Spațiu normal

În matematică și mai exact în topologie , un spațiu normal este un spațiu topologic care satisface următoarea axiomă de separare :

Pentru orice pereche de capete închise disjuncte ( E , F ), există o pereche de seturi deschise disjuncte ( U , V ) astfel încât U conține E și V conține F.

Fiecare pereche închisă este conținută în două deschideri disjuncte.

Un spațiu T ₄ este un spațiu normal care este și T ₁ . Această condiție este necesară pentru ca axioma T _{4 să} implice axiomele de separare precedente T ₀ , T ₁ , T ₂ și T ₃ . Pe de altă parte, se știe că un spațiu regulat sau un spațiu complet regulat nu este neapărat T4. Planul lui Moore este adesea folosit ca exemplu, ceea ce este al lui Tychonoff, dar nu normal.

În publicațiile matematice nomenclatura este adesea instabilă și cele două definiții sunt adesea schimbate, în funcție de perioada istorică sau de gustul autorului.

Funcții continue definite pe spații normale

Importanța spațiilor normale constă în bogăția funcțiilor continue care pot fi definite acolo. În spațiile normale (nu neapărat T ₄ ), proprietatea importantă menționată de lema lui Urysohn deține :

Pentru fiecare pereche de capete închise disjuncte ( E , F ) ale lui X , există o funcție reală continuă care ia valoarea 0 pe E și 1 pe F.

Definiție echivalentă

O altă condiție complet echivalentă este următoarea, valabilă pentru toate spațiile normale:

dat un E închis și un A deschis care îl conține, există întotdeauna un U deschis care conține E a cărui închidere este conținută în A.

Este suficient să considerăm mulțimea închisă F ca complementară cu A și să aplicăm definiția, reamintind teoremele lui De Morgan .

Această formulare este mai ușor de gestionat decât cea canonică în unele dovezi, cum ar fi cea a lemei lui Urysohn.

Spațiu perfect normal

În analogie cu ceea ce se face cu cele obișnuite , un spațiu complet normal ar putea fi definit ca un spațiu astfel încât pentru fiecare pereche de capete închise disjuncte ( E , F ), există o funcție continuă $f\colon X\to [0,1]$ ${\ displaystyle f \ colon X \ to [0,1]}$ ${\ displaystyle f \ colon X \ to [0,1]}$ , care valorează 0 pe E și 1 pe F.

Lema lui Urysohn arată că această proprietate aparent mai restrictivă este în schimb perfect echivalentă cu cea a spațiului normal. Pentru aceasta condiția trebuie să devină și mai precisă, adică:

Pentru fiecare pereche de capete închise disjuncte ( E , F ), există o funcție continuă $f\colon X\to [0,1]$ ${\ displaystyle f \ colon X \ to [0,1]}$ ${\ displaystyle f \ colon X \ to [0,1]}$ astfel încât $f^{-1}(0)=E$ ${\ displaystyle f ^ {- 1} (0) = E}$ ${\ displaystyle f ^ {- 1} (0) = E}$ Și $f^{-1}(1)=F$ ${\ displaystyle f ^ {- 1} (1) = F}$ ${\ displaystyle f ^ {- 1} (1) = F}$ .

Această proprietate este de fapt mai restrictivă decât definiția spațiului normal: un spațiu care îl satisface se numește spațiu perfect normal . Un spațiu T ₅ este un spațiu T ₁ perfect normal .

Spații metrice

De sine $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este un spațiu metric , $LA, B.$ ${\ displaystyle A, B}$ $A, B$ două dintre subseturile sale, $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ definim orice punct

d(x,A)=\inf\{d(x,a):a\in A\}.

{\ displaystyle d (x, A) = \ inf \ {d (x, a): a \ în A \}.}

{\ displaystyle d (x, A) = \ inf \ {d (x, a): a \ în A \}.}

Loc $g_{A}(x)=d(x,A)$ ${\ displaystyle g_ {A} (x) = d (x, A)}$ ${\ displaystyle g_ {A} (x) = d (x, A)}$ este ușor de demonstrat, folosind inegalitatea triunghiulară, că pentru orice pereche de $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Și $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ în $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ avem:

|g_{A}(x)-g_{A}(y)|\leq d(x,y),

{\ displaystyle | g_ {A} (x) -g_ {A} (y) | \ leq d (x, y),}

{\ displaystyle | g_ {A} (x) -g_ {A} (y) | \ leq d (x, y),}

definind astfel o funcție continuă (sau mai bine zis lipipsică ).

De sine $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ , $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ sunt două seturi închise disjuncte, definim:

f(x)={\frac {g_{E}(x)}{g_{E}(x)+g_{F}(x)}}.

{\ displaystyle f (x) = {\ frac {g_ {E} (x)} {g_ {E} (x) + g_ {F} (x)}}.}

{\ displaystyle f (x) = {\ frac {g_ {E} (x)} {g_ {E} (x) + g_ {F} (x)}}.}

Funcția este bine definită deoarece cei doi termeni din numitor nu se anulează niciodată în același timp (amintiți-vă că cele două subseturi sunt disjuncte). Pentru proprietățile cunoscute ale funcțiilor reale este continuu și ia valoarea 0 $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ iar valoarea 1 pe $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ . Rezultă că fiecare spațiu metric este complet normal și, prin urmare, T ₄ .

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică