Imagine contra

Imaginea contra

f^{-1}(U)

{\ displaystyle f ^ {- 1} (U)}

{\ displaystyle f ^ {- 1} (U)}

a unei mulțimi U este subsetul punctelor lui X care sunt asociate cu punctele lui U din

f

{\ displaystyle f}

f

În matematică , imaginea inversă a unui subset al codomainului unei funcții , cunoscută și sub numele de imagine inversă, fibră, antiimmagine, pre-imagine sau preimagine, este setul de elemente ale domeniului pe care funcția le-a asociat cu acel subset. Prin urmare, este un subset al domeniului funcției.

Definiție

Având în vedere o funcție f : A → B , contraimaginea unei mulțimi B ₁ ⊆ B prin f este un subset de $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , indicat cu $f^{-1}(B_{1})$ ${\ displaystyle f ^ {- 1} (B_ {1})}$ ${\ displaystyle f ^ {- 1} (B_ {1})}$ ^[1] astfel încât $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ aparține lui $f^{-1}(B_{1})$ ${\ displaystyle f ^ {- 1} (B_ {1})}$ ${\ displaystyle f ^ {- 1} (B_ {1})}$ dacă și numai dacă $f(a)$ ${\ displaystyle f (a)}$ $face)$ aparține lui $B_{1}$ ${\ displaystyle B_ {1}}$ $B_ {1}$ . Echivalent:

f^{-1}(B_{1}):=\left\{a\in A\left|\right.f(a)\in B_{1}\right\}\subseteq A.

{\ displaystyle f ^ {- 1} (B_ {1}): = \ left \ {a \ in A \ left | \ right.f (a) \ in B_ {1} \ right \} \ subseteq A.}

{\ displaystyle f ^ {- 1} (B_ {1}): = \ left \ {a \ in A \ left | \ right.f (a) \ in B_ {1} \ right \} \ subseteq A.}

Uneori este considerat următorul set, numit fibra lui b , a cărui notație este, într-adevăr, ușor necorespunzătoare:

f^{-1}(b):=\left\{a\in A\left|\right.f(a)=b\right\}\subseteq A.

{\ displaystyle f ^ {- 1} (b): = \ left \ {a \ in A \ left | \ right.f (a) = b \ right \} \ subseteq A.}

{\ displaystyle f ^ {- 1} (b): = \ left \ {a \ in A \ left | \ right.f (a) = b \ right \} \ subseteq A.}

Astfel de seturi, care ar trebui indicate mai corect $f^{-1}(\{b\})$ ${\ displaystyle f ^ {- 1} (\ {b \})}$ ${\ displaystyle f ^ {- 1} (\ {b \})}$ , sunt de o importanță deosebită atunci când funcțiile implicate sunt funcții reale ; în acest caz se mai numesc și seturi de niveluri sau linii de contur. În topologie , totuși, ele se numesc fibre.

Proprietate

Având în vedere o funcție f : A → B , se mențin următoarele proprietăți:

$f^{-1}\left(\mathrm {Im} \,f\right)=f^{-1}{\big (}f(A){\big )}=A.$ ${\ displaystyle f ^ {- 1} \ left (\ mathrm {Im} \, f \ right) = f ^ {- 1} {\ big (} f (A) {\ big)} = A.}$ ${\ displaystyle f ^ {- 1} \ left (\ mathrm {Im} \, f \ right) = f ^ {- 1} {\ big (} f (A) {\ big)} = A.}$

De sine $B_{1}\subseteq B_{2}\subseteq B$ ${\ displaystyle B_ {1} \ subseteq B_ {2} \ subseteq B}$ ${\ displaystyle B_ {1} \ subseteq B_ {2} \ subseteq B}$ , asa de $f^{-1}(B_{1})\subseteq f^{-1}(B_{2})\subseteq A.$ ${\ displaystyle f ^ {- 1} (B_ {1}) \ subseteq f ^ {- 1} (B_ {2}) \ subseteq A.}$ ${\ displaystyle f ^ {- 1} (B_ {1}) \ subseteq f ^ {- 1} (B_ {2}) \ subseteq A.}$

În B ₂ ar putea exista un element b care aparține imaginii lui f dar nu lui B ₁ .

