Spațiu vector topologic

În matematică , un spațiu vector topologic (uneori spațiu topologic liniar ) este un spațiu pe care sunt definite atât o structură topologică cât și o structură liniară , astfel încât acestea să fie compatibile între ele. Spațiile topologice liniare se numără printre cele mai studiate obiecte de analiză funcțională . Cercetarea privind spațiile vectoriale topologice a fost începută de Stefan Banach în anii treizeci , ca o generalizare, de fapt, a spațiilor Banach .

Definiție matematică

Este $\mathbb {K}$ ${\ displaystyle \ mathbb {K}}$ ${\ mathbb {K}}$ câmpul numerelor reale sau complexe , cu topologia sa obișnuită. Un spațiu topologic vector $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ pe $\mathbb {K}$ ${\ displaystyle \ mathbb {K}}$ ${\ mathbb {K}}$ este un spațiu vectorial pe $\mathbb {K}$ ${\ displaystyle \ mathbb {K}}$ ${\ mathbb {K}}$ dotat cu o topologie ${\mathcal {T}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {T}}}$ ${\ mathcal {T}}$ astfel încât:

Aplicația $(x,y)\to x+y$ ${\ displaystyle (x, y) \ to x + y}$ $(x, y) \ to x + y$ fi continuat de la $X\times X$ ${\ displaystyle X \ times X}$ $X \ ori X$ în $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ .
Aplicația $(k,x)\to kx$ ${\ displaystyle (k, x) \ to kx}$ ${\ displaystyle (k, x) \ to kx}$ fi continuat de la $\mathbb {K} \times X$ ${\ displaystyle \ mathbb {K} \ times X}$ ${\ mathbb {K}} \ ori X$ în $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ .

În ambele cazuri, spațiile produsului au topologia obișnuită a produsului . Un spațiu topologic vectorial este, așadar, o structură care nu numai că satisface ipotezele spațiului vectorial și topologic, dar garantează și compatibilitatea dintre cele două.

Proprietate

Succesul spațiilor topologice liniare în matematică se datorează generalității structurii lor (multe dintre cele mai frecvent utilizate spații sunt spații topologice liniare) și în același timp posibilității de a construi teorii matematice destul de bogate pe ele.

Seturi limitate

Un subset $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ din $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ se spune că este limitat dacă pentru fiecare cartier $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ din $0$ ${\ displaystyle 0}$ ${\ displaystyle 0}$ (zero de $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ văzut ca un spațiu vectorial), există un scalar $k\in \mathbb {K}$ ${\ displaystyle k \ in \ mathbb {K}}$ $k \ in {\ mathbb {K}}$ , astfel încât $k THE$ ${\ displaystyle kI}$ $kI$ conține $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ . Posibilitatea de a vorbi de seturi limitate într-un astfel de context abstract a fost istoric unul dintre factorii care au contribuit la dezvoltarea studiului spațiilor topologice vectoriale.

Dualitate

Același subiect în detaliu: spațiu dual .

Noțiunile de dualitate sunt cele mai importante în studiul spațiilor topologice vectoriale.

Având în vedere un spațiu topologic vectorial $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ , este firesc să considerăm spațiul său dual (sau dual "topologic", pentru a-l distinge de dualul "algebric") $X^{\star }$ ${\ displaystyle X ^ {\ star}}$ $X ^ {\ stea}$ , adică mulțimea ale cărei elemente sunt toatehărți liniare continue $\xi :{\mathit {X}}\to \mathbb {K}$ ${\ displaystyle \ xi: {\ mathit {X}} \ to \ mathbb {K}}$ $\ xi: {\ mathit {X}} \ to {\ mathbb {K}}$ . Pe $X^{\star }$ ${\ displaystyle X ^ {\ star}}$ $X ^ {\ stea}$ apoi se poate defini o topologie ${\mathcal {T}}^{\star }$ ${\ displaystyle {\ mathcal {T}} ^ {\ star}}$ ${\ mathcal {T}} ^ {\ star}$ ca cea mai puțin fină topologie cu privire la care toate elementele din $X^{\star \star }$ ${\ displaystyle X ^ {\ star \ star}}$ ${\ displaystyle X ^ {\ star \ star}}$ sunt continue. O astfel de topologie ${\mathcal {T}}^{\star }$ ${\ displaystyle {\ mathcal {T}} ^ {\ star}}$ ${\ mathcal {T}} ^ {\ star}$ se numește topologie slabă (deoarece este evident mai slabă decât ${\mathcal {T}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {T}}}$ ${\ mathcal {T}}$ ). Faptul remarcabil este că întregul $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ dotat cu topologie ${\mathcal {T}}^{\star }$ ${\ displaystyle {\ mathcal {T}} ^ {\ star}}$ ${\ mathcal {T}} ^ {\ star}$ este încă un spațiu vector topologic.

Convexitate

Spațiile topologice vectoriale sunt cele mai generale structuri pe care este posibil să se ocupe de noțiunile de convexitate. Studiile în această direcție au condus la definirea și analiza spațiilor convexe la nivel local .

Funcții apreciate în spații topologice vectoriale

Cea mai generală clasă de funcții pentru care este cunoscută o teorie a integrării este clasa de aplicații de la un spațiu măsurabil la valori într-un spațiu topologic vectorial. Această noțiune este cunoscută sub numele de integral Von Neumann .

Stabilitate pentru produse

Dat fiind o familie (finită sau infinită) de spații topologice vectoriale $X_{i}$ ${\ displaystyle X_ {i}}$ $X_ {i}$ , produsul lor cartezian $\Pi _{i}X_{i}$ ${\ displaystyle \ Pi _ {i} X_ {i}}$ $\ Pi _ {i} X_ {i}$ are o structură naturală atât a spațiului topologic, cât și a spațiului vectorial . Se pare că acest produs este, de asemenea, un spațiu topologic vectorial.

Exemple

Spațiul euclidian $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ mathbb {R}} ^ {n}$ este un spațiu vector topologic, dacă este echipat cu topologia euclidiană și cu structura obișnuită a spațiului vectorial. Mai general, toate spațiile Banach sunt spații vectoriale topologice (cu topologia indusă de normă ). Cu toate acestea, există structuri foarte naturale în matematică care sunt spații vectoriale topologice, dar nu sunt spații Banach. De exemplu, având în vedere un spațiu Banach $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ , putem considera topologia slabă ${\mathcal {T}}^{\star }$ ${\ displaystyle {\ mathcal {T}} ^ {\ star}}$ ${\ mathcal {T}} ^ {\ star}$ pe $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ . Cu o astfel de topologie, $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ în general nu va fi un spațiu Banach (spațiile cu dimensiuni finite sunt excepții) și totuși va fi totuși un spațiu vector topologic.

Spațiile L ^p sunt spații vectoriale topologice, oricare ar fi ${\displaystyle 0<semantics><mrow class=$ ${\ displaystyle 0 <p \ leq \ infty}$ $0 <p \ leq \ infty$ , dar sunt spații convexe local numai dacă $1\leq p\leq \infty$ ${\ displaystyle 1 \ leq p \ leq \ infty}$ $1 \ leq p \ leq \ infty$ .

Bibliografie

( EN ) Helmuth H. Schaefer , Spații vectoriale topologice , New York, Springer-Verlag, 1971, ISBN 0-387-98726-6 .
( EN ) Nicolas Bourbaki (19 ??): Elements of Mathematics. Spații vectoriale topologice II - Cap. VII Cap.VIII Cap.IX , Springer, ISBN 3-540-20585-3

Elemente conexe

Controlul autorității	Thesaurus BNCF 21615 · LCCN (RO) sh85077185 · GND (DE) 4122383-4 · BNF (FR) cb119470847 (data) · NDL (RO, JA) 00570682

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică