Spațiul lui Fréchet

În matematică , un spațiu Fréchet este un spațiu vector topologic convex local care este complet în raport cu o metrică invariantă de traducere . Aceste spații poartă numele matematicianului Maurice Fréchet . Există mai multe exemple de spații de funcții care sunt spații Fréchet, printre cele mai importante spații Banach , care sunt complete în raport cu metrica indusă de normă .

Definiție

Spațiile Fréchet pot fi definite în două moduri echivalente: primul folosește o metrică invariantă în traducere, al doilea o familie numărabilă de semi - norme .

Un spațiu vector topologic $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este un spațiu Fréchet dacă îndeplinește următoarele proprietăți:

este local convex ;
topologia sa poate fi indusă de un invariant metric în ceea ce privește traducerile, adică o distanță $d:X\times X\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle d: X \ times X \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle d: X \ times X \ to \ mathbb {R}}$ astfel încât $d(x,y)=d(x+a,y+a)$ ${\ displaystyle d (x, y) = d (x + a, y + a)}$ ${\ displaystyle d (x, y) = d (x + a, y + a)}$ pentru toți $a,x,y\in X,$ ${\ displaystyle a, x, y \ în X,}$ ${\ displaystyle a, x, y \ în X,}$ aceasta înseamnă că $U\subset X$ ${\ displaystyle U \ subset X}$ ${\ displaystyle U \ subset X}$ este deschis dacă și numai dacă pentru fiecare $u\in U$ ${\ displaystyle u \ in U}$ $u \ in U$ există $\varepsilon >0$ ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$ $\ varepsilon> 0$ astfel încât $\{v:d(u,v)<\varepsilon \}\subset U;$ ${\ displaystyle \ {v: d (u, v) <\ varepsilon \} \ subset U;}$ ${\ displaystyle \ {v: d (u, v) <\ varepsilon \} \ subset U;}$
este un spațiu metric complet .

Observăm că nu există o noțiune naturală de distanță între două puncte ale unui spațiu Fréchet: diferite metrici invariante sub traducere pot induce de fapt aceeași topologie.

În mod echivalent, un spațiu vector topologic $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este un spațiu Fréchet dacă îndeplinește următoarele proprietăți:

este un spațiu de Hausdorff ;
topologia sa poate fi indusă de o familie numărabilă de seminorme $\|\cdot \|_{k}$ ${\ displaystyle \ | \ cdot \ | _ {k}}$ ${\ displaystyle \ | \ cdot \ | _ {k}}$ , cu $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ număr întreg negativ, aceasta înseamnă $U\subset X$ ${\ displaystyle U \ subset X}$ ${\ displaystyle U \ subset X}$ este deschis dacă și numai dacă pentru fiecare $u\in U$ ${\ displaystyle u \ in U}$ $u \ in U$ exista $K\geq 0$ ${\ displaystyle K \ geq 0}$ $K \ geq 0$ Și $\varepsilon >0$ ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$ $\ varepsilon> 0$ astfel pentru care $\{v:\|u-v\|_{k}<\varepsilon \ \forall k\leq K\}\subset U$ ${\ displaystyle \ {v: \ | uv \ | _ {k} <\ varepsilon \ \ forall k \ leq K \} \ subset U}$ ${\ displaystyle \ {v: \ | u-v \ | _ {k} <\ varepsilon \ \ forall k \ leq K \} \ subset U}$ ;
este completă în ceea ce privește familia semi-viermilor.

O succesiune $(x_{n})\in X$ ${\ displaystyle (x_ {n}) \ în X}$ ${\ displaystyle (x_ {n}) \ în X}$ converge la $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ în spațiul Fréchet definit de o familie de seminorme dacă și numai dacă converge spre $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ față de fiecare dintre cele de jumătate.

Construirea spațiilor Fréchet

Seminarul $\|\cdot \|$ ${\ displaystyle \ | \ cdot \ |}$ $\ | \ cdot \ |$ este o funcție definită de un spațiu vectorial $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ la valori în $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ și care îndeplinește următoarele trei proprietăți pentru toți vectorii $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Și $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ în $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ iar pentru fiecare urcare $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ :

\|x\|\geq 0;

{\ displaystyle \ | x \ | \ geq 0;}

{\ displaystyle \ | x \ | \ geq 0;}

\|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|;

{\ displaystyle \ | x + y \ | \ leq \ | x \ | + \ | y \ |;}

{\ displaystyle \ | x + y \ | \ leq \ | x \ | + \ | y \ |;}

\|c\cdot x\|=|c|\|x\|.

{\ displaystyle \ | c \ cdot x \ | = | c | \ | x \ |.}

{\ displaystyle \ | c \ cdot x \ | = | c | \ | x \ |.}

De sine $\|x\|=0$ ${\ displaystyle \ | x \ | = 0}$ ${\ displaystyle \ | x \ | = 0}$ implica $x=0$ ${\ displaystyle x = 0}$ $x = 0$ , asa de $\|\cdot \|$ ${\ displaystyle \ | \ cdot \ |}$ $\ | \ cdot \ |$ este de fapt o normă .

Seminormele ne permit să construim spații Fréchet pornind de la un spațiu vector $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ , pe care este definită o familie numărabilă de semi-norme $\|\cdot \|_{k}$ ${\ displaystyle \ | \ cdot \ | _ {k}}$ ${\ displaystyle \ | \ cdot \ | _ {k}}$ cu următoarele proprietăți:

de sine $x\in X$ ${\ displaystyle x \ în X}$ $x \ în X$ Și $\|x\|_{k}=0$ ${\ displaystyle \ | x \ | _ {k} = 0}$ ${\ displaystyle \ | x \ | _ {k} = 0}$ pentru $k\geq 0$ ${\ displaystyle k \ geq 0}$ ${\ displaystyle k \ geq 0}$ , asa de $x=0;$ ${\ displaystyle x = 0;}$ ${\ displaystyle x = 0;}$
de sine $(x_{n})$ ${\ displaystyle (x_ {n})}$ $(x_n)$ este o secvență în $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ care este o secvență Cauchy față de fiecare seminormă $\|\cdot \|_{k}$ ${\ displaystyle \ | \ cdot \ | _ {k}}$ ${\ displaystyle \ | \ cdot \ | _ {k}}$ , atunci există $x\in X$ ${\ displaystyle x \ în X}$ $x \ în X$ astfel încât $(x_{n})$ ${\ displaystyle (x_ {n})}$ $(x_n)$ converge la $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ cu privire la orice seminormă $\|\cdot \|_{k}.$ ${\ displaystyle \ | \ cdot \ | _ {k}.}$ ${\ displaystyle \ | \ cdot \ | _ {k}.}$

Topologia indusă de nenumărata familie de seminorme redă $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ un spațiu Fréchet: prima proprietate asigură că este un spațiu Hausdorff în timp ce a doua este completă .

Aceeași topologie poate fi generată folosind o invariantă completă sub metrica de traducere definită de:

d(x,y)=\sum _{k=0}^{\infty }2^{-k}{\frac {\|x-y\|_{k}}{1+\|x-y\|_{k}}},

{\ displaystyle d (x, y) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} 2 ^ {- k} {\ frac {\ | xy \ | _ {k}} {1+ \ | xy \ | _ {k}}},}

{\ displaystyle d (x, y) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} 2 ^ {- k} {\ frac {\ | xy \ | _ {k}} {1+ \ | xy \ | _ {k}}},}

pentru fiecare $x,y\in X.$ ${\ displaystyle x, y \ în X.}$ ${\ displaystyle x, y \ în X.}$ Rețineți că $u\to u/(1+u)$ ${\ displaystyle u \ to u / (1 + u)}$ ${\ displaystyle u \ to u / (1 + u)}$ Hartă $[0,\infty )$ ${\ displaystyle [0, \ infty)}$ $[0, \ infty)$ în $[0,1)$ ${\ displaystyle [0,1)}$ $[0,1)$ în mod monoton și, prin urmare, definiția anterioară asigură că distanța $d(x,y)$ ${\ displaystyle d (x, y)}$ $d (x, y)$ este „mic” dacă și numai dacă există $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ suficient de "mare" pentru a face asta $\|x-y\|_{k}$ ${\ displaystyle \ | xy \ | _ {k}}$ ${\ displaystyle \ | x-y \ | _ {k}}$ fii „mic” pt $k=0,\dots ,K$ ${\ displaystyle k = 0, \ dots, K}$ ${\ displaystyle k = 0, \ dots, K}$ .

Diferențierea în spațiile Fréchet

De sine $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ Și $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ sunt spații Fréchet, apoi spațiu $L(X,Y)$ ${\ displaystyle L (X, Y)}$ ${\ displaystyle L (X, Y)}$ de operatori lineari continui din $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ în $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ nu este un spațiu Fréchet. Aceasta este distincția majoră între teoria spațiilor Banach și cea a spațiilor Fréchet, care necesită o definiție diferită a diferențierii cu continuitate: derivatul lui Gâteaux .

Lasa-i sa fie $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ Și $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ Spații Fréchet, $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ o deschidere de $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ , $P:U\to Y$ ${\ displaystyle P: U \ to Y}$ ${\ displaystyle P: U \ to Y}$ o functie, $x\in U$ ${\ displaystyle x \ în U}$ $x \ în U$ Și $h\in X$ ${\ displaystyle h \ în X}$ ${\ displaystyle h \ în X}$ . Se spune că $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ Este o funcție diferențiată în $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ in directia $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ dacă există limita:

D(P)(x)(h)=\lim _{t\to 0}\,{\frac {1}{t}}{\Big (}P(x+th)-P(x){\Big )}

{\ displaystyle D (P) (x) (h) = \ lim _ {t \ to 0} \, {\ frac {1} {t}} {\ Big (} P (x + th) -P (x ) {\ Big)}}

{\ displaystyle D (P) (x) (h) = \ lim _ {t \ to 0} \, {\ frac {1} {t}} {\ Big (} P (x + th) -P (x ) {\ Big)}}

Se spune că $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ se poate diferenția cu continuitate în $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ de sine $D(P):U\times X\to Y$ ${\ displaystyle D (P): U \ times X \ to Y}$ ${\ displaystyle D (P): U \ times X \ to Y}$ este o funcție continuă . De sine $P:U\to Y$ ${\ displaystyle P: U \ to Y}$ ${\ displaystyle P: U \ to Y}$ atunci ecuația diferențială poate fi diferențiată continuu:

x'(t)=P(x(t))\qquad x(0)=x_{0}\in U

{\ displaystyle x '(t) = P (x (t)) \ qquad x (0) = x_ {0} \ în U}

{\ displaystyle x '(t) = P (x (t)) \ qquad x (0) = x_ {0} \ în U}

nu are neapărat soluții și, dacă există, este posibil să nu fie unice. Acest lucru este în contrast puternic cu situația din spațiile Banach.

Teorema funcției inverse nu este valabilă în spațiile Fréchet: un substitut parțial pentru aceasta este teorema lui Nash-Moser .

Bibliografie

( EN ) Walter Rudin,Analiza funcțională , ediția a II-a, New York, McGraw-Hill inc., 1991, ISBN 0070542368 .
( EN ) Bourbaki, Spații vectoriale topologice , Springer (1987) (Traducere din franceză)
( EN ) JL Kelley, I. Namioka, Spații topologice liniare , Springer (1963)
( EN ) G. Köthe, Spații vectoriale topologice , 1, Springer (1969)

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) VM Tikhomirov, spațiul Fréchet , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică