Teorema graficului închis

În matematică , teorema graficului închis este un rezultat de bază în analiza funcțională care caracterizează operatorii liniari continui între spațiile Banach în termenii graficului operator.

Dovada teoremei grafului închis folosește teorema funcției deschise .

Teorema

Sunt date două seturi $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ Și $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ , și o funcție $T:X\to Y$ ${\ displaystyle T: X \ to Y}$ $T: X \ to Y$ . Graficul $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este subsetul produsului cartezian $X\times Y$ ${\ displaystyle X \ times Y}$ $X \ ori Y$ dat de:

G(T):={\big \{}(x,y)\,:\,x\in X,\,y=T(x){\big \}}\

{\ displaystyle G (T): = {\ big \ {} (x, y) \ ,: \, x \ în X, \, y = T (x) {\ big \}} \}

{\ displaystyle G (T): = {\ big \ {} (x, y) \ ,: \, x \ în X, \, y = T (x) {\ big \}} \}

Asuma ca $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ Și $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ sunt spații Banach și asta $T:X\to Y$ ${\ displaystyle T: X \ to Y}$ $T: X \ to Y$ este un operator liniar . Teorema graficului închis afirmă că $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este continuu (și deci limitat ) dacă și numai dacă graficul său este închis în spațiu $X\times Y$ ${\ displaystyle X \ times Y}$ $X \ ori Y$ echipat cu topologia produsului . ^[1]

În mod echivalent, următoarele afirmații sunt echivalente:

Dacă succesiunea $\{x_{n}\}$ ${\ displaystyle \ {x_ {n} \}}$ $\ {x_ {n} \}$ în $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ converge la un element $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ , apoi succesiunea $\{T(x_{n})\}$ ${\ displaystyle \ {T (x_ {n}) \}}$ ${\ displaystyle \ {T (x_ {n}) \}}$ în $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ converge și el, iar limita sa este $T(x)$ ${\ displaystyle T (x)}$ $T (x)$ .
Dacă succesiunea $\{x_{n}\}$ ${\ displaystyle \ {x_ {n} \}}$ $\ {x_ {n} \}$ în $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ converge către un element $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ și succesiune $\{T(x_{n})\}$ ${\ displaystyle \ {T (x_ {n}) \}}$ ${\ displaystyle \ {T (x_ {n}) \}}$ în $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ converge la un element $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ , asa de $y=T(x)$ ${\ displaystyle y = T (x)}$ ${\ displaystyle y = T (x)}$ .

Restricția domeniului este necesară datorită existenței operatorilor liniari închisi nelimitați , care nu sunt neapărat continui. Un operator închis este de fapt limitat doar dacă este definit pe întreg spațiul.

Demonstrație

Topologia produsului pe spațiul vectorial $X\times Y$ ${\ displaystyle X \ times Y}$ $X \ ori Y$ este definit prin standard:

\left\|(x,y)\right\|_{X\times Y}\doteq \|x\|_{X}+\|y\|_{Y}

{\ displaystyle \ left \ | (x, y) \ right \ | _ {X \ times Y} \ doteq \ | x \ | _ {X} + \ | y \ | _ {Y}}

{\ displaystyle \ left \ | (x, y) \ right \ | _ {X \ times Y} \ doteq \ | x \ | _ {X} + \ | y \ | _ {Y}}

În consecință, graficul $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ , care este un subspatiu al $X\times Y$ ${\ displaystyle X \ times Y}$ $X \ ori Y$ , poate fi echipat cu norma indusă care se mai numește norma grafică :

\left\|(x,Tx)\right\|=\|x\|_{X}+\|Tx\|_{Y}\quad x\in X

{\ displaystyle \ left \ | (x, Tx) \ right \ | = \ | x \ | _ {X} + \ | Tx \ | _ {Y} \ quad x \ in X}

{\ displaystyle \ left \ | (x, Tx) \ right \ | = \ | x \ | _ {X} + \ | Tx \ | _ {Y} \ quad x \ in X}

Să presupunem mai întâi $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ continuu. Evident, graficul $\Gamma (T)$ ${\ displaystyle \ Gamma (T)}$ ${\ displaystyle \ Gamma (T)}$ este închis și o implicație este banal dovedită. Să presupunem acum $\Gamma (T)$ ${\ displaystyle \ Gamma (T)}$ ${\ displaystyle \ Gamma (T)}$ Închis. Este evident că $\Gamma (T)$ ${\ displaystyle \ Gamma (T)}$ ${\ displaystyle \ Gamma (T)}$ , dotat cu norma grafică, este un spațiu Banach . Se definesc următorii operatori:

\Pi _{1}:\Gamma (T)\to X\qquad \Pi _{1}(x,Tx)\doteq x

{\ displaystyle \ Pi _ {1}: \ Gamma (T) \ to X \ qquad \ Pi _ {1} (x, Tx) \ doteq x}

{\ displaystyle \ Pi _ {1}: \ Gamma (T) \ to X \ qquad \ Pi _ {1} (x, Tx) \ doteq x}

\Pi _{2}:\Gamma (T)\to Y\qquad \Pi _{2}(x,Tx)\doteq Tx

{\ displaystyle \ Pi _ {2}: \ Gamma (T) \ to Y \ qquad \ Pi _ {2} (x, Tx) \ doteq Tx}

{\ displaystyle \ Pi _ {2}: \ Gamma (T) \ to Y \ qquad \ Pi _ {2} (x, Tx) \ doteq Tx}

Evident $\Pi _{1}$ ${\ displaystyle \ Pi _ {1}}$ ${\ displaystyle \ Pi _ {1}}$ Și $\Pi _{2}$ ${\ displaystyle \ Pi _ {2}}$ ${\ displaystyle \ Pi _ {2}}$ sunt liniare și continue e $\Pi _{1}$ ${\ displaystyle \ Pi _ {1}}$ ${\ displaystyle \ Pi _ {1}}$ este o bijecție. Prin urmare, prin teorema inversă (corolarul teoremei funcției deschise ) operatorul invers:

\Pi _{1}^{-1}:X\to \Gamma (X)

{\ displaystyle \ Pi _ {1} ^ {- 1}: X \ to \ Gamma (X)}

{\ displaystyle \ Pi _ {1} ^ {- 1}: X \ to \ Gamma (X)}

este liniar și continuu. Rezultă că:

T=\Pi _{2}\circ \Pi _{1}^{-1}:X\to Y

{\ displaystyle T = \ Pi _ {2} \ circ \ Pi _ {1} ^ {- 1}: X \ to Y}

{\ displaystyle T = \ Pi _ {2} \ circ \ Pi _ {1} ^ {- 1}: X \ to Y}

este continuu.

Generalizare

Teorema graficului închis poate fi generalizată în spații vectoriale topologice mai abstracte în felul următor. Un operator liniar dintr-un spațiu baril $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ la un spațiu de Fréchet $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ este continuu dacă și numai eu știu că graficul său este închis în spațiu $X\times Y$ ${\ displaystyle X \ times Y}$ $X \ ori Y$ echipat cu topologia produsului .

Notă

^ Reed, Simon , Pagina 83

Bibliografie

( EN ) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis , ed. A II-a, San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6 .

Elemente conexe

linkuri externe

(EN) Eric W. Weisstein,Teorema graficului închis , în MathWorld Wolfram Research.
( EN ) dovada teoremei graficului închis , în PlanetMath .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Reed, Simon , Pagina 83

[1]