Contra-imaginea unirii a două seturi este unirea celor două contra-imagini. În simboluri: $f$ $-$ $1$ $($ $B.$ $1$ $\cup$ $B.$ $2$ $)$ $=$ $f$ $-$ $1$ $($ $B.$ $1$ $)$ $\cup$ $f$ $-$ $1$ $($ $B.$ $2$ $)$ $.$ {\ displaystyle f ^ {- 1} (B_ {1} \ cup B_ {2}) = f ^ {- 1} (B_ {1}) \ cup f ^ {- 1} (B_ {2}) \, \!.} ${\ displaystyle f ^ {- 1} (B_ {1} \ cup B_ {2}) = f ^ {- 1} (B_ {1}) \ cup f ^ {- 1} (B_ {2}) \, \!.}$
- În general: $f^{-1}\left(\bigcup _{i}B_{i}\right)=\bigcup _{i}f^{-1}(B_{i})\,\!.$ ${\ displaystyle f ^ {- 1} \ left (\ bigcup _ {i} B_ {i} \ right) = \ bigcup _ {i} f ^ {- 1} (B_ {i}) \, \!}$ ${\ displaystyle f ^ {- 1} \ left (\ bigcup _ {i} B_ {i} \ right) = \ bigcup _ {i} f ^ {- 1} (B_ {i}) \, \!}$

Imaginea de contor a intersecției a două seturi este intersecția celor două imagini de contor. În simboluri: $f$ $-$ $1$ $($ $B.$ $1$ $\cap$ $B.$ $2$ $)$ $=$ $f$ $-$ $1$ $($ $B.$ $1$ $)$ $\cap$ $f$ $-$ $1$ $($ $B.$ $2$ $)$ $.$ {\ displaystyle f ^ {- 1} (B_ {1} \ cap B_ {2}) = f ^ {- 1} (B_ {1}) \ cap f ^ {- 1} (B_ {2}).} ${\ displaystyle f ^ {- 1} (B_ {1} \ cap B_ {2}) = f ^ {- 1} (B_ {1}) \ cap f ^ {- 1} (B_ {2}).}$ ^[2]
- În general: $f^{-1}\left(\bigcap _{i}B_{i}\right)=\bigcap _{i}f^{-1}(B_{i})\,\!.$ ${\ displaystyle f ^ {- 1} \ left (\ bigcap _ {i} B_ {i} \ right) = \ bigcap _ {i} f ^ {- 1} (B_ {i}) \, \!}$ ${\ displaystyle f ^ {- 1} \ left (\ bigcap _ {i} B_ {i} \ right) = \ bigcap _ {i} f ^ {- 1} (B_ {i}) \, \!}$

Imaginea contorului diferenței de două seturi este diferența celor două imagini contor. În simboluri: $f^{-1}\left(B_{1}\setminus B_{2}\right)=f^{-1}(B_{1})\setminus f^{-1}(B_{2}).$ ${\ displaystyle f ^ {- 1} \ left (B_ {1} \ setminus B_ {2} \ right) = f ^ {- 1} (B_ {1}) \ setminus f ^ {- 1} (B_ {2 }).}$ ${\ displaystyle f ^ {- 1} \ left (B_ {1} \ setminus B_ {2} \ right) = f ^ {- 1} (B_ {1}) \ setminus f ^ {- 1} (B_ {2 }).}$

Pentru fiecare $A_{1}\subseteq A$ ${\ displaystyle A_ {1} \ subseteq A}$ ${\ displaystyle A_ {1} \ subseteq A}$ subsetul domeniului atunci $A_{1}\subseteq f^{-1}{\big (}f(A_{1}){\big )}$ ${\ displaystyle A_ {1} \ subseteq f ^ {- 1} {\ big (} f (A_ {1}) {\ big)}}$ ${\ displaystyle A_ {1} \ subseteq f ^ {- 1} {\ big (} f (A_ {1}) {\ big)}}$ iar egalitatea este întotdeauna valabilă dacă și numai dacă funcția f este injectivă .

Pot exista elemente ale domeniului care nu se află în A _1, dar care au aceeași imagine cu un element _1. Evident, dacă f este injectiv acest lucru nu se poate întâmpla.

Pentru fiecare $B_{1}\subseteq B$ ${\ displaystyle B_ {1} \ subseteq B}$ ${\ displaystyle B_ {1} \ subseteq B}$ subsetul codomainului , apoi $f{\big (}f^{-1}(B_{1}){\big )}\subseteq B_{1}$ ${\ displaystyle f {\ big (} f ^ {- 1} (B_ {1}) {\ big)} \ subseteq B_ {1}}$ ${\ displaystyle f {\ big (} f ^ {- 1} (B_ {1}) {\ big)} \ subseteq B_ {1}}$ iar egalitatea este întotdeauna valabilă dacă și numai dacă funcția f este surjectivă .

Pot exista elemente în B ₁ care nu aparțin imaginii lui f . Cu toate acestea, dacă f este surjectiv, acest lucru nu se întâmplă.

De sine $g:B\to C$ ${\ displaystyle g: B \ to C}$ ${\ displaystyle g: B \ to C}$ Și $C_{1}\subseteq C\,\!,$ ${\ displaystyle C_ {1} \ subseteq C \, \!,}$ ${\ displaystyle C_ {1} \ subseteq C \, \!,}$ asa de $\left(g\circ f\right)^{-1}(C_{1})=f^{-1}\left(g^{-1}(C_{1})\right)\,\!.$ ${\ displaystyle \ left (g \ circ f \ right) ^ {- 1} (C_ {1}) = f ^ {- 1} \ left (g ^ {- 1} (C_ {1}) \ right) \ , \!.}$ ${\ displaystyle \ left (g \ circ f \ right) ^ {- 1} (C_ {1}) = f ^ {- 1} \ left (g ^ {- 1} (C_ {1}) \ right) \ , \!.}$

Exemple

Este $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$ astfel încât $x\mapsto x^{2}$ ${\ displaystyle x \ mapsto x ^ {2}}$ ${\ displaystyle x \ mapsto x ^ {2}}$ . Atunci $f^{-1}([1,4])=[-2,-1]\cup [1,2]$ ${\ displaystyle f ^ {- 1} ([1,4]) = [- 2, -1] \ cup [1,2]}$ ${\ displaystyle f ^ {- 1} ([1,4]) = [- 2, -1] \ cup [1,2]}$

Notă

^ Utilizarea acestei scrieri implică un ușor abuz de notație , deoarece este aceeași folosită pentru funcția inversă , care acționează asupra elementelor și nu asupra seturilor.
^ Această proprietate și cea anterioară se caracterizează $f^{-1}$ ${\ displaystyle f ^ {- 1}}$ $f ^ {- 1}$ ca omomorfism al zăbrelelor .

Bibliografie

Marco Abate și Chiara de Fabritiis. Geometrie analitică cu elemente de algebră liniară . Milano, McGraw-Hill, 2006. ISBN 8838662894 .
Giulio Campanella. Note algebrice . Roma, Noua cultură, 2005. ISBN 8889362227 .

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Utilizarea acestei scrieri implică un ușor abuz de notație , deoarece este aceeași folosită pentru funcția inversă , care acționează asupra elementelor și nu asupra seturilor.

[2] Această proprietate și cea anterioară se caracterizează $f^{-1}$ ${\ displaystyle f ^ {- 1}}$ $f ^ {- 1}$ ca omomorfism al zăbrelelor .

[1]

[2]