distanta euclidiana

În matematică , distanța euclidiană este o distanță între două puncte , în special este o măsură a lungimii segmentului având cele două puncte ca extreme.

Folosind această distanță, spațiul euclidian devine un spațiu metric (mai precis are ca rezultat un spațiu Hilbert ). Literatura tradițională se referă la această metrică ca fiind o metrică pitagorică .

Distanță unidimensională

Pentru două puncte într-un spațiu unidimensional, $P=(p_{x})$ ${\ displaystyle P = (p_ {x})}$ $P = (p_ {x})$ Și $Q=(q_{x})$ ${\ displaystyle Q = (q_ {x})}$ $Q = (q_ {x})$ , distanța euclidiană se calculează astfel:

{\sqrt {(p_{x}-q_{x})^{2}}}=|p_{x}-q_{x}|.

{\ displaystyle {\ sqrt {(p_ {x} -q_ {x}) ^ {2}}} = | p_ {x} -q_ {x} |.}

{\ displaystyle {\ sqrt {(p_ {x} -q_ {x}) ^ {2}}} = | p_ {x} -q_ {x} |.}

Distanță bidimensională

Pentru două puncte în spațiul bidimensional, $P=(p_{x},p_{y})$ ${\ displaystyle P = (p_ {x}, p_ {y})}$ $P = (p_ {x}, p_ {y})$ Și $Q=(q_{x},q_{y})$ ${\ displaystyle Q = (q_ {x}, q_ {y})}$ $Q = (q_ {x}, q_ {y})$ , distanța euclidiană se calculează astfel:

{\sqrt {(p_{x}-q_{x})^{2}+(p_{y}-q_{y})^{2}}}.

{\ displaystyle {\ sqrt {(p_ {x} -q_ {x}) ^ {2} + (p_ {y} -q_ {y}) ^ {2}}}.}

{\ displaystyle {\ sqrt {(p_ {x} -q_ {x}) ^ {2} + (p_ {y} -q_ {y}) ^ {2}}}.}

Aproximare 2D pentru aplicații informatice

O aproximare rapidă a distanței 2D bazată pe un vecinătate octogonală poate fi calculată după cum urmează. Este $dx=|p_{x}-q_{x}|$ ${\ displaystyle dx = | p_ {x} -q_ {x} |}$ $dx = | p_ {x} -q_ {x} |$ ( valoare absolută ) e $dy=|p_{y}-q_{y}|$ ${\ displaystyle dy = | p_ {y} -q_ {y} |}$ $dy = | p_ {y} -q_ {y} |$ . De sine $dy>dx$ ${\ displaystyle dy> dx}$ $dy> dx$ , distanța aproximativă este $0,41dx+0,941246dy$ ${\ displaystyle 0.41dx + 0.941246dy}$ ${\ displaystyle 0.41dx + 0.941246dy}$ ; de sine $dy<dx$ ${\ displaystyle dy <dx}$ $dy <dx$ , cele două valori sunt inversate.

Diferența față de distanța exactă este între -6% și + 3%; mai mult de 85% din toate diferențele posibile sunt între −3% și + 3%.

Următorul cod Maple implementează această aproximare și produce un grafic cu circumferința reală în negru și vecinătatea octogonală aproximată în roșu:

 fasthypot: =
  neaplicat (în bucăți (abs (dx)> abs (dy), 
                    abs (dx) * 0,941246 + abs (dy) * 0,41,
                    abs (dy) * 0,941246 + abs (dx) * 0,41),
          dx, dy):
hypot: = unapply (sqrt (x ^ 2 + y ^ 2), x, y):
parcele [afișare] (
  complots [implicitplot] (fasthypot (x, y)> 1, 
                      x = -1.1..1.1, 
                      y = -1,1..1,1,
                      numere = 4000),
  plottooli [cerc] ([0,0], 1),
  scalare = constrâns, grosime = 2
);

Există și alte tipuri de aproximare. În general, toți încearcă să evite rădăcinile pătrate, deoarece sunt scumpe în termeni de calcul și sunt sursa mai multor erori: raportul viteză . Folosind notația de mai sus, aproximarea dx + dy - (1/2) × min ( dx , dy ) generează o eroare între 0% și 12% (atribuită lui Alan Paeth ). O aproximare mai bună în termeni de eroare RMS este dx + dy - (5/8) × min ( dx , dy ), pentru care este estimată o eroare între −3% și 7%.

Trebuie remarcat faptul că, dacă este necesar să comparați distanțele (pentru care doriți doar să știți, de exemplu, care este diferența mai mare și nu diferența reală), nu este necesar să calculați rădăcina pătrată a tuturor, dacă luați în considerare următoarele proprietăți:

De sine $A^{2}$ ${\ displaystyle A ^ {2}}$ $A ^ {2}$ este mai mare decât $B^{2}$ ${\ displaystyle B ^ {2}}$ $B ^ 2$ , apoi și distanța $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ va fi mai mare decât distanța $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ .
Verificați dacă distanța $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este mai mare decât distanța $2B$ ${\ displaystyle 2B}$ $2B$ este ca și cum ai compara $A^{2}$ ${\ displaystyle A ^ {2}}$ $A ^ {2}$ cu $(2B)^{2}$ ${\ displaystyle (2B) ^ {2}}$ $(2B) ^ {2}$ , $(4B)^{2}$ ${\ displaystyle (4B) ^ {2}}$ $(4B) ^ {2}$ si asa mai departe.

Un exemplu al primului caz ar putea fi încercarea de a determina în ce punct al grilei unui sistem CAD / CAM 2D ar putea cădea un punct arbitrar ( snap to ). Cu toate acestea, aceasta nu este o aproximare, deoarece rezultatul este corect.

Distanța tridimensională

Pentru două puncte în trei dimensiuni, $P=(p_{x},p_{y},p_{z})$ ${\ displaystyle P = (p_ {x}, p_ {y}, p_ {z})}$ $P = (p_ {x}, p_ {y}, p_ {z})$ Și $Q=(q_{x},q_{y},q_{z})$ ${\ displaystyle Q = (q_ {x}, q_ {y}, q_ {z})}$ $Q = (q_ {x}, q_ {y}, q_ {z})$ , distanța se calculează ca:

{\sqrt {(p_{x}-q_{x})^{2}+(p_{y}-q_{y})^{2}+(p_{z}-q_{z})^{2}}}.

{\ displaystyle {\ sqrt {(p_ {x} -q_ {x}) ^ {2} + (p_ {y} -q_ {y}) ^ {2} + (p_ {z} -q_ {z}) ^ {2}}}.}

{\ sqrt {(p_ {x} -q_ {x}) ^ {2} + (p_ {y} -q_ {y}) ^ {2} + (p_ {z} -q_ {z}) ^ {2 }}}.

Aproximări 3D pentru aplicații informatice

După cum sa menționat în secțiunea privind aproximarea 2D, atunci când comparați distanțele (pentru care doriți doar să știți, de exemplu, care este diferența mai mare și nu diferența reală), nu este necesar să calculați rădăcina pătrată a tuturor. De fapt, regula se aplică dacă $A^{2}$ ${\ displaystyle A ^ {2}}$ $A ^ {2}$ este mai mare decât $B^{2}$ ${\ displaystyle B ^ {2}}$ $B ^ 2$ , apoi și distanța $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ va fi mai mare decât distanța $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ .

De exemplu, dacă căutați distanța minimă între două suprafețe într-un spațiu tridimensional, utilizând un sistem CAD / CAM 3D , vă puteți gândi să construiți o rețea de puncte în fiecare suprafață și să comparați distanța fiecărui punct în prima suprafață din fiecare punct al celui de-al doilea. Nu este necesar să se cunoască distanța reală, ci doar care distanță este cea mai scurtă. După ce ați localizat cele mai apropiate două puncte, puteți crea o grilă mai mică în jurul acestor puncte pe fiecare suprafață și puteți repeta procesul. După mai multe iterații este posibil să se evalueze care sunt cele mai apropiate puncte în absolut și dintre acestea să se calculeze rădăcina pătrată pentru a obține o aproximare excelentă a distanței minime dintre cele două suprafețe.

Distanța N-dimensională

În general, pentru două puncte într-un spațiu $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -dimensional, $P=(p_{1},p_{2},\ldots ,p_{n})$ ${\ displaystyle P = (p_ {1}, p_ {2}, \ ldots, p_ {n})}$ ${\ displaystyle P = (p_ {1}, p_ {2}, \ ldots, p_ {n})}$ Și $Q=(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{n})$ ${\ displaystyle Q = (q_ {1}, q_ {2}, \ ldots, q_ {n})}$ ${\ displaystyle Q = (q_ {1}, q_ {2}, \ ldots, q_ {n})}$ , distanța euclidiană se calculează astfel:

{\sqrt {(p_{1}-q_{1})^{2}+(p_{2}-q_{2})^{2}+\cdots +(p_{n}-q_{n})^{2}}}={\sqrt {\sum _{k=1}^{n}{(p_{k}-q_{k})^{2}}}}.

{\ displaystyle {\ sqrt {(p_ {1} -q_ {1}) ^ {2} + (p_ {2} -q_ {2}) ^ {2} + \ cdots + (p_ {n} -q_ { n}) ^ {2}}} = {\ sqrt {\ sum _ {k = 1} ^ {n} {(p_ {k} -q_ {k}) ^ {2}}}}.}

{\ sqrt {(p_ {1} -q_ {1}) ^ {2} + (p_ {2} -q_ {2}) ^ {2} + \ cdots + (p_ {n} -q_ {n}) ^ {2}}} = {\ sqrt {\ sum _ {{k = 1}} ^ {n} {(p_ {k} -q_ {k}) ^ {2}}}}.

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică