În jurul

În analiza matematică și în topologie , un set se numește vecinătatea unui punct dacă conține un set deschis care conține punctul. ^[1] Un cartier al unui punct $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ fără punct $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ se spune în jurul degetului spălat sau inelar .

Este un concept fundamental care stă la baza noțiunilor de funcții continue și limită . Un cartier de un punct $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ este intuitiv un set de puncte „apropiate” de punct $X .$ ${\ displaystyle x.}$ ${\ displaystyle x.}$ Fiecare cartier identifică un set diferit de vecini . Adesea pentru a traduce în limbaj matematic ideea că o proprietate trebuie verificată pentru puncte care sunt aproape arbitrare $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ se spune că deține "pentru fiecare cartier al $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ ".

Conceptul de în jur este strâns legat de conceptul unui întreg deschis .

Spații topologice

Într-un spațiu topologic generic $(X,T)$ ${\ displaystyle (X, T)}$ $(X, T)$ , un cartier de un punct $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Este un set $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ care conține cel puțin un set deschis $U\in T$ ${\ displaystyle U \ in T}$ $U \ în T$ conținând $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ , acesta este $x\in U\subseteq V$ ${\ displaystyle x \ în U \ subseteq V}$ ${\ displaystyle x \ în U \ subseteq V}$ ^[1] , care este prescurtarea $x\in U$ ${\ displaystyle x \ în U}$ $x \ în U$ Și $U\subseteq V.$ ${\ displaystyle U \ subseteq V.}$ ${\ displaystyle U \ subseteq V.}$

Întregul $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ nu este neapărat un set deschis sau un set închis. În cazul în care $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ este deschis, vorbim despre împrejurimi deschise și când $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ este închis în jur de închis .

Cartiere sferice

În cazul unui spațiu metric $(X,d)$ ${\ displaystyle (X, d)}$ $(X, d)$ pot fi considerate cartiere caracterizate prin cerințe de distanță. În special, este util să se ia în considerare „în jurul sferic (sau circular) deschis la un punct $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ în $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ de rază $r>0$ ${\ displaystyle r> 0}$ $r> 0$ definit ca setul:

B(x,r)=\{y\in X\ :\ d(y,x)<r\}.

{\ displaystyle B (x, r) = \ {y \ în X \: \ d (y, x) <r \}.}

{\ displaystyle B (x, r) = \ {y \ în X \: \ d (y, x) <r \}.}

Setul în cauză este numit și o minge deschisă , sau puck deschis , în centru $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ și raza $r>0$ ${\ displaystyle r> 0}$ $r> 0$ (pentru a avea un disc închis doar înlocuiți simbolul $<$ ${\ displaystyle <}$ $<$ simbolul $\leq$ ${\ displaystyle \ leq}$ $\ leq$ în definiția lui $B(x,r)$ ${\ displaystyle B (x, r)}$ $B (x, r)$ . Dacă indicați cu ${\overline {S}}$ ${\ displaystyle {\ overline {S}}}$ $\ overline S$ închiderea unui set $S.,$ ${\ displaystyle S,}$ $S,$ atunci este consecvent să indicați cu ${\overline {B}}(x,r)$ ${\ displaystyle {\ overline {B}} (x, r)}$ $\ overline B (x, r)$ discul central închis $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ și raza $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ ). Un exemplu este vecinătatea razei $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ la luarea în considerare $X=\mathbb {R}$ ${\ displaystyle X = \ mathbb {R}}$ $X = {\ mathbb {R}}$ , care apoi se dovedește a fi un interval care conține $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ de tipul $]x-r,x+r[$ ${\ displaystyle] xr, x + r [}$ $] x-r, x + r [$ , sau $[x-r,x+r]$ ${\ displaystyle [xr, x + r]}$ $[x-r, x + r]$ , sau, deschis sau închis, în funcție de, respectiv, $B(x,r)$ ${\ displaystyle B (x, r)}$ $B (x, r)$ fie deschis, fie închis $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ .

Discurile deschise sunt foarte utile în analiză și topologie din mai multe motive. În primul rând, este posibil să se definească vecinătatea unui punct $x\in X$ ${\ displaystyle x \ în X}$ $x \ în X$ ca orice subset $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ din $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ astfel încât există o $r>0$ ${\ displaystyle r> 0}$ $r> 0$ la care $B(x,r)\subseteq U.$ ${\ displaystyle B (x, r) \ subseteq U.}$ ${\ displaystyle B (x, r) \ subseteq U.}$ Procedând astfel, printre altele, rezultă în mod firesc că același disc deschis este un cartier al centrului său. În al doilea rând, orice disc deschis (dar și închis) definit într-un spațiu metric derivat dintr-un spațiu normat (adică un spațiu normat văzut ca un spațiu metric, în care metrica este cea indusă de normă), este convex . Într-adevăr $(X,||\ ||)$ ${\ displaystyle (X, || \ ||)}$ $(X, || \ ||)$ un spațiu reglementat, $x\in X$ ${\ displaystyle x \ în X}$ $x \ în X$ Și $r>0$ ${\ displaystyle r> 0}$ $r> 0$ . De sine $y,z\in B(x,r)$ ${\ displaystyle y, z \ în B (x, r)}$ $y, z \ în B (x, r)$ , Și $\gamma :[0,1]\rightarrow X$ ${\ displaystyle \ gamma: [0,1] \ rightarrow X}$ $\ gamma: [0,1] \ rightarrow X$ este curba $\gamma (t)=(1-t)y+tz$ ${\ displaystyle \ gamma (t) = (1-t) y + tz}$ $\ gamma (t) = (1-t) y + tz$ , apoi, locul $\xi =\xi (t)=\gamma (t)$ ${\ displaystyle \ xi = \ xi (t) = \ gamma (t)}$ $\ xi = \ xi (t) = \ gamma (t)$ , da

d(\xi ,x)=||\xi -x||=||(1-t)y+tz-(1-t)x-tx||\leq |1-t|||y-x||+|t|||z-x||,

{\ displaystyle d (\ xi, x) = || \ xi -x || = || (1-t) y + tz- (1-t) x-tx || \ leq | 1-t ||| yx || + | t ||| zx ||,}

{\ displaystyle d (\ xi, x) = || \ xi -x || = || (1-t) y + tz- (1-t) x-tx || \ leq | 1-t ||| yx || + | t ||| zx ||,}

și, prin urmare, luând în considerare acest lucru pentru fiecare $t\in [0,1]$ ${\ displaystyle t \ in [0,1]}$ $t \ in [0,1]$ se dovedește $|1-t|+|t|=1$ ${\ displaystyle | 1-t | + | t | = 1}$ $| 1-t | + | t | = 1$ , da

d(\xi ,x)\leq |1-t|||y-x||+|t|||z-x||<r(|1-t|+|t|)=r,

{\ displaystyle d (\ xi, x) \ leq | 1-t ||| yx || + | t ||| zx || <r (| 1-t | + | t |) = r,}

{\ displaystyle d (\ xi, x) \ leq | 1-t ||| y-x || + | t ||| z-x || <r (| 1-t | + | t |) = r,}

orice ar fi $\xi \in \gamma ([0,1])$ ${\ displaystyle \ xi \ in \ gamma ([0,1])}$ $\ xi \ in \ gamma ([0,1])$ . Rezultă că $B(x,r)$ ${\ displaystyle B (x, r)}$ $B (x, r)$ este convex. Din ceea ce tocmai am arătat rezultă că $B(x,r)$ ${\ displaystyle B (x, r)}$ $B (x, r)$ este pur și simplu conectat .

Baza cartierelor

O bază de vecinătate (sau chiar un sistem de vecinătate ) este un set de vecinătăți cu un punct fix $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ „în mod arbitrar mic”: o bază de cartiere identifică „structura topologică locală” a punctului.

Mai exact, o bază de cartier este un ansamblu de cartiere astfel încât orice cartier deschis al $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ conține unul dintre aceste cartiere.

O bază de cartier este utilă pentru definirea proprietăților locale ale unui punct, cum ar fi conexiunea locală .

Spațiul euclidian

Conceptul de mediu poate fi analizat în special prin adoptarea unui spațiu euclidian generic $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ R ^ n$ in marime $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ . În spațiul euclidian, după definiție, un cartier al $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ este întotdeauna un set care conține un set deschis $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ , conținând la rândul său $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ . În special:

Un cartier sferic deschis de rază $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ este setul

\{x\in \mathbb {R} ^{n}\ |\ d(x,x_{0})<r\}

{\ displaystyle \ {x \ in \ mathbb {R} ^ {n} \ | \ d (x, x_ {0}) <r \}}

\ {x \ in \ mathbb {R} ^ {n} \ | \ d (x, x_ {0}) <r \}

unde se folosește distanța euclidiană .

Un cartier dreptunghiular este un cartier de acest tip

I_{1}\times \ldots \times I_{n}

{\ displaystyle I_ {1} \ times \ ldots \ times I_ {n}}

I_ {1} \ times \ ldots \ times I_ {n}

unde fiecare $I_{i}$ ${\ displaystyle I_ {i}}$ $Eu_ {i}$ este un interval în $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ , în jurul coordonatei $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ -thth din $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ .

Linie reală

Din spațiul euclidian generic este posibil să se reducă la cazul mai particular al liniei reale . Un cartier de un punct $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ a liniei reale $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ este un set de linii care conține un interval deschis de tipul

(x_{0}-\varepsilon ,x_{0}+\varepsilon )

{\ displaystyle (x_ {0} - \ varepsilon, x_ {0} + \ varepsilon)}

(x_ {0} - \ varepsilon, x_ {0} + \ varepsilon)

unde este $\varepsilon >0$ ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$ $\ varepsilon> 0$ este un număr pozitiv. În special:

Mediul este deschis dacă este un întreg deschis
Raza deschisă din jur $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ este gama deschisă $(x_{0}-r,x_{0}+r)$ ${\ displaystyle (x_ {0} -r, x_ {0} + r)}$ $(x_ {0} -r, x_ {0} + r)$ .

Un cartier nu este neapărat deschis. De exemplu, intervalul $[x_{0}-r,x_{0}+r]$ ${\ displaystyle [x_ {0} -r, x_ {0} + r]}$ $[x_ {0} -r, x_ {0} + r]$ cu $r>0$ ${\ displaystyle r> 0}$ $r> 0$ este un cartier închis al $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ .

Definiția cartierului se extinde și la linia extinsă : un cartier al $+\infty$ ${\ displaystyle + \ infty}$ $+ \ infty$ este un set care conține o gamă deschisă a formularului $(M,+\infty )$ ${\ displaystyle (M, + \ infty)}$ $(M, + \ infty)$ , pentru unii $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ real. În mod similar, un cartier al $-\infty$ ${\ displaystyle - \ infty}$ $- \ infty$ este un set care conține $(-\infty ,M)$ ${\ displaystyle (- \ infty, M)}$ $(- \ infty, M)$ .

Notă

^ ^a ^b M. Manetti , p. 42 .

Bibliografie

Marco Manetti, Topologia , Springer, 2008, ISBN 978-88-470-0756-7 .
Edoardo Sernesi, Geometry 2 , Turin, Bollati Boringhieri , 1994, ISBN 978-88-339-5548-3 .

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikționarul conține dicționarul lema «în jurul »
Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere din jur

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[manetti-1] M. Manetti , p. 42 .

[1]

V · D · M Analiza matematică
Calcul infinitesimal	Număr real · infinitesimal · O mare · Succesiune ( de funcții ) · Succesiunea lui Cauchy · teorema Bolzano-Weierstrass · estimare asimptotică · Limită ( o funcție · o succesiune · formă nedeterminată ) · Teorema a doi polițiști · Limită considerabilă · punct de acumulare · punct izolat · În jurul valorii · Serie ( funcție ) · criterii de convergență · limită a funcțiilor multivariate
Studiul continuității	Funcție Continuu · Punct de discontinuitate · uniform continuitate · Lipschitz Function · Bolzano Teorema · Weierstrass Teorema · Teorema valorilor intermediare · Heine-Cantor teorema · Modul continuitate · Functia semicontinuă · separa continuitate ·Piatra-Weierstrass Teorema
Calcul diferențial	Derivată · Differential · reguli de derivare · Fermat Teorema · teorema lui Rolle · Lagrange Teorema · Cauchy Teorema · Teorema lui Darboux · teorema lui Taylor · serie Taylor · functia diferențiabilă · Gradient · Jacobian · Hessiană · formă Differential · Generalizari de derivate · derivat parțial · derivat amestecat
Grâu integral	Primitive · Riemann integral · improprie Integral · Lebesgue Integral · Teorema fundamentala · Integrare Metode · Tabele · Integral multiple , linie ( 1ª specii · 2ª specii ) și suprafața ( volum )
Studiul funcției	Funcție · Variabilă · domeniul si · funcții par și impar · Funcția periodică · Funcția monotonă · funcției convexe · maxim și minim al unei funcții · unghiulară Punct · cuspid · punct de inflexiune · Asymptote · graficul unei funcții · injecție Funcție
Inegalități	Inegalitate triunghiulară · Inegalitate Cauchy-Schwarz · Bernoulli · Jensen · Hölder · Young · Minkowski
Alte	Apropierea Stirling · produs Wallis · Funcție Domeniu · Implicite funcție teorema · Teorema funcției inverse · Portduză cu funcții · Metric spațiu · normata spațiu · gama · Împreună neglijabile · închis Împreună · Împreună deschis · Ball · homeomorphism · homeomorphism locale · Difeomorfism · Locale Diffeomorfism · Clasa C a unei funcții · Ecuație diferențială · Problemă Cauchy