Topologia limită inferioară
În matematică , topologia limitei inferioare sau topologia intervalelor deschise din dreapta este un spațiu topologic definit pe mulțimea R a numerelor reale ; diferă de topologia standard pe R și are câteva proprietăți interesante. Această topologie este generată de baza formată din intervalele semi-deschise [ a , b ), unde a și b sunt numere reale.
Spațiul topologic rezultat, uneori notat cu R l și numit linia Sorgenfrey , de matematicianul Robert Sorgenfrey , poate servi ca contraexemplu în topologia generală . Topologia produsului R l cu sine este un alt contraexemplu util cunoscut sub numele de planul Sorgenfrey .
În analogie completă, este posibil să se definească topologia limitei superioare sau topologia intervalelor deschise din stânga .
Proprietate
- Topologia limită inferioară este mai fină (are mai multe seturi deschise) decât topologia standard a numărului real (care este generată de intervale deschise). Motivul este că orice interval deschis poate fi exprimat ca o uniune infinită numărabilă de intervale semi-deschise.
- Pentru orice număr real a și b , intervalul [ a , b ) este închis-deschis în R l (adică este atât deschis, cât și închis ). Mai mult, pentru orice număr real a , mulțimile { x ∈ R : x < a } și { x ∈ R : x ≥ a } sunt de asemenea închise-deschise . Acest lucru arată că linia Sorgenfrey este complet deconectată
- Numele topologia inferioare derivă limită din următorul fapt: o secvență (sau o rețea ) (x α) în R l converge la limita L dacă și numai dacă acesta „ se apropie L din dreapta“, adică pentru fiecare ε> 0 există un indice α 0 astfel încât pentru fiecare α> α 0 : L ≤ x α < L + ε. Prin urmare, linia Sorgenfrey poate fi utilizată pentru studiul limitelor corecte: dacă f : R → R este o funcție , atunci limita dreaptă obișnuită a lui f în x (când topologia standard este definită atât pe domeniu, cât și pe interval) coincide cu limita de f în x când topologia limită inferioară este definită pe domeniu și cea standard pe interval.
- În ceea ce privește axiomele de separare , R l este un spațiu normal .
- În ceea ce privește axiomele numărabilității , R l este mai întâi numărabil și separabil, dar nu al doilea numărabil .
- În ceea ce privește proprietățile de compactitate, R l este Lindelöf și paracompact , dar nu σ-compact și nici măcar compact local .
- Deoarece spațiile metrice separabile sunt al doilea numărabil, R l nu este metrizabil . Cu toate acestea, topologia unei linii Sorgenfrey este generată de un spațiu pseudometric .
- R l este un spațiu Baire [1] .
Notă
- Lynn Arthur Steen și J. Arthur Jr. Seebach , contraexemple în topologie , reeditare Dover din 1978, Berlin, New York, Springer-Verlag , 1995 [1978] , ISBN 978-0-486-68735-3 , MR 507446 .
