarrow ~x=y$ ${\ displaystyle d (x, y) = || xy || = 0 ~ \ Longleftrightarrow ~ || xy || = || 0 || ~ \ Longleftrightarrow ~ x = y}$ $d (x, y) = || x-y || = 0 ~ \ Longleftrightarrow ~ || x-y || = || 0 || ~ \ Longleftrightarrow ~ x = y$

$d(x,y)=||x-y||=||(-1)(y-x)||=|-1|||y-x||=||y-x||=d(y,x)\$ ${\ displaystyle d (x, y) = || xy || = || (-1) (yx) || = | -1 ||| yx || = || yx || = d (y, x) \}$ $d (x, y) = || x-y || = || (-1) (y-x) || = | -1 ||| y-x || = || y-x || = d (y, x) \$

$d(x,y)=||x-y||=||x-z+z-y||\leq ||x-z||+||z-y||=d(x,z)+d(z,y)$ ${\ displaystyle d (x, y) = || xy || = || x-z + zy || \ leq || xz || + || zy || = d (x, z) + d (z, y) }$ $d (x, y) = || x-y || = || x-z + z-y || \ leq || x-z || + || z-y || = d (x, z) + d (z, y)$

Se observă că fiecare distanță indusă de o normă este invariantă sub traduceri (adică pentru fiecare triplet de vectori $d(x+z,y+z)=d(x,y)$ ${\ displaystyle d (x + z, y + z) = d (x, y)}$ $d (x + z, y + z) = d (x, y)$ ).

Distanțe pe spațiile euclidiene

Distanța considerată în mod normal în $\ \mathbb {R} ^{2}$ ${\ displaystyle \ \ mathbb {R} ^ {2}}$ $\ \ mathbb {R} ^ {{2}}$ este cea euclidiană , egală cu rădăcina pătrată a pătratului diferenței orizontale (între cele două puncte) plus pătratul diferenței verticale:

d={\sqrt {(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}}}.

{\ displaystyle d = {\ sqrt {(x_ {B} -x_ {A}) ^ {2} + (y_ {B} -y_ {A}) ^ {2}}}.}

d = {\ sqrt {(x_ {B} -x_ {A}) ^ {2} + (y_ {B} -y_ {A}) ^ {2}}}.

Dacă ștergeți a doua dimensiune, această funcție se reduce la mărimea diferenței dintre cele două numere: $d(x_{1},x_{2})=|x_{1}-x_{2}|$ ${\ displaystyle d (x_ {1}, x_ {2}) = | x_ {1} -x_ {2} |}$ $d (x_ {1}, x_ {2}) = | x_ {1} -x_ {2} |$ .

Mai general în spațiul euclidian $\ \mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ \ mathbb {R} ^ {{n}}$ puteți defini distanța dintre două puncte $(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ ${\ displaystyle (x_ {1}, x_ {2}, ..., x_ {n})}$ $(x_ {1}, x_ {2}, ..., x_ {n})$ Și $(y_{1},y_{2},...,y_{n})$ ${\ displaystyle (y_ {1}, y_ {2}, ..., y_ {n})}$ $(y_ {1}, y_ {2}, ..., y_ {n})$ în următoarele moduri:

{\mbox{1-distanza}}=\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|

{\ displaystyle {\ mbox {1-distance}} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} | x_ {i} -y_ {i} |}

{\ mbox {1-distance}} = \ sum _ {{i = 1}} ^ {n} | x_ {i} -y_ {i} |

{\mbox{2-distanza}}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|^{2}}}\

{\ displaystyle {\ mbox {2-distance}} = {\ sqrt {\ sum _ {i = 1} ^ {n} | x_ {i} -y_ {i} | ^ {2}}} \}

{\ mbox {2-distance}} = {\ sqrt {\ sum _ {{i = 1}} ^ {n} | x_ {i} -y_ {i} | ^ {2}}} \

(Distanta euclidiana)

p{\mbox{-distanza}}={\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|^{p}}}\

{\ displaystyle p {\ mbox {-distance}} = {\ sqrt [{p}] {\ sum _ {i = 1} ^ {n} | x_ {i} -y_ {i} | ^ {p}} } \}

p {\ mbox {-distance}} = {\ sqrt [{p}] {\ sum _ {{i = 1}} ^ {n} | x_ {i} -y_ {i} | ^ {p}}} \

, pentru orice p real mai mare sau egal cu 1

\infty {\mbox{-distanza}}=\lim _{p\to \infty }{\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|^{p}}}=\max _{i=1,\cdots ,n}\{|x_{i}-y_{i}|\}

{\ displaystyle \ infty {\ mbox {-distance}} = \ lim _ {p \ to \ infty} {\ sqrt [{p}] {\ sum _ {i = 1} ^ {n} | x_ {i} -y_ {i} | ^ {p}}} = \ max _ {i = 1, \ cdots, n} \ {| x_ {i} -y_ {i} | \}}

\ infty {\ mbox {-distance}} = \ lim _ {{p \ to \ infty}} {\ sqrt [{p}] {\ sum _ {{i = 1}} ^ {n} | x_ {i } -y_ {i} | ^ {p}}} = \ max _ {{i = 1, \ cdots, n}} \ {| x_ {i} -y_ {i} | \}

Distanța 2 într-un spațiu n- dimensional corespunde teoremei pitagoreice aplicată de n-1 ori: este distanța unui spațiu euclidian , utilizat în mod normal în plan sau în spațiu și se mai numește distanță pitagorică . Distanța 1 , numită și distanța L1 sau distanța Manhattan , generează în schimb o geometrie diferită, numită geometria taxiului . Distanța ∞ (sau distanța L∞) este așa-numita distanță Chebyshev .

Alte distanțe

Pe orice set este posibil să se definească o distanță ca $d(x,y)=\left\{{\begin{matrix}0&{\mbox{se}}\ x=y\\1&{\mbox{se}}\ x\neq y\end{matrix}}\right.$ ${\ displaystyle d (x, y) = \ left \ {{\ begin {matrix} 0 & {\ mbox {se}} \ x = y \\ 1 & {\ mbox {se}} \ x \ neq y \ end {matrix}} \ right.}$ $d (x, y) = \ left \ {{\ begin {matrix} 0 & {\ mbox {se}} \ x = y \\ 1 & {\ mbox {se}} \ x \ neq y \ end {matrix }} \ dreapta.$ . Această distanță se numește „ distanță discretă ” și oferă întregului topologie discretă . Această distanță nu este bogată în aplicații, dar servește pentru completitudinea expunerii formale.
Pe setul de funcții continue definite într-un set adecvat A putem defini distanța, numită " distanța sup " sau " extremă superioară ", $d(f,g)=\sup _{x\in A}\|f(x)-g(x)\|$ ${\ displaystyle d (f, g) = \ sup _ {x \ în A} \ | f (x) -g (x) \ |}$ $d (f, g) = \ sup _ {{x \ în A}} \ | f (x) -g (x) \ |$ . Este distanța indusă de așa-numita normă uniformă . Această distanță constituie analogul continuu al distanței defined definite pe spații cu dimensiuni finite.
În spațiul L ^p , cu p real mai mare sau egal cu 1, distanța dintre două funcții distincte (mai mică decât echivalența aproape peste tot ) este definită ca $d(f,g)=\left(\int |f(x)-g(x)|^{p}~dx\right)^{1/p}$ ${\ displaystyle d (f, g) = \ left (\ int | f (x) -g (x) | ^ {p} ~ dx \ right) ^ {1 / p}}$ $d (f, g) = \ left (\ int | f (x) -g (x) | ^ {p} ~ dx \ right) ^ {{1 / p}}$ .
Întregul $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ a numerelor reale constituie un spațiu metric față de distanța dată de $d(x,y)=\left|\arctan(x)-\arctan(y)\right|$ ${\ displaystyle d (x, y) = \ left | \ arctan (x) - \ arctan (y) \ right |}$ $d (x, y) = \ left | \ arctan (x) - \ arctan (y) \ right |$ . Această distanță, diferită de cea pitagorică, nu poate fi indusă de o normă , deoarece nu este invariantă în traduceri (adică $d(x+z,y+z)$ ${\ displaystyle d (x + z, y + z)}$ $d (x + z, y + z)$ este în general diferită de $d(x,y)$ ${\ displaystyle d (x, y)}$ $d (x, y)$ ).
În general $\mathbf {F} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F} ^ {n}}$ ${\ mathbf {F}} ^ {n}$ de corzi de lungime $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ construit deasupra alfabetului $\mathbf {F}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F}}$ $\ mathbf {F}$ puteți defini „ distanța Hamming ” ca $d(x,y)=|\{i:x_{i}\neq y_{i}\}|$ ${\ displaystyle d (x, y) = | \ {i: x_ {i} \ neq y_ {i} \} |}$ $d (x, y) = | \ {i: x_ {i} \ neq y_ {i} \} |$ (unde cu $|A|$ ${\ displaystyle | A |}$ $| A |$ cardinalitatea de $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ ). Rețineți că distanța Hamming poate fi considerată că privește doi vectori (similari șirurilor) pe câmpul finit $\mathbf {F} =\mathbb {Z} _{2}\subseteq \mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F} = \ mathbb {Z} _ {2} \ subseteq \ mathbb {R}}$ ${\ mathbf {F}} = \ mathbb {Z} _ {2} \ subseteq \ mathbb {R}$ .

În cazul unui spațiu Hilbert $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ , teorema proiecției afirmă că pentru orice punct $x\in H$ ${\ displaystyle x \ în H}$ $x \ în H$ și pentru orice set convex închis $C\subset H$ ${\ displaystyle C \ subset H}$ $C \ subset H$ există doar unul $y\in C$ ${\ displaystyle y \ în C}$ $y \ în C$ astfel încât $\lVert x-y\rVert$ ${\ displaystyle \ lVert xy \ rVert}$ $\ lVert x-y \ rVert$ își asumă valoarea minimă pe $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ . În special, acest lucru este valabil pentru orice subspațiu închis $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ din $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ : în acest caz o condiție necesară și suficientă pentru $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ este că transportatorul $x-y$ ${\ displaystyle xy}$ $X y$ este ortogonală la $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ .

Discuri asociate cu o distanță

Având în vedere o distanță pe un set, acesta poate fi definit ca o minge , sau o bulă, sau un disc, centrat într-un punct $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ de o anumită rază $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ pozitiv setul de puncte ale setului care sunt îndepărtate de $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ mai puțin decât $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ :

B(c,r)=\{x\in X:d(x,c)<r\}

{\ displaystyle B (c, r) = \ {x \ în X: d (x, c) <r \}}

B (c, r) = \ {x \ în X: d (x, c) <r \}

De obicei, definiția se înțelege prin <; totuși, dacă este necesar să specificăm, vom spune „disc deschis” setul definit de relația „<” și „disc închis” setul definit de relația „≤”.

„Marginea” discului este, de asemenea, definită ca întregul

\partial B=\{x\in X:d(x,c)=r\}

{\ displaystyle \ partial B = \ {x \ în X: d (x, c) = r \}}

{\ displaystyle \ partial B = \ {x \ în X: d (x, c) = r \}}

.

Setul de discuri deschise centrate în diferitele puncte ale spațiului satisface definiția topologică de bază : topologia pe set $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ determinată de această bază se numește topologie generată (sau indusă ) de distanță $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ .

Este important de reținut că discul închis nu coincide întotdeauna cu închiderea discului deschis, dar, în general, este doar un superset; în special în spațiul euclidian, însă, cele două noțiuni coincid.

Distanțe echivalente

Două distanțe $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ Și $d^{'}$ ${\ displaystyle d '}$ $d '$ se spune că sunt echivalente dacă identitatea aplicației

id:(X,d)\to (X,d')

{\ displaystyle id: (X, d) \ to (X, d ')}

id: (X, d) \ to (X, d ')

este un homeomorfism .

În mod echivalent, se poate spune că sunt echivalente dacă fiecare disc din prima metrică conține unele discuri din a doua metrică și invers. De exemplu, o distanță d este echivalentă cu cea dată de funcție $\min\{d,1\}$ ${\ displaystyle \ min \ {d, 1 \}}$ $\ min \ {d, 1 \}$ și la cea dată de funcție ${d \over d+1}$ ${\ displaystyle {d \ peste d + 1}}$ ${d \ peste d + 1}$ .

Două distanțe echivalente generează aceeași topologie .

Generalizări

Dacă slăbești cerințele $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ , obținem spații cu proprietăți din ce în ce mai slabe ca posibilități algoritmice:

Pierderea uneia dintre cele două implicații ale proprietății 2, dar care necesită doar asta $d(x,x)=0$ ${\ displaystyle d (x, x) = 0}$ $d (x, x) = 0$ (adică presupunând că punctele distincte pot avea distanță zero), se obține un pseudometric . Importanța sa este mare în domeniul teoriei relativității și al analizei funcționale , unde aceste spații se întâlnesc adesea. Este genul de distanță indusă de un seminorm .
Prin pierderea proprietății 3, se obține o cvasimetrică .
Prin pierderea proprietății 4, se obține o semimetrie .
Prin pierderea parțială a proprietății 2 în sensul de mai sus și a proprietății 3, se obține o hemimetrică .
Prin pierderea parțială a proprietății 2 și a proprietăților 3 și 4, se obține un parametru . Trebuie remarcat faptul că, deși acesta este în mod clar cel mai sărac spațiu dintre toate, este încă posibil să se definească o topologie pornind de la un spațiu parametric, în același mod descris mai sus.