Teorema categoriei lui Baire

În matematică , teorema categoriei lui Baire este un instrument important de topologie generală și analiză funcțională . Teorema este disponibilă în două versiuni, fiecare dintre care oferă o condiție suficientă pentru ca un spațiu topologic să fie un spațiu Baire .

Se datorează matematicianului francez René-Louis Baire , care a dovedit-o în teza sa de licență în 1899, Sur les fonctions de variable réelles .

Enunțarea teoremei

Există două versiuni ale teoremei. Primul se referă la spațiile metrice :

TCB1 Fiecare spațiu metric complet ne-gol este un spațiu Baire. Mai general, orice subset deschis al unui spațiu pseudometric complet este un spațiu Baire.

Al doilea se referă la spațiile Hausdorff :

TCB2 Fiecare spațiu Hausdorff non-gol și compact local este un spațiu Baire.

Nici una dintre propoziții nu o implică pe cealaltă, deoarece nu neapărat un spațiu metric complet este compact local (un exemplu este orice spațiu Hilbert de dimensiune infinită) la fel cum un spațiu Hausdorff compact local nu este neapărat metrizabil (a se vedea spațiul Fort , nenumărat).

Un subset al unui spațiu metric nu este niciodată dens dacă închiderea acestuia are un interior gol. Teorema lui Baire pentru spațiile metrice poate fi formulată după cum urmează:

TCB3 Un spațiu metric complet nu poate fi o uniune numărabilă de seturi niciodată dense.

Următoarea versiune este utilizată pe scară largă ca teoremă a existenței.

TCB4 Într-un spațiu metric complet, intersecția numărabilă a seturilor deschise dense este densă.

Demonstrație

Dovada teoremei este furnizată în formularul TCB3. Este $(X,d)$ ${\ displaystyle (X, d)}$ $(X, d)$ un spațiu metric complet și să presupunem, în mod absurd, că:

X=\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}

{\ displaystyle X = \ bigcup _ {n = 1} ^ {\ infty} A_ {n}}

{\ displaystyle X = \ bigcup _ {n = 1} ^ {\ infty} A_ {n}}

unde închiderea ${\overline {A_{n}}}$ ${\ displaystyle {\ overline {A_ {n}}}}$ ${\ displaystyle {\ overline {A_ {n}}}}$ are interior gol pentru fiecare $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ .

Lasă-i să aleagă $x_{1}$ ${\ displaystyle x_ {1}}$ $x_ {1}$ în $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ și $0<r<1$ ${\ displaystyle 0 <r <1}$ ${\ displaystyle 0 <r <1}$ astfel încât:

B(x_{1},r_{1})\cap A_{1}=\emptyset

{\ displaystyle B (x_ {1}, r_ {1}) \ cap A_ {1} = \ emptyset}

{\ displaystyle B (x_ {1}, r_ {1}) \ cap A_ {1} = \ emptyset}

Acest lucru este posibil deoarece închiderea $A_{1}$ ${\ displaystyle A_ {1}}$ $A_1$ are gol în interior. Indicând cu $B(x,r)$ ${\ displaystyle B (x, r)}$ $B (x, r)$ mingea se deschide înăuntru $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ de centru $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ și raza $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ , tu poti alege $x_{2}$ ${\ displaystyle x_ {2}}$ ${\ displaystyle x_ {2}}$ în $B(x_{1},r_{1})$ ${\ displaystyle B (x_ {1}, r_ {1})}$ ${\ displaystyle B (x_ {1}, r_ {1})}$ Și $0<r_{2}<1/2$ ${\ displaystyle 0 <r_ {2} <1/2}$ ${\ displaystyle 0 <r_ {2} <1/2}$ astfel încât:

{\overline {B(x_{2},r_{2})}}\subseteq B(x_{1},r_{1})\qquad B(x_{2},r_{2})\cap A_{2}=\emptyset

{\ displaystyle {\ overline {B (x_ {2}, r_ {2})}} \ subseteq B (x_ {1}, r_ {1}) \ qquad B (x_ {2}, r_ {2}) \ cap A_ {2} = \ emptyset}

{\ displaystyle {\ overline {B (x_ {2}, r_ {2})}} \ subseteq B (x_ {1}, r_ {1}) \ qquad B (x_ {2}, r_ {2}) \ cap A_ {2} = \ emptyset}

ceea ce este posibil deoarece închiderea $A_{2}$ ${\ displaystyle A_ {2}}$ $A_2$ are gol în interior. Astfel, prin iterarea procedurii, sunt construite două secvențe, $(x_{n})$ ${\ displaystyle (x_ {n})}$ $(x_n)$ în $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ Și $(r_{n})$ ${\ displaystyle (r_ {n})}$ $(r_n)$ în $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ astfel încât:

0<r_{n}<{\frac {1}{2^{n-1}}}\qquad {\overline {B(x_{n},r_{n})}}\subseteq B(x_{n-1},r_{n-1})\qquad B(x_{n},r_{n})\cap A_{n}=\emptyset \ \forall n\in \mathbb {N}

{\ displaystyle 0 <r_ {n} <{\ frac {1} {2 ^ {n-1}}} \ qquad {\ overline {B (x_ {n}, r_ {n})}} \ subseteq B ( x_ {n-1}, r_ {n-1}) \ qquad B (x_ {n}, r_ {n}) \ cap A_ {n} = \ emptyset \ \ forall n \ in \ mathbb {N}}

{\ displaystyle 0 <r_ {n} <{\ frac {1} {2 ^ {n-1}}} \ qquad {\ overline {B (x_ {n}, r_ {n})}} \ subseteq B ( x_ {n-1}, r_ {n-1}) \ qquad B (x_ {n}, r_ {n}) \ cap A_ {n} = \ emptyset \ \ forall n \ in \ mathbb {N}}

rezultă că, pentru fiecare $n, m$ ${\ displaystyle n, m}$ ${\ displaystyle n, m}$ natural cu $n,m>N$ ${\ displaystyle n, m> N}$ ${\ displaystyle n, m> N}$ , se pare:

d(x_{n},x_{m})\leq {\frac {1}{2^{N-1}}}

{\ displaystyle d (x_ {n}, x_ {m}) \ leq {\ frac {1} {2 ^ {N-1}}}}

{\ displaystyle d (x_ {n}, x_ {m}) \ leq {\ frac {1} {2 ^ {N-1}}}}

și, prin urmare, succesiunea $(x_{n})$ ${\ displaystyle (x_ {n})}$ $(x_n)$ este al lui Cauchy și, prin urmare, convergent la un anumit $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ în $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ . In orice caz, $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ nu este în $A_{n}$ ${\ displaystyle A_ {n}}$ ${\ displaystyle A_ {n}}$ pentru fiecare $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ prin urmare,

x\notin \cup _{n=1}^{\infty }A_{n}=X

{\ displaystyle x \ notin \ cup _ {n = 1} ^ {\ infty} A_ {n} = X}

{\ displaystyle x \ notin \ cup _ {n = 1} ^ {\ infty} A_ {n} = X}

ceea ce este absurd , ceea ce dovedește teza.

Relația cu axioma alegerii

Dovezile ambelor versiuni necesită o formă slabă a axiomei de alegere ; de fapt, propunerea că fiecare spațiu pseudometric complet este un spațiu Baire este o afirmație echivalentă cu axioma alegerii dependente (DC). ^[1]

Aplicații ale teoremei

TCB1 este utilizat în dovezile teoremei funcției deschise, teorema graficului închis și principiul uniform al delimitării .

TCB1 arată, de asemenea, că orice spațiu metric complet fără puncte izolate este de nenumărat (dacă $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este un spațiu metric complet numărabil fără puncte izolate, apoi orice set $\{x\}$ ${\ displaystyle \ {x \}}$ ${\ displaystyle \ {x \}}$ format dintr-un punct în $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ nu este niciodată dens și, prin urmare $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ în sine este de prim rang ). În special, aceasta arată că setul tuturor numerelor reale este de nenumărat.

TCB1 arată că fiecare dintre următoarele seturi este un spațiu Baire:

Întregul $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ numere reale
Setul Cantor
Fiecare varietate (ca seturi compacte la nivel local)
Orice spațiu topologic homeomorf al unui spațiu Baire (de exemplu, setul de numere iraționale care nu este complet în raport cu metrica moștenită de la $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ )

Există, de asemenea, alte aplicații importante ale TCB1 . ^[2]

Notă

^ http://www.math.vanderbilt.edu/~schectex/ccc/excerpts/equivdc.gif
^ Aplicațiile și relațiile cu fenomene similare sunt raportate în Bwatabaire. Arhivat 7 februarie 2006 la Internet Archive . (site-ul este aproape în întregime în franceză; unele pagini sunt în engleză).

Bibliografie

R. Baire. Sur les fonctions de variables réelles. Ann. de Mat., 3: 1–123, 1899.
Blair, Charles E. (1977), „Teorema categoriei Baire implică principiul alegerilor dependente.”, Bull. Acad. Polon. Schi. Sér. Știință. Matematică. Astronom. Fizic. , v. 25 n. 10, pp. 933-934.
Levy, Azriel (1979), Teoria de bază a seturilor . Retipărit de Dover, 2002. ISBN 0-486-42079-5
Schechter, Eric, Manual de analiză și fundamentele sale , Academic Press, ISBN 0-126-22760-8
Lynn Arthur Steen și J. Arthur Seebach, Jr. , contraexemple în topologie , Springer-Verlag, New York, 1978. Retipărit din publicațiile Dover, New York, 1995. ISBN 0-486-68735-X (ediția Dover).

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) PS Aleksandrov, Teorema lui Baire , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] ttp://www.math.vanderbilt.edu/~schectex/ccc/excerpts/equivdc.gif

[2] Aplicațiile și relațiile cu fenomene similare sunt raportate în Bwatabaire. Arhivat 7 februarie 2006 la Internet Archive . (site-ul este aproape în întregime în franceză; unele pagini sunt în engleză).

[1]

[2]