Lema lui Urysohn

Lema lui Urysohn este o teoremă a matematicii și, mai exact, a topologiei : este adesea considerată prima teoremă a topologiei generale care are o dovadă netrivială . Lema este numită după matematicianul Pavel Samuilovich Urysohn , unul dintre fondatorii școlii de topologie din Moscova.

Afirmație

Teorema afirmă că un spațiu normal este complet normal . Cu alte cuvinte:

Dacă X este un spațiu normal , pentru fiecare pereche de capete închise disjuncte ( E , F ) ale lui X , există o funcție continuă

f\colon X\to [0,1]

{\ displaystyle f \ colon X \ to [0,1]}

f \ colon X \ to [0,1]

la valorile din intervalul I = [0,1], care este 0 peste toate E și 1 peste F.

În mod informal, teorema afirmă că într-un spațiu normal seturile închise pot fi „separate” de o funcție continuă cu valori într-un interval real.

Observare

Lema poate fi formulată prin înlocuirea celor închise cu oricare două seturi A și B , necesitând închiderile respective să nu aibă puncte în comun. Fără această condiție nu poate exista o funcție separatoare continuă (dacă un punct x este aderent la A, atunci o funcție separatoare ipotetică, pentru continuitate, trebuie să aibă valoarea 0 în x . Dacă x este aderent la B trebuie să fie 1, generând o contradicție). Această formulare, aparent mai restrictivă, este în schimb perfect echivalentă: va fi suficient să se aplice lema la cele două închideri.

Funcții continue pe spații normale

Spațiile normale au deci caracteristica de a avea o ofertă foarte bogată de funcții reale continue. Această bogăție este și mai bine evidențiată de corolarul său, teorema Tietze , care afirmă extensibilitatea oricărei funcții reale definite în orice subset de spațiu.

Demonstrație

În scopul demonstrației, următoarele sunt utile

Observație preliminară

Condiția pentru ca un spațiu să fie normal poate fi formulată după cum urmează:

având un F închis și un U deschis care îl conține, există întotdeauna un V deschis care conține F a cărui închidere este conținută în U.

Indicând cu ${\overline {V}}$ ${\ displaystyle {\ overline {V}}}$ ${\ displaystyle {\ overline {V}}}$ deci închiderea lui V trebuie să aibă loc ${\textstyle F\subseteq V\subseteq {\overline {V}}\subseteq U}$ ${\ textstyle F \ subseteq V \ subseteq {\ overline {V}} \ subseteq U}$ ${\ textstyle F \ subseteq V \ subseteq {\ overline {V}} \ subseteq U}$ .
În mod similar, se va căuta o funcție continuă: $f:X\to [0,1]$ ${\ displaystyle f: X \ to [0,1]}$ $f: X \ to [0,1]$ la valorile din [0,1], care este 0 peste toate E și 1 peste F.

Demonstrație

În ciuda profunzimii tezei, dovada teoremei se dovedește a fi extrem de simplă și intuitivă. Cu toate acestea, în multe manuale, simplitatea este sacrificată unui exces nefericit de notație până când este literalmente obscur.

Ideea de bază constă în imaginarea seturilor F și V pe care să construiască o funcție ca în figura 2.

figura 1

Pentru a ajunge la rezultatul final, procedăm cu funcții, ca să spunem așa, în pași . Primul dintre ele va fi:

f_{1}(x)=\left\{{\begin{matrix}1&{\mbox{se}}\ x\in F\\0&{\mbox{se}}\ x\notin F\end{matrix}}\right.

{\ displaystyle f_ {1} (x) = \ left \ {{\ begin {matrix} 1 & {\ mbox {se}} \ x \ în F \\ 0 & {\ mbox {se}} \ x \ notin F \ end {matrix}} \ right.}

f_ {1} (x) = \ left \ {{\ begin {matrix} 1 & {\ mbox {se}} \ x \ in F \\ 0 & {\ mbox {se}} \ x \ notin F \ end {matrice}} \ dreapta.

Continuăm cu o îmbunătățire a funcției: se găsește o deschidere $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ astfel încât închiderea ${\overline {V}}\subseteq U$ ${\ displaystyle {\ overline {V}} \ subseteq U}$ ${\ displaystyle {\ overline {V}} \ subseteq U}$
Apoi se definește pe sine

f_{2}(x)=\left\{{\begin{matrix}1&{\mbox{se}}\ x\in F\\{\frac {1}{2}}&{\mbox{se}}\ x\in {\overline {V}}\setminus F\\0&{\mbox{se}}\ x\notin {\overline {V}}\\\end{matrix}}\right.

{\ displaystyle f_ {2} (x) = \ left \ {{\ begin {matrix} 1 & {\ mbox {se}} \ x \ in F \\ {\ frac {1} {2}} & {\ mbox {se}} \ x \ in {\ overline {V}} \ setminus F \\ 0 & {\ mbox {se}} \ x \ notin {\ overline {V}} \\\ end {matrix}} \ dreapta.}

{\ displaystyle f_ {2} (x) = \ left \ {{\ begin {matrix} 1 & {\ mbox {se}} \ x \ in F \\ {\ frac {1} {2}} & {\ mbox {se}} \ x \ in {\ overline {V}} \ setminus F \\ 0 & {\ mbox {se}} \ x \ notin {\ overline {V}} \\\ end {matrix}} \ corect.}

Intersecția dintre $\mathbb {Q}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ ${\ mathbb Q}$ iar intervalul [0,1], numit S = { r ₀ , r ₁ , ..., r _n , ... }, este numărabil deoarece $\mathbb {Q}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ ${\ mathbb Q}$ , set de numere raționale , este. Vom construi o succesiune crescândă, indexată de S , de seturi deschise între A și complementarul lui B , care se vor bucura de anumite proprietăți. În primul rând, setând r ₀ = 0 și r ₁ = 1, definesc pentru fiecare număr natural n mulțimea S _n = { r ₀ , ..., r _n }, astfel încât S este uniunea tuturor S _n .

Deoarece A și B sunt două închise disjuncte, atunci A este un închis conținut în acea deschidere care este complementara lui B : prin urmare, pentru condiția echivalentă cu normalitatea , există un W deschis care conține A și a cărui închidere este conținută în complementar de B. Deci setarea V (0) : = W și V (1) egală cu complementarul lui B , avem că:

{\ displaystyle A \ subseteq V (0) \ subseteq {\ overline {V}} (0) \ subseteq V (1)}

. Aceasta înseamnă că pentru n = 1, adică pentru S ₁ , am construit o succesiune de seturi deschise astfel încât:

(cel) ${\overline {V}}(r_{i})\subseteq V(r_{k})$ ${\ displaystyle {\ overline {V}} (r_ {i}) \ subseteq V (r_ {k})}$ ${\ displaystyle {\ overline {V}} (r_ {i}) \ subseteq V (r_ {k})}$ când r _i < r _k , pentru tot i , k < n ;
(ii) A ⊆ V (0) , V (1) = X \ B.

Presupunând că am definit o astfel de secvență până la al n- lea element, este ușor să arătăm că atunci poate fi construită și până la elementul indicelui n + 1 . De fapt, din moment ce S _{n este} finit, există de fapt două raționale , numite r _l și r _m , care sunt mai aproape de r _{n + 1} decât oricare alta din S _n , și astfel încât r _l < r _{n + 1} < r _m . Două deschideri sunt asociate cu acestea, V (r _l ) și V (r _m ) , astfel încât închiderea primei este conținută în a doua: prin normalitate, există un W deschis care conține închiderea lui V (r _l ) și a cărui închidere este conținută în V (r _m ) . Prin setarea V (r _{n + 1} ) = W , verific cu ușurință că proprietățile (i) _{n + 1} și (ii) sunt verificate și pentru S _{n + 1} . În cele din urmă, prin principiul inducției , fiind S numărabil, pot concluziona că există o _secvență {V (r)} _r∈S , care îndeplinește proprietățile (i) și (ii) .

Acum pot lua în considerare o funcție f așa cum este definită:

f (x) = 1 , dacă x aparține lui B ;
f (x) = inf {r∈S | x∈V (r)} , dacă x aparține lui V (1) , adică nu aparține lui B.

Această funcție îndeplinește cerințele definiției normalității complete. De fapt, pentru proprietățile (i) și (ii) , deține 1 peste tot B , în timp ce deține 0 peste tot A : deoarece A este inclus în V (0) și, prin urmare, în orice alt set deschis al secvenței {V (r)} _r∈S , limita inferioară a setului este doar 0.

În cele din urmă, funcția f este continuă: pentru a o vedea este suficient să se arate că contraimaginile sale ale seturilor deschise de bază ale topologiei induse de [0,1] (adică a intervalelor de tipul [0, a [e] b, 1 ]) sunt deschise:

dacă f (x) < a , atunci inf {r∈S | x∈V (r)} < a , prin urmare

există o <a r în S astfel încât x nu este conținută în V (r), , atunci există , de asemenea , un r> o astfel încât x nu este conținută în închiderea V (r „). Prin urmare, anti-imaginea prin f de [0, a [va fi uniunea, deoarece r ' în S variază, a seturilor deschise X \ cl (V (r')) , care este un set deschis;

dacă în schimb f (x) > b , atunci inf {r∈S | x∈V (r)} > b , deci există un r > b astfel încât x să fie conținut în V (r) . Prin urmare, anti-imaginea prin f de] b, 1] va fi uniunea, deoarece r în S variază dintre seturile deschise V (r) , care este evident un set deschis.

În concluzie, dacă X este normal, atunci pentru fiecare pereche de capete închise disjuncte ( A , B ) există o funcție continuă f care este 0 peste A și 1 peste B , adică X este complet normal.

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre Lema lui Urysohn

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică