Integrală de linie de al doilea fel

Element principal: integral de linie .

În analiza matematică și calculul integral și vectorial , o integrală de linie de al doilea fel este o integrală a unei funcții vectoriale reale sau complexe, atribuită de-a lungul unei curbe . Uneori integralul este numit și lucru de -a lungul unei curbe a câmpului vectorial considerat.

Proprietățile tipice ale integralelor, cum ar fi linearitatea , aditivitatea și monotonia, sunt valabile pentru integrala de linie de al doilea fel.

Curba lină

Același subiect în detaliu: Curba în spațiu .

O curbă, în formă parametrică, este o funcție vectorială a unei singure variabile $\phi (t):I=[a,b]\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle \ phi (t): I = [a, b] \ subseteq \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} ^ {3}}$ ${\ displaystyle \ phi (t): I = [a, b] \ subseteq \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} ^ {3}}$ de tipul:

\phi (t)=(\phi _{1}(t),\phi _{2}(t),\phi _{3}(t))\

{\ displaystyle \ phi (t) = (\ phi _ {1} (t), \ phi _ {2} (t), \ phi _ {3} (t)) \}

{\ displaystyle \ phi (t) = (\ phi _ {1} (t), \ phi _ {2} (t), \ phi _ {3} (t)) \}

De asemenea, puteți scrie:

\phi (t):{\begin{cases}x=\phi _{1}(t)\\y=\phi _{2}(t)\\z=\phi _{3}(t)\end{cases}}

{\ displaystyle \ phi (t): {\ begin {cases} x = \ phi _ {1} (t) \\ y = \ phi _ {2} (t) \\ z = \ phi _ {3} ( t) \ end {cases}}}

{\ displaystyle \ phi (t): {\ begin {cases} x = \ phi _ {1} (t) \\ y = \ phi _ {2} (t) \\ z = \ phi _ {3} ( t) \ end {cases}}}

Variabila $t\in I$ ${\ displaystyle t \ in I}$ $t \ in I$ se numește parametru . O curbă este o funcție de clasă $C^{1}\$ ${\ displaystyle C ^ {1} \}$ $C ^ {1} \$ într-un interval dacă funcționează $\phi _{1}(t)\$ ${\ displaystyle \ phi _ {1} (t) \}$ ${\ displaystyle \ phi _ {1} (t) \}$ , $\phi _{2}(t)\$ ${\ displaystyle \ phi _ {2} (t) \}$ ${\ displaystyle \ phi _ {2} (t) \}$ Și $\phi _{3}(t)\$ ${\ displaystyle \ phi _ {3} (t) \}$ ${\ displaystyle \ phi _ {3} (t) \}$ au derivate continue în acel interval. O curbă $C^{1}\$ ${\ displaystyle C ^ {1} \}$ $C ^ {1} \$ se spune că este regulat într-un punct $t_{0}\$ ${\ displaystyle t_ {0} \}$ $t_ {0} \$ de sine:

\phi '(t_{0})=(\phi _{1}^{'}(t_{0}),\phi _{2}^{'}(t_{0}),\phi _{3}^{'}(t_{0}))\neq (0,0,0)

{\ displaystyle \ phi '(t_ {0}) = (\ phi _ {1} ^ {'} (t_ {0}), \ phi _ {2} ^ {'} (t_ {0}), \ phi _ {3} ^ {'} (t_ {0})) \ neq (0,0,0)}

{\ displaystyle \ phi '(t_ {0}) = (\ phi _ {1} ^ {'} (t_ {0}), \ phi _ {2} ^ {'} (t_ {0}), \ phi _ {3} ^ {'} (t_ {0})) \ neq (0,0,0)}

și ajustați-vă $I\$ ${\ displaystyle I \}$ $\$ dacă acest lucru este adevărat în orice moment al $I\$ ${\ displaystyle I \}$ $\$ . Un punct în care ai $\phi '(t_{0})=(0,0,0)\$ ${\ displaystyle \ phi '(t_ {0}) = (0,0,0) \}$ ${\ displaystyle \ phi '(t_ {0}) = (0,0,0) \}$ spunem punct singular pentru curbă.

Se spune că o curbă în spațiu este simplă dacă nu se intersectează cu ea însăși, adică dacă este pentru fiecare $t_{1}\neq t_{2}\in I$ ${\ displaystyle t_ {1} \ neq t_ {2} \ în I}$ ${\ displaystyle t_ {1} \ neq t_ {2} \ în I}$ da ai $\phi (t_{1})\neq \phi (t_{2})$ ${\ displaystyle \ phi (t_ {1}) \ neq \ phi (t_ {2})}$ ${\ displaystyle \ phi (t_ {1}) \ neq \ phi (t_ {2})}$ . Regularitatea curbei permite definirea liniei tangente la curbă, care este linia paralelă cu vectorul:

\phi '(t_{0})=(\phi _{1}^{'}(t_{0}),\phi _{2}^{'}(t_{0}),\phi _{3}^{'}(t_{0}))

{\ displaystyle \ phi '(t_ {0}) = (\ phi _ {1} ^ {'} (t_ {0}), \ phi _ {2} ^ {'} (t_ {0}), \ phi _ {3} ^ {'} (t_ {0}))}

{\ displaystyle \ phi '(t_ {0}) = (\ phi _ {1} ^ {'} (t_ {0}), \ phi _ {2} ^ {'} (t_ {0}), \ phi _ {3} ^ {'} (t_ {0}))}

Acest vector se numește vectorul tangent al lungimii $||\phi '(t_{0})||\$ ${\ displaystyle || \ phi '(t_ {0}) || \}$ ${\ displaystyle || \ phi '(t_ {0}) || \}$ , și este, de asemenea, indicat cu ${\vec {T}}(t_{0})\$ ${\ displaystyle {\ vec {T}} (t_ {0}) \}$ ${\ displaystyle {\ vec {T}} (t_ {0}) \}$ . Unitatea vectorială tangentă este, de asemenea, vectorul lungimii unității:

{\hat {T}}(t_{0})={\frac {\phi '(t_{0})}{||\phi '(t_{0})||}}

{\ displaystyle {\ hat {T}} (t_ {0}) = {\ frac {\ phi '(t_ {0})} {|| \ phi' (t_ {0}) ||}}}

{\ displaystyle {\ hat {T}} (t_ {0}) = {\ frac {\ phi '(t_ {0})} {|| \ phi' (t_ {0}) ||}}}

Având în vedere reprezentarea parametrică a curbei regulate, este de asemenea posibil să se calculeze lungimea acesteia:

{\mbox{Lungh}}(\phi )=\int _{a}^{b}\left\|\phi '(t)\right\|\,\mathrm {d} t=\int _{a}^{b}{\sqrt {\phi _{1}^{'}(t)^{2}+\phi _{2}^{'}(t)^{2}+\phi _{3}^{'}(t)^{2}}}\,\mathrm {d} t

{\ displaystyle {\ mbox {Length}} (\ phi) = \ int _ {a} ^ {b} \ left \ | \ phi '(t) \ right \ | \, \ mathrm {d} t = \ int _ {a} ^ {b} {\ sqrt {\ phi _ {1} ^ {'} (t) ^ {2} + \ phi _ {2} ^ {'} (t) ^ {2} + \ phi _ {3} ^ {'} (t) ^ {2}}} \, \ mathrm {d} t}

{\ displaystyle {\ mbox {Length}} (\ phi) = \ int _ {a} ^ {b} \ left \ | \ phi '(t) \ right \ | \, \ mathrm {d} t = \ int _ {a} ^ {b} {\ sqrt {\ phi _ {1} ^ {'} (t) ^ {2} + \ phi _ {2} ^ {'} (t) ^ {2} + \ phi _ {3} ^ {'} (t) ^ {2}}} \, \ mathrm {d} t}

Calculul integralei

Vrem să definim integralul $\int _{\Gamma }{\vec {F}}$ ${\ displaystyle \ int _ {\ Gamma} {\ vec {F}}}$ ${\ displaystyle \ int _ {\ Gamma} {\ vec {F}}}$ de-a lungul unei curbe netede a câmpului vectorial ${\vec {F}}:A\subset \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle {\ vec {F}}: A \ subset \ mathbb {R} ^ {3} \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {3}}$ ${\ displaystyle {\ vec {F}}: A \ subset \ mathbb {R} ^ {3} \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {3}}$ , acesta este:

{\vec {F}}(x,y,z)=(F_{1}(x,y,z),F_{2}(x,y,z),F_{3}(x,y,z))

{\ displaystyle {\ vec {F}} (x, y, z) = (F_ {1} (x, y, z), F_ {2} (x, y, z), F_ {3} (x, y, z))}

{\ displaystyle {\ vec {F}} (x, y, z) = (F_ {1} (x, y, z), F_ {2} (x, y, z), F_ {3} (x, y, z))}

Având în vedere o curbă $\Gamma \$ ${\ displaystyle \ Gamma \}$ ${\ displaystyle \ Gamma \}$ definit în $A\$ ${\ displaystyle A \}$ $LA\$ cu reprezentare parametrică $\phi :[a,b]\to \mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle \ phi: [a, b] \ to \ mathbb {R} ^ {3}}$ ${\ displaystyle \ phi: [a, b] \ to \ mathbb {R} ^ {3}}$ dat de:

\phi (t)={\begin{cases}x=\phi _{1}(t)\\y=\phi _{2}(t)\\z=\phi _{3}(t)\end{cases}}

{\ displaystyle \ phi (t) = {\ begin {cases} x = \ phi _ {1} (t) \\ y = \ phi _ {2} (t) \\ z = \ phi _ {3} ( t) \ end {cases}}}

{\ displaystyle \ phi (t) = {\ begin {cases} x = \ phi _ {1} (t) \\ y = \ phi _ {2} (t) \\ z = \ phi _ {3} ( t) \ end {cases}}}

unde este $t\in [a,b]\subseteq \mathbb {R}$ ${\ displaystyle t \ in [a, b] \ subseteq \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle t \ in [a, b] \ subseteq \ mathbb {R}}$ , integralul celui de-al doilea fel de-a lungul curbei $\int _{\Gamma }{\vec {F}}$ ${\ displaystyle \ int _ {\ Gamma} {\ vec {F}}}$ ${\ displaystyle \ int _ {\ Gamma} {\ vec {F}}}$ este definit ca integral al primului tip de câmp scalar:

f(x,y,z)={\vec {F}}(x,y,z)\cdot {\hat {T}}(x,y,z)

{\ displaystyle f (x, y, z) = {\ vec {F}} (x, y, z) \ cdot {\ hat {T}} (x, y, z)}

{\ displaystyle f (x, y, z) = {\ vec {F}} (x, y, z) \ cdot {\ hat {T}} (x, y, z)}

obținut din produsul scalar dintre câmpul vector care urmează să fie integrat și versorul tangent la curbă:

\int _{\Gamma }{\vec {F}}=\int _{\Gamma }{\vec {F}}(x,y,z)\cdot {\hat {T}}(x,y,z)\,\mathrm {d} s

{\ displaystyle \ int _ {\ Gamma} {\ vec {F}} = \ int _ {\ Gamma} {\ vec {F}} (x, y, z) \ cdot {\ hat {T}} (x , y, z) \, \ mathrm {d} s}

{\ displaystyle \ int _ {\ Gamma} {\ vec {F}} = \ int _ {\ Gamma} {\ vec {F}} (x, y, z) \ cdot {\ hat {T}} (x , y, z) \, \ mathrm {d} s}

Dacă curba $\Gamma \$ ${\ displaystyle \ Gamma \}$ ${\ displaystyle \ Gamma \}$ este regulat și acceptă parametrizarea afișată, apoi $ds\$ ${\ displaystyle ds \}$ ${\ displaystyle ds \}$ este elementul infinitesimal de lungime, iar integralul poate fi explicitat:

\int _{a}^{b}{\vec {F}}(\phi (t))\cdot {\hat {T}}(\phi (t))\|\phi '(t)\|\,\mathrm {d} t=\int _{a}^{b}\left[F_{1}(\phi (t))\phi _{1}^{'}(t)+F_{2}(\phi (t))\phi _{2}^{'}(t)+F_{3}(\phi (t))\phi _{3}^{'}(t)\right]\,\mathrm {d} t

{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} {\ vec {F}} (\ phi (t)) \ cdot {\ hat {T}} (\ phi (t)) \ | \ phi '(t ) \ | \, \ mathrm {d} t = \ int _ {a} ^ {b} \ left [F_ {1} (\ phi (t)) \ phi _ {1} ^ {'} (t) + F_ {2} (\ phi (t)) \ phi _ {2} ^ {'} (t) + F_ {3} (\ phi (t)) \ phi _ {3} ^ {'} (t) \ dreapta] \, \ mathrm {d} t}

{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} {\ vec {F}} (\ phi (t)) \ cdot {\ hat {T}} (\ phi (t)) \ | \ phi '(t ) \ | \, \ mathrm {d} t = \ int _ {a} ^ {b} \ left [F_ {1} (\ phi (t)) \ phi _ {1} ^ {'} (t) + F_ {2} (\ phi (t)) \ phi _ {2} ^ {'} (t) + F_ {3} (\ phi (t)) \ phi _ {3} ^ {'} (t) \ dreapta] \, \ mathrm {d} t}

În cazul în care curba este plană, funcția vectorială nu depinde de componentă $F_{3}\$ ${\ displaystyle F_ {3} \}$ ${\ displaystyle F_ {3} \}$ , iar apoi relația anterioară se transformă:

\int _{a}^{b}{\vec {F}}(\phi (t))\cdot {\hat {T}}(\phi (t))\left\|\phi '(t)\right\|\,\mathrm {d} t=\int _{a}^{b}\left[F_{1}(\phi (t))\phi _{1}^{'}(t)+F_{2}(\phi (t))\phi _{2}^{'}(t)\right]\,\mathrm {d} t

{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} {\ vec {F}} (\ phi (t)) \ cdot {\ hat {T}} (\ phi (t)) \ left \ | \ phi ' (t) \ right \ | \, \ mathrm {d} t = \ int _ {a} ^ {b} \ left [F_ {1} (\ phi (t)) \ phi _ {1} ^ {'} (t) + F_ {2} (\ phi (t)) \ phi _ {2} ^ {'} (t) \ right] \, \ mathrm {d} t}

{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} {\ vec {F}} (\ phi (t)) \ cdot {\ hat {T}} (\ phi (t)) \ left \ | \ phi ' (t) \ right \ | \, \ mathrm {d} t = \ int _ {a} ^ {b} \ left [F_ {1} (\ phi (t)) \ phi _ {1} ^ {'} (t) + F_ {2} (\ phi (t)) \ phi _ {2} ^ {'} (t) \ right] \, \ mathrm {d} t}

Independență de reprezentarea parametrică, cu excepția cazului în care direcția de deplasare

Integrala de linie de al doilea fel astfel descrisă este independentă de reprezentarea parametrică, cu excepția direcției de deplasare a curbei. De fapt, pentru căile opuse se schimbă direcția versorului tangent:

\int _{\Gamma ^{+}}{\vec {F}}(x,y,z)\cdot {\hat {T}}(x,y,z)\,\mathrm {d} s=-\int _{\Gamma ^{-}}{\vec {F}}(x,y,z)\cdot {\hat {T}}(x,y,z)\,\mathrm {d} s

{\ displaystyle \ int _ {\ Gamma ^ {+}} {\ vec {F}} (x, y, z) \ cdot {\ hat {T}} (x, y, z) \, \ mathrm {d } s = - \ int _ {\ Gamma ^ {-}} {\ vec {F}} (x, y, z) \ cdot {\ hat {T}} (x, y, z) \, \ mathrm { d} s}

{\ displaystyle \ int _ {\ Gamma ^ {+}} {\ vec {F}} (x, y, z) \ cdot {\ hat {T}} (x, y, z) \, \ mathrm {d } s = - \ int _ {\ Gamma ^ {-}} {\ vec {F}} (x, y, z) \ cdot {\ hat {T}} (x, y, z) \, \ mathrm { d} s}

unde cu $\Gamma ^{+}\$ ${\ displaystyle \ Gamma ^ {+} \}$ ${\ displaystyle \ Gamma ^ {+} \}$ Și $\Gamma ^{-}\$ ${\ displaystyle \ Gamma ^ {-} \}$ ${\ displaystyle \ Gamma ^ {-} \}$ sunt indicate parametrizările aceleiași curbe cu direcții de deplasare opuse. Prin urmare, integrala de linie a celui de-al doilea tip (spre deosebire de cea de primul fel ) depinde de direcția de deplasare a curbei de-a lungul căreia se integrează și, prin urmare, orientarea aleasă pe curba pe care se integrează ar trebui să fie întotdeauna indicată:

\int _{\Gamma ^{+}}{\vec {F}}=\int _{\Gamma ^{+}}{\vec {F}}(x,y,z)\cdot {\vec {T}}(x,y,z)\,\mathrm {d} s\qquad \int _{\Gamma ^{-}}{\vec {F}}=\int _{\Gamma ^{-}}{\vec {F}}(x,y,z)\cdot {\vec {T}}(x,y,z)\,\mathrm {d} s

{\ displaystyle \ int _ {\ Gamma ^ {+}} {\ vec {F}} = \ int _ {\ Gamma ^ {+}} {\ vec {F}} (x, y, z) \ cdot { \ vec {T}} (x, y, z) \, \ mathrm {d} s \ qquad \ int _ {\ Gamma ^ {-}} {\ vec {F}} = \ int _ {\ Gamma ^ { -}} {\ vec {F}} (x, y, z) \ cdot {\ vec {T}} (x, y, z) \, \ mathrm {d} s}

{\ displaystyle \ int _ {\ Gamma ^ {+}} {\ vec {F}} = \ int _ {\ Gamma ^ {+}} {\ vec {F}} (x, y, z) \ cdot { \ vec {T}} (x, y, z) \, \ mathrm {d} s \ qquad \ int _ {\ Gamma ^ {-}} {\ vec {F}} = \ int _ {\ Gamma ^ { -}} {\ vec {F}} (x, y, z) \ cdot {\ vec {T}} (x, y, z) \, \ mathrm {d} s}

Scrierea fără indicația versului:

\int _{\Gamma }{\vec {F}}=\int _{\Gamma }{\vec {F}}(x,y,z)\cdot {\vec {T}}(x,y,z)\,\mathrm {d} s

{\ displaystyle \ int _ {\ Gamma} {\ vec {F}} = \ int _ {\ Gamma} {\ vec {F}} (x, y, z) \ cdot {\ vec {T}} (x , y, z) \, \ mathrm {d} s}

{\ displaystyle \ int _ {\ Gamma} {\ vec {F}} = \ int _ {\ Gamma} {\ vec {F}} (x, y, z) \ cdot {\ vec {T}} (x , y, z) \, \ mathrm {d} s}

este întotdeauna inexact, dar poate fi acceptat dacă direcția de deplasare a fost stabilită mai întâi, de exemplu dacă curba $\Gamma \$ ${\ displaystyle \ Gamma \}$ ${\ displaystyle \ Gamma \}$ a fost dat printr-o parametrizare specifică. Din acest motiv, aceste clarificări sunt adesea omise, deși sunt necesare.

Circuitul

Același subiect în detaliu: Circuitul .

Dacă curba pe care este integrată este închisă, vorbim de circulație și indicăm:

\oint _{\Gamma }{\vec {F}}(x,y,z)\cdot {\hat {T}}(x,y,z)\,\mathrm {d} s

{\ displaystyle \ oint _ {\ Gamma} {\ vec {F}} (x, y, z) \ cdot {\ hat {T}} (x, y, z) \, \ mathrm {d} s}

{\ displaystyle \ oint _ {\ Gamma} {\ vec {F}} (x, y, z) \ cdot {\ hat {T}} (x, y, z) \, \ mathrm {d} s}

De asemenea, în acest caz scrierea anterioară este imprecisă (deoarece poate da rezultate opuse) dacă direcția curbei nu a fost indicată mai întâi.

Ar fi mai corect să distingem:

\oint _{\Gamma ^{+}}{\vec {F}}(x,y,z)\cdot {\hat {T}}(x,y,z)\,\mathrm {d} s\qquad \oint _{\Gamma ^{-}}{\vec {F}}(x,y,z)\cdot {\hat {T}}(x,y,z)\,\mathrm {d} s

{\ displaystyle \ oint _ {\ Gamma ^ {+}} {\ vec {F}} (x, y, z) \ cdot {\ hat {T}} (x, y, z) \, \ mathrm {d } s \ qquad \ oint _ {\ Gamma ^ {-}} {\ vec {F}} (x, y, z) \ cdot {\ hat {T}} (x, y, z) \, \ mathrm { d} s}

{\ displaystyle \ oint _ {\ Gamma ^ {+}} {\ vec {F}} (x, y, z) \ cdot {\ hat {T}} (x, y, z) \, \ mathrm {d } s \ qquad \ oint _ {\ Gamma ^ {-}} {\ vec {F}} (x, y, z) \ cdot {\ hat {T}} (x, y, z) \, \ mathrm { d} s}

Când curba, ca în acest caz, este de obicei închisă, convenția pentru indicarea orientării pozitive este următoarea. Pentru o curbă plană de orientare pozitivă este ceea ce permite distanța curbei în sens invers acelor de ceasornic, care lasă interiorul în stânga (și, prin urmare, se spune levorotator sau stânga: de exemplu, dacă curba este un cerc, aceasta înseamnă care se îndoaie Este, de asemenea, posibil să se stabilească orientarea unei curbe închise situată pe o suprafață orientabilă (chiar dacă doar imaginată) dacă pe această suprafață s-a stabilit care este vectorul normal care iese din suprafața care iese din ea.

Aplicații geometrice și fizice

În fizică, definiția dată a integralei de linie de al doilea fel are un sens foarte practic, care justifică pe deplin definiția de lucru a unui câmp vector. De fapt, în diferite ramuri ale fizicii vorbim despre muncă ca o integrală de linie de al doilea fel: de exemplu pentru câmpuri de forțe sau viteze, în cinematică și dinamică ca în diferitele teoreme care implică munca: Teorema energiei cinetice și Legea conservării energiei , dar și în Electromagnetism când vine vorba de câmpuri electrice și magnetice .

Domenii conservatoare și studii aprofundate

Același subiect în detaliu: câmp vector conservator .

O importanță deosebită este cazul în care câmpul de forță este conservator , caz în care integralul liniei nu depinde de curba (din traiectorie) urmată pentru a merge de la a la b ci doar de pozițiile inițiale și finale. Mai mult, în matematică și fizică, aceste câmpuri au o importanță deosebită și pentru care sunt introduse definiții precum câmpul de gradient și irotație cu instrumente de calcul diferențial, cum ar fi gradientul și rotorul și potențialele și vectorii scalari aferenți , la care ar trebui să se facă trimitere pentru informații suplimentare .

În analiza complexă , calculul integralei de linie de al doilea fel este fundamentală în teorema integrală a lui Cauchy și în dezvoltarea integrării complexe .

Bibliografie

( EN ) Krantz, SG The Integrated Line Integral. §2.1.6 în Manualul variabilelor complexe. Boston, MA: Birkhäuser, p. 22, 1999.

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică