Set terminat

În matematică , un set $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ se spune că este finit dacă există o bijecție (adică atât o funcție injectivă, cât și o funcție surjectivă) între un set de forme $\left\{1,\ldots ,n\right\}$ ${\ displaystyle \ left \ {1, \ ldots, n \ right \}}$ ${\ displaystyle \ left \ {1, \ ldots, n \ right \}}$ și $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , unde este $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ este un număr natural . De dragul conciziei, scriem ${\bar {n}}:=\left\{1,\ldots ,n\right\}$ ${\ displaystyle {\ bar {n}}: = \ left \ {1, \ ldots, n \ right \}}$ ${\ displaystyle {\ bar {n}}: = \ left \ {1, \ ldots, n \ right \}}$ .

De exemplu setul $A:=\left\{e,\pi ,e^{\pi }\right\}$ ${\ displaystyle A: = \ left \ {e, \ pi, e ^ {\ pi} \ right \}}$ ${\ displaystyle A: = \ left \ {e, \ pi, e ^ {\ pi} \ right \}}$ este terminat deoarece funcția $f:\left\{1,2,3\right\}\rightarrow A$ ${\ displaystyle f: \ left \ {1,2,3 \ right \} \ rightarrow A}$ ${\ displaystyle f: \ left \ {1,2,3 \ right \} \ rightarrow A}$ definit de $f(1):=e,\ f(2):=\pi ,\ f(3):=e^{\pi }$ ${\ displaystyle f (1): = e, \ f (2): = \ pi, \ f (3): = e ^ {\ pi}}$ ${\ displaystyle f (1): = e, \ f (2): = \ pi, \ f (3): = e ^ {\ pi}}$ este o bijecție între ${\bar {3}}$ ${\ displaystyle {\ bar {3}}}$ ${\ displaystyle {\ bar {3}}}$ și $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ .

Pentru a defini numărul de elemente ale unui set finit avem nevoie de următorul rezultat: dacă $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este un set finit și există $n, m$ ${\ displaystyle n, m}$ ${\ displaystyle n, m}$ numere naturale e $f:{\bar {n}}\rightarrow A,g:{\bar {m}}\rightarrow A$ ${\ displaystyle f: {\ bar {n}} \ rightarrow A, g: {\ bar {m}} \ rightarrow A}$ ${\ displaystyle f: {\ bar {n}} \ rightarrow A, g: {\ bar {m}} \ rightarrow A}$ bijectii atunci $n=m$ ${\ displaystyle n = m}$ ${\ displaystyle n = m}$ .

Acest fapt ne permite să definim numărul de elemente ale unui set finit $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ ca singurul natural $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ astfel încât există o bijecție între ${\bar {n}}$ ${\ displaystyle {\ bar {n}}}$ ${\ displaystyle {\ bar {n}}}$ și $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ (cu siguranță există datorită însăși definiției mulțimii finite și este unic datorită rezultatului citat).

Acest număr este indicat cu $\#A$ ${\ displaystyle \ #A}$ ${\ displaystyle \ #A}$ sau cu $|A|$ ${\ displaystyle | A |}$ $| A |$ și se spune uneori cardinalitate de $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ . Acum putem afirma cu strictețe că întregul $A=\left\{e,\pi ,e^{\pi }\right\}$ ${\ displaystyle A = \ left \ {e, \ pi, e ^ {\ pi} \ right \}}$ ${\ displaystyle A = \ left \ {e, \ pi, e ^ {\ pi} \ right \}}$ a exemplului are $3$ ${\ displaystyle 3}$ $3$ elemente, adică $\#A=3$ ${\ displaystyle \ # A = 3}$ ${\ displaystyle \ # A = 3}$ . Alte exemple: $\#\left\{7,-12,18,\pi \right\}=4,\#\left\{1,2,1,1\right\}=2$ ${\ displaystyle \ # \ left \ {7, -12,18, \ pi \ right \} = 4, \ # \ left \ {1,2,1,1 \ right \} = 2}$ ${\ displaystyle \ # \ left \ {7, -12,18, \ pi \ right \} = 4, \ # \ left \ {1,2,1,1 \ right \} = 2}$ ; prin definiție, mai mult, apare $\#\varnothing =0$ ${\ displaystyle \ # \ varnothing = 0}$ ${\ displaystyle \ # \ varnothing = 0}$ (unde este $\varnothing$ ${\ displaystyle \ varnothing}$ $\ varnothing$ denotă setul gol ). Se spune că un set este infinit dacă nu este finit. Există alte definiții ale unui set infinit, echivalent cu acesta, care sunt utilizate în matematică în funcție de nevoile demonstrative.