Închidere (topologie)

În matematică , închiderea unui set S este format din punctele de aderenta ale S, împărțite în acumulare puncte și puncte izolate ; intuitiv, închiderea este format din puncte „aproape“ de S. Un punct în închiderea S este un punct de închidere de S. Noțiunea de închidere este într - un anumit sens dublu la noțiunea de partea internă .

Definiții

punct de închidere

Pentru S subset al unui spațiu euclidian , x este un punct de închidere S , dacă fiecare sferă deschisă centrat pe x conține cel puțin un punct din S (acest punct poate fi x în sine).

Aceasta definitie generalizează la orice subset S a unui spațiu metric X. Exprimate în totalitate, dat X spațiu metric cu d metric, x este un punct de închidere de S dacă pentru fiecare r> 0, există un y în S astfel încât distanța d (x, y) <r (din nou, putem avea x = y). Un alt mod de a exprima acest lucru este de a spune că x este un punct de închidere S dacă distanța d (x, S): = inf {d (x, s): s în S} = 0.

Această definiție este generalizată pentru spații topologice prin înlocuirea „sferă deschisă“ cu „ în jurul “. Fie S un subset al unui spațiu topologic X. Apoi , x este un punct de închidere S , dacă fiecare vecinătate a lui x conține un punct de S. ^[1] Rețineți că această definiție nu depinde de faptul dacă cartierele sunt deschise sau nu.

punct de acumulare

Definirea unui punct de închidere este strâns legată de definirea unui punct de acumulare . Diferența dintre cele două definiții este subtil , dar important - adică, în definiția unui punct de acumulare, fiecare vecinatate a punctului x în cauză trebuie să conțină cel puțin un punct al setului S , altele decât x în sine.

Deci, fiecare punct de acumulare este un punct de închidere, dar nu toate punctele de închidere sunt puncte de acumulare. Un punct de închidere care nu este o acumulare punct este un punct izolat . Cu alte cuvinte, un punct x este un punct izolat de S în cazul în care acesta este un element de S și dacă există o vecinătate a lui x , care nu conține nici un alt punct de alta decât el însuși x S. ^[2]

Pentru un set dat S și un punct x, x este un punct de închidere S dacă și numai dacă x este un element al S sau x este un punct de acumulare de S.

Închiderea unui set

Închiderea unui set S este multimea tuturor punctelor de închidere de S. ^[3] Închiderea S este indicată cu ${\overline {S}}$ ${\ displaystyle {\ overline {S}}}$ $\ overline S$ , Cl (S), CI (S), sau S ^-. Închiderea unui set are următoarele proprietăți. ^[4]

cl (S) este un set închis și conține S.
cl (S) este intersecția tuturor seturilor închise care conțin S.
cl (S) este cel mai mic set închis care conține S.
Un set S este închisă dacă și numai dacă S = cl (S).
Dacă S este un subset al T, atunci cl (S) este un subset al cl (T).
Dacă A este o mulțime închisă, atunci A conține S dacă și numai dacă A conține cl (S).

Uneori , a doua sau a treia proprietate este luată ca o definiție a închiderii topologice. ^[5]

Într - un spațiu numărabilă de primul tip (cum ar fi un spațiu metric), cl (S) este mulțimea tuturor limitele tuturor convergente secvențele de puncte în S. Pentru un spațiu topologic generic, această afirmație rămâne adevărată dacă înlocuiți „secvență“ cu „ rețea “.

Rețineți că aceste proprietăți sunt , de asemenea , îndeplinite în cazul în care „închidere“, „intersecție“, „conține / care conține“, „mai mici“ și „închis“ se înlocuiesc cu „interior“, „uniune“, „conținută în“, „mai mare“, Este deschis". Pentru mai multe informații despre acest lucru, a se vedea de închidere operatorul de mai jos.

Exemple

În orice spațiu, închiderea setului gol este vidă.
In orice spatiu X, cl (X) = X.
Dacă X este spațiul Euclidian R a numerelor reale , apoi cl ((0, 1)) = [0, 1].
Dacă X este spațiul euclidian R, apoi închiderea setului Q de numere raționale este întregul spațiu R. Noi spunem că Q este dens în R.
Dacă X este planul complex C = R ^2, apoi cl ({z în C: | z |> 1}) = {z în C: | z | ≥ 1}.
Dacă S este un finit subset al unui spațiu euclidian, apoi cl (S) = S. (Pentru un spațiu topologic generic, această proprietate este echivalentă cu axioma T _1. )

Pe multimea numerelor reale este posibil să se plaseze alte topologii în afară de cel standard.

Dacă X = R, unde R are topologia limita inferioară , apoi cl ((0, 1)) = [0, 1].
Dacă luăm în considerare pe R topologia în care fiecare set este deschis (închis), apoi cl ((0, 1)) = (0, 1).
Dacă luăm în considerare pe R topologia în care singurele seturi deschise (închise) sunt mulțimea vidă și R în sine, apoi cl ((0, 1)) = R.

aceste exemple arată că închiderea unui set depinde de topologia spațiului de mai jos. Ultimele două exemple sunt cazuri speciale de următoarele.

În orice spațiu discret , deoarece fiecare spațiu deschis (închis), fiecare set este egal cu închiderea acestuia.
În orice spațiu banal X, deoarece numai deschis seturi (inchis) sunt vidă și X în sine, avem că închiderea setului gol este vidă, și pentru orice submulțime A nevida de X, cl (A ) = X. Cu alte cuvinte, orice set non-gol într-un spațiu banal este dens.

Închiderea unui set depinde și de spațiul în care suntem luați de închidere. De exemplu, dacă X este mulțimea numerelor raționale, cu obicei topologia subspațiul indusă de spațiu euclidian R, și dacă S = {q în Q: q ^2> 2}, atunci S este închis în Q și închiderea S în Q este S; Cu toate acestea, închiderea S în spațiu euclidian R este mulțimea tuturor numerelor reale mai mare decât sau egal cu ${\sqrt {2}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$ $\ sqrt2$ .

Închide operatorul

Operatorul de închidere ^- este dualul partea interioară operatorului ^sau, în sensul că

S ^- = X \ (X \ S) ^sau

Si deasemenea

S ^o = X \ (X \ S) ^-

unde X indică spațiul topologic care conține S, iar simbolul \ indică complementul unui set.

Astfel, teoria abstractă a operatorilor de închidere șiaxiomele deînchidere Kuratowski lui poate fi ușor de tradus în limba operatorilor de interior prin înlocuirea seturi cu complementele lor.

Rezultatele privind închiderea

Întregul $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ este închisă dacă și numai dacă $Cl(S)=S$ ${\ Displaystyle Cl (S) = S}$ $Cl (S) = S$ . În special, închiderea setului gol este vidă, și închiderea $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ acelaşi lucru este $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ . Închiderea unei intersecție a seturilor este întotdeauna un subset al (dar nu trebuie să fie egală cu) intersecția gâturile seturilor. În cazul unei uniune a unui număr finit de seturi, închiderea Uniunii și unirea închiderilor sunt aceleași; uniunea de la zero seturi este vidă, și așa mai departe această afirmație conține declarația anterioară cu privire la închiderea setului gol ca un caz special. Închiderea unui număr infinit de seturi nu trebuie să fie egală cu unirea închiderilor, dar conține întotdeauna unirea închiderilor ca un subset.

De sine $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este un subspațiu de $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ conținând $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ , Apoi închiderea $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ calculat în $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este egală cu intersecția $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ cu închiderea $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ calculat în $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ : $Cl_{A}(S)=A\cap Cl_{X}(S)$ ${\ Displaystyle Cl_ {A} (S) = A \ calotă Cl_ {X} (S)}$ $Cl_A (S) = A \ capac Cl_X (S)$ . În special, $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ este dens în $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ dacă și numai dacă $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este un subset de $Cl_{X}(S)$ ${\ Displaystyle Cl_ {X} (S)}$ $Cl_X (S)$ .

Notă

^ Schubert , p. 20
^ Kuratowski , p. 75
^ Hocking și Young , p. 4
^ Croom , p. 104
^ Gemignani , p. 55, Pervin , p. 40 și Baker , p. 38 folosesc a doua proprietate ca definiție.

Bibliografie

Crump W. Baker, Introducere în topologiei, Wm. C. Brown editor, 1991, ISBN 0-697-05972-3 .
Fred H. Croom,Principii topologiei , Saunders College Publishing, 1989, ISBN 0-03-012813-7 .
Michael C. Gemignani, elementar topologiei, 2nd ed., Dover, 1990 [1967], ISBN 0-486-66522-4 .
John G. Hocking și Gail Young, topologiei , Dover, 1988 [1961], ISBN 0-486-65676-4 .
K. Kuratowski, topologiei , I, Academic Press, 1966.
William J. Pervin, Învățătura de General topologică, Academic Press, 1965.
Horst Schubert, topologiei , Allyn and Bacon, 1968.

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Schubert , p. 20

[2] Kuratowski , p. 75

[3] Hocking și Young , p. 4

[4] Croom , p. 104

[5] Gemignani , p. 55, Pervin , p. 40 și Baker , p. 38 folosesc a doua proprietate ca definiție.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]