Domeniu și codomain

În matematică domeniul și codomainul unei funcții sunt mulțimile pe care este definită funcția care asociază cu fiecare element al domeniului unul și numai un element al codomainului.

Definirea funcției

În matematică, o funcție este datele a trei obiecte: un domeniu $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ , un codomain $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ și o lege $x\mapsto f(x)$ ${\ displaystyle x \ mapsto f (x)}$ $x \ mapsto f (x)$ care se asociază cu fiecare element $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ din $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ unul și un singur element al $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ care este indicat $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ . O funcție este definită prin indicarea tuturor celor trei obiecte, care sunt colectate în notație

{\begin{array}{ccc}f\colon &X&\to &Y\\&x&\mapsto &f(x)\end{array}}

{\ displaystyle {\ begin {array} {ccc} f \ colon & X & \ to & Y \\ & x & \ mapsto & f (x) \ end {array}}}

{\ displaystyle {\ begin {array} {ccc} f \ colon & X & \ to & Y \\ & x & \ mapsto & f (x) \ end {array}}}

sau în notație echivalentă

f\colon X\to Y\colon x\mapsto f(x)

{\ displaystyle f \ colon X \ to Y \ colon x \ mapsto f (x)}

f \ colon X \ to Y \ colon x \ mapsto f (x)

Este important de reținut că domeniul și intervalul trebuie definite înainte de legea de aplicare și că toate aceste obiecte împreună definesc o funcție. În special, nicio funcție nu poate fi definită fără a indica domeniul și domeniul.

De exemplu, pentru fiecare set $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ o funcție de identitate activată este bine definită $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ , condominiu $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ , gamă $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ și legea de executare $x\mapsto x$ ${\ displaystyle x \ mapsto x}$ $x \ mapsto x$ :

{\text{id}}_{S}\colon S\to S\colon x\mapsto x

{\ displaystyle {\ text {id}} _ {S} \ colon S \ to S \ colon x \ mapsto x}

\ text {id} _S \ colon S \ to S \ colon x \ mapsto x

Omiterea domeniului și codomainului, singura lege de aplicare $x\mapsto x$ ${\ displaystyle x \ mapsto x}$ $x \ mapsto x$ nu este bine definit și nu definește nicio funcție.

Set de definiții

Același subiect în detaliu: set de definiții .

În unele contexte este folosit pentru a implica domeniul și domeniul unei funcții reale ale unei variabile reale (adică cu domeniul și intervalul conținut în setul de numere reale ) atunci când domeniul este egal cu setul de definiție al funcției și gama este întregul set de numere reale.

De exemplu,

în cadrul funcțiilor reale ale unei variabile reale,

f\colon x\mapsto x^{2}

{\ displaystyle f \ colon x \ mapsto x ^ {2}}

f \ colon x \ mapsto x ^ 2

ar putea implica un domeniu

\mathbb {R}

{\ displaystyle \ mathbb {R}}

\ mathbb {R}

și un codomain

\mathbb {R}

{\ displaystyle \ mathbb {R}}

\ mathbb {R}

;

f\colon \mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} ^{+}\colon x\mapsto x^{2}

{\ displaystyle f \ colon \ mathbb {R} ^ {+} \ to \ mathbb {R} ^ {+} \ colon x \ mapsto x ^ {2}}

f \ colon \ mathbb {R} ^ + \ to \ mathbb {R} ^ + \ colon x \ mapsto x ^ 2

cu siguranță are stăpânire

\mathbb {R} ^{+}

{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {+}}

\ mathbb {R} ^ {+}

și codomain

\mathbb {R} ^{+}

{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {+}}

\ mathbb {R} ^ {+}

;

f\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} \colon x\mapsto x^{2}

{\ displaystyle f \ colon \ mathbb {C} \ to \ mathbb {C} \ colon x \ mapsto x ^ {2}}

f \ colon \ mathbb {C} \ to \ mathbb {C} \ colon x \ mapsto x ^ 2

cu siguranță are stăpânire

\mathbb {C}

{\ displaystyle \ mathbb {C}}

{\ mathbb {C}}

și codomain

\mathbb {C}

{\ displaystyle \ mathbb {C}}

{\ mathbb {C}}

.

Prin urmare, implicând domeniu și codomain, ne limităm la subseturi de numere reale și renunțăm la studierea proprietăților unei funcții (cum ar fi injectivitatea , surjectivitatea , morfismul ).

Set de imagini

Același subiect în detaliu: Imagine (matematică) .

Da

{\ displaystyle Y}

Da

Reprezintă gama funcției

f

{\ displaystyle f}

f

; mulțimea notată cu

f(X)

{\ displaystyle f (X)}

f (X)

, care este întotdeauna inclus în

Da

{\ displaystyle Y}

Da

, este în schimb imaginea lui

f

{\ displaystyle f}

f

.

La fel ca domeniul, codomainul este, de asemenea, o parte integrantă a definiției funcției și fără aceasta nu este posibil să se definească o lege de aplicare.

Din punct de vedere pur computațional, adică dacă ne interesează doar imaginile $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ din elementele individuale ale domeniului, este luat în considerare doar setul de imagini sau imagine $f(X)=\{f(x)\mid x\in X\}$ ${\ displaystyle f (X) = \ {f (x) \ mid x \ în X \}}$ $f (X) = \ {f (x) \ mid x \ în X \}$ , care este un subset al intervalului.

Este întotdeauna posibil să se definească o nouă funcție

{\tilde {f}}\colon X\to f(X)\colon x\mapsto f(x)

{\ displaystyle {\ tilde {f}} \ colon X \ to f (X) \ colon x \ mapsto f (x)}

\ tilde {f} \ colon X \ to f (X) \ colon x \ mapsto f (x)

care este uneori identificat cu funcția în sine, în ciuda faptului că are proprietăți diferite (cum ar fi surjectivitatea sau morfismul).

De exemplu, în calculul $f(1)={\tilde {f}}(1)$ ${\ displaystyle f (1) = {\ tilde {f}} (1)}$ $f (1) = \ tilde {f} (1)$ cele două funcții sunt identificate

f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} \colon x\mapsto e^{x}

{\ displaystyle f \ colon \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} \ colon x \ mapsto e ^ {x}}

f \ colon \ R \ to \ R \ colon x \ mapsto e ^ x

{\tilde {f}}\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} _{0}^{+}\colon x\mapsto e^{x}

{\ displaystyle {\ tilde {f}} \ colon \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} _ {0} ^ {+} \ colon x \ mapsto e ^ {x}}

\ tilde {f} \ colon \ R \ to \ R_0 ^ + \ colon x \ mapsto e ^ x

chiar dacă numai acesta din urmă este un izomorfism între grup $(\mathbb {R} ,+)$ ${\ displaystyle (\ mathbb {R}, +)}$ $(\ R, +)$ și grupul $(\mathbb {R} _{0}^{+},\cdot )$ ${\ displaystyle (\ mathbb {R} _ {0} ^ {+}, \ cdot)}$ $(\ R_0 ^ +, \ cdot)$ .

În analiza complexă

În analiza complexă cu domeniu un subset deschis și conectat de $\mathbb {C} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$ .

Topologie

În topologie, un domeniu se referă la închiderea unui set deschis . Mai mult, dacă deschiderea menționată mai sus manifestă proprietatea conexiunii , se poate spune că domeniul este conectat .

Bibliografie

G. Zwirner, L. Scaglianti, Itinerariile matematicii vol 2 , Padova, CEDAM, 1990, ISBN 88-13-16854-3

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

V · D · M Analiza matematică
Calcul infinitesimal	Număr real · infinitesimal · O mare · Succesiune ( de funcții ) · Succesiunea lui Cauchy · teorema Bolzano-Weierstrass · estimare asimptotică · Limită ( o funcție · o succesiune · formă nedeterminată ) · Teorema a doi polițiști · Limită considerabilă · punct de acumulare · punct izolat · În jurul valorii · Serie ( funcție ) · criterii de convergență · limită a funcțiilor multivariate
Studiul continuității	Funcție Continuu · Punct de discontinuitate · uniform continuitate · Lipschitz Function · Bolzano Teorema · Weierstrass Teorema · Teorema valorilor intermediare · Heine-Cantor teorema · Modul continuitate · Functia semicontinuă · separa continuitate · Piatra-Weierstrass Teorema
Calcul diferențial	Derivată · Differential · reguli de derivare · Fermat Teorema · teorema lui Rolle · Lagrange Teorema · Cauchy Teorema · Teorema lui Darboux · teorema lui Taylor · serie Taylor · functia diferențiabilă · Gradient · Jacobian · Hessiană · formă Differential · Generalizari de derivate · derivat parțial · derivat amestecat
Grâu integral	Primitive · Riemann integral · improprie Integral · Lebesgue Integral · Teorema fundamentala · Integrare Metode · Tabele · Integral multiple , linie ( 1ª specii · 2ª specii ) și suprafața ( volum )
Studiul funcției	Funcție · Variabilă · domeniul si · funcții par și impar · Funcția periodică · Funcția monotonă · funcției convexe · maxim și minim al unei funcții · unghiulară Punct · cuspid · punct de inflexiune · Asymptote · graficul unei funcții · injecție Funcție
Inegalități	Inegalitate triunghiulară · Inegalitate Cauchy-Schwarz · Bernoulli · Jensen · Hölder · Young · Minkowski
Alte	Apropierea Stirling · produs Wallis · Funcție Domeniu · Implicite funcție teorema · Teorema funcției inverse · Portduză cu funcții · Metric spațiu · normata spațiu · gama · Împreună neglijabile · închis Împreună · Împreună deschis · Ball · homeomorphism · homeomorphism locale · Difeomorfism · Locale Diffeomorfism · Clasa C a unei funcții · Ecuație diferențială · Problemă Cauchy