Planul Sorgenfrey

Antidiagonalul planului Sorgenfrey este un subspatiu discret. De fapt, dreptunghiurile deschise pot intersecta fiecare dintre punctele sale luate individual.

În topologie , planul lui Sorgenfrey este un contraexemplu adesea citat pentru a infirma conjecturile aparent plauzibile. Se compune din produsul liniei Sorgenfrey ( linia reală $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ înzestrat cu topologia limitei inferioare ) cu sine. Linia și avionul Sorgenfrey poartă numele matematicianului american Robert Sorgenfrey .

O bază pentru planul lui Sorgenfrey, denumit în continuare prin $\mathbb {S}$ ${\ displaystyle \ mathbb {S}}$ ${\ mathbb {S}}$ , este alcătuit din setul de dreptunghiuri care includ partea stângă, colțul din stânga jos și partea inferioară, în timp ce acestea nu includ colțul din dreapta jos, partea dreaptă, colțul din dreapta sus, partea superioară și colțul din stânga sus . Elementele deschise ale acestei topologii sunt alcătuite din uniunile acestor dreptunghiuri .

$\mathbb {S}$ ${\ displaystyle \ mathbb {S}}$ ${\ mathbb {S}}$ este un exemplu de spațiu non-Lindelöf, dar un produs al spațiilor Lindelöf . Este, de asemenea, un exemplu de spațiu non-normal, dar care este un produs al spațiilor normale . Din acest spațiu considerăm diagonala secundară $\Delta =\{(x,-x)\mid x\in \mathbb {R} \}$ ${\ displaystyle \ Delta = \ {(x, -x) \ mid x \ in \ mathbb {R} \}}$ ${\ displaystyle \ Delta = \ {(x, -x) \ mid x \ in \ mathbb {R} \}}$ , acesta este un subset discret care, ca subspatiu topologic, nu este separabil chiar daca planul lui Sorgenfrey este. Aceasta arată că separabilitatea nu este moștenită din topologia subsetului . Rețineți că $K=\{(x,-x)\mid x\in \mathbb {Q} \}$ ${\ displaystyle K = \ {(x, -x) \ mid x \ in \ mathbb {Q} \}}$ ${\ displaystyle K = \ {(x, -x) \ mid x \ in \ mathbb {Q} \}}$ Și $\Delta \setminus K$ ${\ displaystyle \ Delta \ setminus K}$ ${\ displaystyle \ Delta \ setminus K}$ sunt seturi închise care nu pot fi separate cu seturi deschise; asta arată că $\mathbb {S}$ ${\ displaystyle \ mathbb {S}}$ ${\ mathbb {S}}$ nu este un spațiu normal .

Notă

( EN ) John L. Kelley , Topologie generală , Van Nostrand Reinhold van Nostrand, 1955. Retipărit ca John L. Kelley , Topologie generală , Springer-Verlag , 1975, ISBN 0-387-90125-6 .
( EN ) Robert Sorgenfrey, „Despre produsul topologic al spațiilor paracompacte”, Bull. Amer. Matematica. Soc. 53 (1947) 631-632.
( EN ) Lynn Arthur Steen și J. Arthur Jr. Seebach , contraexemple în topologie , publicații Dover, reeditare 1978, Berlin, New York, Springer-Verlag , 1995 [1978] . MR 507446